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微型专题　匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式的应用

第二章　匀变速直线运动的研究

[ 学习目标 ] 　

1. 掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度公式求解相关 问题 .

2. 会推导 Δx ＝ aT² 并会用它解决相关问题 .

重点探究

启迪思维 探究重点

达标检测

检测评价 达标过关

物理生活与建模

“ 纸带法”测速度和加速度

物理生活与建模

追及与相遇问题

内容索引

重点探究

一、匀变速直线运动的平均速度公式 一、匀变速直线运动的平均速度公式

[ 导学探究 ] 　

一物体做匀变速直线运动，初速度为 v₀ ，经过一段时间末速度为 v. (1) 画出物体的 v － t 图象，求出物体在这段时间内的平均速度 .

答案　 v － t 图象如图所示

答案

(2) 在图象中表示出中间时刻的瞬时速度 ，并求出 .( 结果用 v₀ 、 v 表示 )

答案

答案　由图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，

2

vt

2

vt

2

vt

[ 知识深化 ]

2

vt

例 1 　物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 a₁ ＝ 2 m/s² ，加 速一段时间 t₁ ，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整 个运动过程所用时间 t ＝ 20 s ，总位移为 300 m ，则物体运动的最大速 度为

A.15 m/s B.30 m/s

C.7.5 m/s D. 无法求解

答案 解析

√

答案 解析

例 2 　沿直线做匀变速运动的质点在第一个 0.5 s 内的平均速度比它在

第一个 1.5 s 内的平均速度大 2.45 m/s ，以质点初始时刻的运动方向为正

方向，则质点的加速度为

A.2.45 m/s² B. － 2.45 m/s² C.4.90 m/s² D. － 4.90 m/s²

解析　质点在第一个 0.5 s 内的平均速度为 v₁ ，即在 t₁ ＝ 0.25 s 时的速度 为 v₁ ；在第一个 1.5 s 内的平均速度为 v₂ ，即在 t₂ ＝ 0.75 s 时速度为 v₂. 由题意得：

v₁ － v₂ ＝ 2.45 m/s ，故 a ＝ ＝－ 4.90 m/s² ， D 正确 .

√

二、位移差公式 Δx ＝ aT²

二、位移差公式 Δx ＝ aT² [ 导学探究 ] 　

一辆汽车以加速度 a 从 A 点开始向右做匀加速直线运动，经过时间 t 到达 B 点，再经过时间 t 到达 C 点，则 x_BC － x_AB 等于多少？

答案

答案　设汽车的初速度为 v₀ ，

[ 知识深化 ] 位移差公式

1. 匀变速直线运动中，在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值，

即 Δx ＝ x₂ － x₁ ＝ aT². 2. 应用

(1) 判断物体是否做匀变速直线运动

如果 Δx ＝ x₂ － x₁ ＝ x₃ － x₂ ＝…＝ x_n － x_{n － 1} ＝ aT² 成立，则 a 为一恒 量，说明物体做匀变速直线运动 .

(2) 求加速度

利用 Δx ＝ aT² ，可求得 a ＝ .

例 3 　一个做匀加速直线运动的物体，在前 4 s 内经过的位移为 24 m ，在第 2 个 4 s 内经过的位移是 60 m ，求这个物体的加速度和初速 度各是多少？

答案 解析

答案　 2.25 m/s² 　 1.5 m/s

达标检测

1 2 3 4

1.( 平均速度公式的应用 ) 一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直 线运动，经过 3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运 动，又经 9 s 停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不 变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是

A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.3∶1

答案 解析

√

1 2 3 4

2.( 平均速度和位移差公式的应用 )( 多选 ) 一质点做匀加速直线运动，第 3 s 内的位移是 2 m ，第 4 s 内的位移是 2.5 m ，那么以下说法正确的是 A. 第 2 s 内的位移是 2.5 m B. 第 3 s 末的瞬时速度是 2.25 m/s

C. 质点的加速度是 0.125 m/s2 D.

√

答案 解析

√

解析　由 Δx ＝ aT² ，得 a ＝ ＝ 0.5 m/s² ， x₃ － x₂

＝ x₄ － x₃ ，所以第 2 s 内的位移 x₂ ＝ 1.5 m ， A 、 C 错误， D 正确；

第 3 s 末的瞬时速度等于 2 ～ 4 s 内的平均速度，所以 v₃ ＝ ＝ 2.25 m/s ， B 正确 .

A. 物体的加速度为 20 m/s² B. 物体的加速度为 25 m/s² C.CD ＝ 4 m

D.CD ＝ 5 m

1 2 3 4

3.( 位移差公式 Δx ＝ aT² 的应用 )( 多选 ) 如图 1 所示，物体做匀加速直线 运动， A 、 B 、 C 、 D 为其运动轨迹上的四点，测得 AB ＝ 2 m ， BC

＝ 3 m ，且物体通过 AB 、 BC 、 CD 所用的时间均为 0.2 s ，则下列说 法正确的是

√

答案 解析

图 1

√

1 2 3 4

4.( 平均速度公式的应用 ) 一质点做匀变速直线运动，初速度 v₀ ＝ 2 m/s ，前 4 s 内位移为 20 m ，求：

(1) 质点前 4 s 内的平均速度大小；

答案 解析

答案　 5 m/s

解析　利用平均速度公式，前 4 s 内的平均速度 (2) 质点第 4 s 末的速度大小；

答 案 　 8

m/s解析　因为 ，代入数据解得，第 4 s 末的速度 v₄ ＝ 8 m/s.

1 2 3 4

(3) 质点第 2 s 末的速度大小 .

答案 解析

答案　 5 m/s

解析　第 2 s 末为这段时间的中间时刻，故 v₂ ＝ ＝ 5 m/s.

“ 纸带法”测速度和加速度

1. 利用纸带判断物体是否做匀变速直线运动的方法

如图 2 所示，沿直线运动的物体在连续相等时间间隔 T 内的位移分别 为 x₁ 、 x₂ 、 x₃ 、 x₄…x_n ，若 Δx ＝ ＝ ＝ ＝…＝ x_n

－ x_{n － 1} ，则说明物体在做匀变速直线运动，且 Δx ＝ ^. 2. 测定匀变速直线运动速度的方法

根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度 求解： ＝ .

答案

一、实验原理 一、实验原理

图 2

x₂ － x₁ x₃ － x₂ x₄ － x₃ aT²

2

vt

3. 测定匀变速直线运动加速度的方法 (1) 图象法

① 先根据“平均速度”法求出各计数点的速度 v_n ＝ .

② 作 v － t 图象，求出图象的斜率即物体的 . (2) 利用位移差公式

①x_{n ＋ 1} － x_n ＝ ，得 a ＝ ，其中 T 为两计数点之间的时

间间隔 .

② 逐差法

若纸带上选出多个计数点，可用逐差法求加速度 a ＝ ^答案 加速度

aT²

打点计时器、 、纸带、一端附有定滑轮的长木板、小车

、细绳、钩码、复写纸、坐标纸、刻度尺 .

答案

二、实验器材 ⁽ 以小车的匀变速直线运动为例 )

二、实验器材 ⁽ 以小车的匀变速直线运动为例 )

交流电源

1. 开始释放小车时，应使小车 打点计时器 .

2. 先 ，打点计时器正常工作后，再 ，当小车停止 运动时要及时断开电源 .

3. 要区别计时器打出的点与人为选取的计数点，一般在纸带上每隔四 个点取一个计数点，即交流电源频率为 50 Hz 时，计数点间的时间间 隔为 T ＝ 0.02× s ＝ s.

4. 描点时最好用坐标纸，在纵、横坐标轴上选取合适的单位，用细铅 笔认真描点 .

答案

三、注意事项 三、注意事项

靠近

接通电源 释放小车

5 0.1

典题 1 　如图 3 所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干 纸带中选中的一条纸带的一部分，他每隔 4 个点取一个计数点，图中注明 了他对各计数点间距离的测量结果 . 所接电源是频率为 50 Hz 的交流电 .

图 3

(1) 为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，并填入下表内 .

( 单位： cm)

答案

x₂ － x₁ x₃ － x₂ x₄ － x₃ x₅ － x₄ x₆ － x₅

各位移差与平均值最多相差 ________cm ，由此可以得出结论：小车的 运动是 ________.

答案　见解析

解析

(2) 两个相邻计数点间的时间间隔 Δt ＝ ________ s.

答案

答案　见解析

解析

解析　该打点计时器所接的电源是频率为 50 Hz 的交流电，纸带上每 隔 4 个点取一个计数点，即两个相邻计数点间有 5 段相等时间间隔，

所以两个相邻计数点间的时间间隔 Δt ＝ 5× ＝ 0.1 s.

(3) 小车的加速度的计算式 a ＝ ________ ，加速度 a ＝ ________ m/s².

答案

答案　见解析

解析

(4) 计算打计数点 B 时小车的速度 v_B ＝ ________m/s.

答案

答案　见解析

解析

解析　由表格中的数据知，相邻的相等时间内的位移差为 1.1 cm ，位移 差相等，小球做匀加速直线运动 .

(1) 小 球 在 相 邻 的 相 等 时 间 内 的 位 移 差 _____

( 填“相等”或“不相等” ) ，小球运动的性质属 于 ______ 直线运动 .

典题 2 　一个小球沿斜面向下运动，用每隔 s 曝 光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片，

如图 4 所示，即照片上出现的相邻两个小球的像之 间的时间间隔为 s ，测得小球在几个连续相等时 间间隔内的位移数据见右表：

答案 解析

图 4

x₁/cm x₂/cm x₃/cm x₄/cm 8.20 9.30 10.40 11.50 相等

匀加速

(2) 沿斜面向下小球第三个位置速度为 ______ m/s ，小球的加速度为 ______m/s².( 结果保留三位有效数字 )

0.985 1.10

x₁/cm x₂/cm x₃/cm x₄/cm 8.20 9.30 10.40 11.50

答案 解析

答案 解析

跟踪训练

1. 图 5 为接在周期为 0.02 s 低压交流电源上的打点计时器，在纸带做匀 加速直线运动时打出的一条纸带，图中所示的是每隔 4 个计时点所取的 计数点，但第 3 个计数点没有画出 . 由图中的数据可求得：

图 5

(1) 该物体的加速度为 ______m/s0.74 ² ； ( 结果保留两位有效数字 )

1 2

答案 解析

(2) 第 3 个计数点与第 2 个计数点的距离约为 ______cm ；

解析　第 3 个计数点与第 2 个计数点的距离即为 x₂ ，由匀变速直线运 动的推论：

x₂ － x₁ ＝ aT² 得： x₂ ＝ x₁ ＋ aT² ，代入数据得：

x₂ ＝ 3.62×10 ^{－ 2} ＋ 0.74×0.1² m ＝ 0.043 6 m ， 即为： 4.36 cm.

4.36

1 2

(3) 打第 2 个计数点时该物体的速度约为 _____ m/s.( 结果保留两位有效数 字 )

答案 解析

解析　匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬 时速度，故：

0.40

1 2

① 用游标尺测量挡光片的宽度 d ；

② 测量小车释放处挡光片到光电门的距离 x ；

③ 由静止释放小车，记录数字计时器显示挡光片的挡光时间 t ；

④ 改变 x ，测出不同 x 所对应的挡光时间 t.

(1) 小车加速度大小的表达式为 a ＝ _____( 用实验中所测物理量符号表 示 )

2. 如图 6 所示，某实验小组用光电数字计 时器测量小车在斜面上下滑时的加速度，

实验主要操作如下：

答案 解析

图 6

1 2

(2) 根据实验测得的多组 x 、 t 数据，可绘 制图象来得到小车运动的加速度，如果图 象的纵坐标为 x ，横坐标为 ，实验中得 到图象的斜率为 k ，则小车运动的加速度 大小

为 ____( 用 d 、 k 表示 ).

答案 解析

1 2

追及与相遇问题

1. 相遇问题

相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间 的距离时即相遇 .

2. 追及问题

同向运动的两物体，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置

，且后者速度一定不小于前者速度，即 v₁≥v₂.

一、对“相遇”与“追及”的认识 一、对“相遇”与“追及”的认识

典题 1 　如图 7 所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车

以 20 m/s 的速度匀速运动，乙车原来速度为 8 m/s ，从距甲车 80 m 处

以大小为 4 m/s² 的加速度做匀加速运动，问：乙车经多长时间能追上甲

车？

图 7

答案 解析

答 案 　 10 s

1. 追及问题中的两个关系和一个条件

(1) 两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到 . (2) 一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或 ( 两者 ) 距 离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点 .

2. 能否追上的判断方法

物体 B 追赶物体 A ：开始时，两个物体相距 x₀. 若 v_A ＝ v_B 时， x_A ＋ x₀≤x_B ，则能追上；若 v_A ＝ v_B 时， x_A ＋ x₀ ＞ x_B ，则没有追上 .

二、追及问题的分析思路及临界条件 二、追及问题的分析思路及临界条件

3. 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体 是否已经停止运动 .

4. 解题思路和方法

分析物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程 .

典题 2 　当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以 a ＝ 2 m/s² 的加速度由 静止启动，在同一时刻，一辆货车以 10 m/s 的恒定速度从客车旁边同 向驶过 ( 不计车长 ) ，则：

(1) 客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？

答案 解析

答案　 10 s 　 100

m解析　客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，

(2) 在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？

答案 解析

答 案 　 25

m解析　两车距离最远时，两车应具有相等的速度，即 v₂ ＝ at₂ ，代入数 据解得 t₂ ＝ 5 s.

总结提升

做匀加速直线运动的物体追匀速运动的物体和匀速运动的物体追 匀减速运动的物体，一定能追上 . 当速度相等时，两者距离最大 .

典题 3 　某人离公共汽车尾部 20 m ，以速度 v 向汽车匀速跑过去，与 此同时，汽车以 1 m/s² 的加速度从静止启动，做匀加速直线运动 . 试问

，此人的速度 v 分别为下列数值时，能否追上汽车？如果能，要用多长 时间？如果不能，则他与汽车之间的最小距离是多少？

(1)v ＝ 6 m/s ；

答案 解析

答 案 　不能 　 2 m

解得 t₁′ ＝ 4 s ， t₂′ ＝ 10 s( 舍去 ).

(2)v₁ ＝ 7 m/s.

答案 解析

答案　能　 4

s解析　当汽车速度达到 7 m/s 时，所需的时间

在这段时间内人的位移 x₁′ ＝ v₁t₁ ＝ 7×7 m ＝ 49 m

因为 x₁′>x₂′ ＋ 20 m ，所以人能追上公共汽车 . 设经过 t′ 时间人追上汽车，有

总结提升

做匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体和匀减速直线运动的 物体追匀速运动的物体，不一定能追上 . 若两者速度相等时， x₁≥x₂

＋ x₀(x₀ 为两者初始距离 ) ，则能追上，若追不上，两者速度相等时，

两者距离最小 .

1 2 3 4

1. 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动， t ＝ 0 时刻 同时经过公路旁的同一个路标 . 在如图 8 描述两车运动的 v － t 图象中

，直线 a 、 b 分别描述了甲、乙两车在 0 ～ 20 s 的运动情况 . 关于两车 之间的位置关系，下列说法正确的是

A. 在 0 ～ 10 s 内两车逐渐靠近 B. 在 10 ～ 20 s 内两车逐渐远离

C. 在 t ＝ 10 s 时两车在公路上相遇 D. 在 5 ～ 15 s 内两车的位移相等

答案 解析

√

跟踪训练

图 8

2.( 多选 ) 两辆游戏赛车 a 、 b 在两条平行的直车道上行驶， t ＝ 0 时两 车都在同一计时线处，此时比赛开始 . 它们在四次比赛中的 v － t 图象 如图所示，则下列图象对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是

答案 解析

√ √

1 2 3 4

3.( 多选 ) 在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在 t ＝ 0 时同 时经过某一个路标，它们的位移 x(m) 随时间 t(s) 变化的规律：汽车为 x

＝ 10t － ，自行车为 x ＝ 6t ，则下列说法正确的是

A. 汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动 B. 不能确定汽车和自行车各做什么运动

C. 开始经过路标后较小时间内汽车在前，自行车在后 D. 当自行车追上汽车时，它们距路标 96 m

√

答案 解析

√

√

1 2 3 4

4. 已知 A 、 B 两列火车，在同一轨道上同向行驶， A 车在前，其速度 v₁ ＝ 10 m/s ， B 车在后，速度 v₂ ＝ 30 m/s ， B 车在距 A 车 x₀ ＝ 75 m 时才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但 B 车要经过 x ＝ 180 m 才能停下来 . 求：

(1)B 车刹车过程的加速度大小；

答案 解析

答案　 2.5 m/s²

解析　设 B 车加速度大小为 a_B ，刹车至停下来的过程中，由 v₂² ＝ 2a_Bx 解得： a_B ＝ 2.5 m/s²

1 2 3 4

解析　 B 车在开始刹车后 t 时刻的速度为 v_B ＝ v₂ － a_Bt B 车的位移 x_B ＝ v₂t －

A 车的位移 x_A ＝ v₁t

设 t 时刻两车速度相等， v_B ＝ v₁ 解得： t ＝ 8 s

将 t ＝ 8 s 代入得 x_B ＝ 160 m ， x_A ＝ 80 m 因 x_B ＞ x_A ＋ x₀ ＝ 155 m

故两车会相撞 .

(2)B 车刹车时 A 仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

答案 解析

答案　两车会相撞

1 2 3 4

解析　设 B 车从开始刹车到两车相撞所用时间为 t′ ，则满足 x_B′ ＝ x_A′ ＋ x₀

x_B′ ＝ v₂t′ － x_A′ ＝ v₁t′

代入数据解得： t₁′ ＝ 6 s ， t₂′ ＝ 10 s( 不符合题意 ) 故 B 车从开始刹车到两车相撞用时 6 s.

(3) 若相撞，求 B 车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求 两车的最小距离 .

答案 解析

答案　 6 s

1 2 3 4

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