②二阶递推数列的极限

吕荐瑞 (lvjr.bitbucket.io) 暨南大学数学竞赛培训团队

二阶差分方程 11

定义 1 设 {n} 为数列，形如 F(n^,n,n+1,n+2) = 0 的方程称 为二阶差分方程．比如 _n+2− n+1+ n = n．

定义 2 形如 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（其中 , b 为常数）的差分 方程称为二阶常系数线性齐次差分方程．

设它的特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ1 和 λ₂．则有 (1) 当 λ1 ̸= λ² 时，通解为 n = C¹λⁿ₁+ C²λⁿ₂．

(2) 当 λ₁ = λ2 时，通解为 _n = (C1+ C2n)λⁿ₁．

二阶差分方程 11

定义 1 设 {n} 为数列，形如 F(n^,n,n+1,n+2) = 0 的方程称 为二阶差分方程．比如 _n+2− n+1+ n = n．

定义 2 形如 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（其中 , b 为常数）的差分 方程称为二阶常系数线性齐次差分方程．

设它的特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ1 和 λ₂．则有 (1) 当 λ1 ̸= λ² 时，通解为 n = C¹λⁿ₁+ C²λⁿ₂．

(2) 当 λ₁ = λ2 时，通解为 _n = (C1+ C2n)λⁿ₁．

二阶差分方程 11

定义 1 设 {n} 为数列，形如 F(n^,n,n+1,n+2) = 0 的方程称 为二阶差分方程．比如 _n+2− n+1+ n = n．

定义 2 形如 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（其中 , b 为常数）的差分 方程称为二阶常系数线性齐次差分方程．

设它的特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ1 和 λ₂．

则有 (1) 当 λ1 ̸= λ² 时，通解为 n = C¹λⁿ₁+ C²λⁿ₂．

(2) 当 λ₁ = λ2 时，通解为 _n = (C1+ C2n)λⁿ₁．

二阶差分方程 11

定义 1 设 {n} 为数列，形如 F(n^,n,n+1,n+2) = 0 的方程称 为二阶差分方程．比如 _n+2− n+1+ n = n．

定义 2 形如 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（其中 , b 为常数）的差分 方程称为二阶常系数线性齐次差分方程．

设它的特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ1 和 λ₂．则有 (1) 当 λ1 ̸= λ² 时，通解为 n = C¹λⁿ₁+ C²λⁿ₂．

(2) 当 λ₁ = λ2 时，通解为 _n = (C1+ C2n)λⁿ₁．

二阶差分方程 12

注记 设二阶差分方程 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（, b 为常数）的 特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ¹ 和 λ2．

则有

n+2− λ¹n+1 = λ²(ⁿ+1− λ¹n)^,

n+2− λ²n+1 = λ¹(ⁿ+1− λ²n).

利用代换 yn = ⁿ+1− λ¹n 或 yn = ⁿ+1 − λ²n，可以变成一阶 差分方程的问题．

二阶差分方程 12

注记 设二阶差分方程 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（, b 为常数）的 特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ¹ 和 λ2．则有

n+2− λ¹n+1 = λ²(ⁿ+1− λ¹n)^,

n+2− λ²n+1 = λ¹(ⁿ+1− λ²n).

利用代换 yn = ⁿ+1− λ¹n 或 yn = ⁿ+1 − λ²n，可以变成一阶 差分方程的问题．

二阶差分方程 12

注记 设二阶差分方程 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（, b 为常数）的 特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ¹ 和 λ2．则有

n+2− λ¹n+1 = λ²(ⁿ+1− λ¹n)^,

n+2− λ²n+1 = λ¹(ⁿ+1− λ²n).

利用代换 yn = ⁿ+1− λ¹n 或 yn = ⁿ+1 − λ²n，

可以变成一阶 差分方程的问题．

二阶差分方程 12

注记 设二阶差分方程 n+2+ ⁿ+1+ bⁿ = 0（, b 为常数）的 特征方程 λ²+ λ + b = 0 的两个解为 λ¹ 和 λ2．则有

n+2− λ¹n+1 = λ²(ⁿ+1− λ¹n)^,

n+2− λ²n+1 = λ¹(ⁿ+1− λ²n).

利用代换 yn = ⁿ+1− λ¹n 或 yn = ⁿ+1 − λ²n，可以变成一阶 差分方程的问题．

二阶递推数列的极限 13

例 1 (伯克利问题 1.3.5) 设常数 0 < α < 1，数列 {n} 满足：

n+1 = αⁿ + (1 − α)ⁿ−1. 证明 lim

n→∞n 存在，并将其值用 α, 0, 1 表示．

解答 由递推公式得 _n+1− n = (α − 1)(n − n−1)，从而

n − ⁿ−1 = (α − 1)ⁿ⁻¹(¹− ⁰). 这样 n − ⁰ =

–n∑−1

k=0(α − 1)^k

™

(¹− ⁰)．取极限得

nlim→∞_n = 0+ 1

1− (α − 1)(1− 0) = (1 − α)0+ 1

2− α .

二阶递推数列的极限 13

例 1 (伯克利问题 1.3.5) 设常数 0 < α < 1，数列 {n} 满足：

n+1 = αⁿ + (1 − α)ⁿ−1. 证明 lim

n→∞n 存在，并将其值用 α, 0, 1 表示．

解答 由递推公式得 _n+1− n = (α − 1)(n − n−1)，

从而

n − ⁿ−1 = (α − 1)ⁿ⁻¹(¹− ⁰). 这样 n − ⁰ =

–n∑−1

k=0(α − 1)^k

™

(¹− ⁰)．取极限得

nlim→∞_n = 0+ 1

1− (α − 1)(1− 0) = (1 − α)0+ 1

2− α .

二阶递推数列的极限 13

例 1 (伯克利问题 1.3.5) 设常数 0 < α < 1，数列 {n} 满足：

n+1 = αⁿ + (1 − α)ⁿ−1. 证明 lim

n→∞n 存在，并将其值用 α, 0, 1 表示．

解答 由递推公式得 _n+1− n = (α − 1)(n − n−1)，从而

n − ⁿ−1 = (α − 1)ⁿ⁻¹(¹− ⁰).

这样 n − ⁰ =

–n∑−1

k=0(α − 1)^k

™

(¹− ⁰)．取极限得

nlim→∞_n = 0+ 1

1− (α − 1)(1− 0) = (1 − α)0+ 1

2− α .

二阶递推数列的极限 13

例 1 (伯克利问题 1.3.5) 设常数 0 < α < 1，数列 {n} 满足：

n+1 = αⁿ + (1 − α)ⁿ−1. 证明 lim

n→∞n 存在，并将其值用 α, 0, 1 表示．

解答 由递推公式得 _n+1− n = (α − 1)(n − n−1)，从而

n − ⁿ−1 = (α − 1)ⁿ⁻¹(¹− ⁰).

这样 n − ⁰ =

–n∑−1

k=0(α − 1)^k

™

(¹− ⁰)．

取极限得

nlim→∞_n = 0+ 1

1− (α − 1)(1− 0) = (1 − α)0+ 1

2− α .

二阶递推数列的极限 13

例 1 (伯克利问题 1.3.5) 设常数 0 < α < 1，数列 {n} 满足：

n+1 = αⁿ + (1 − α)ⁿ−1. 证明 lim

n→∞n 存在，并将其值用 α, 0, 1 表示．

解答 由递推公式得 _n+1− n = (α − 1)(n − n−1)，从而

n − ⁿ−1 = (α − 1)ⁿ⁻¹(¹− ⁰).

这样 n − ⁰ =

–n∑−1

k=0(α − 1)^k

™

(¹− ⁰)．取极限得

nlim→∞_n = 0+ 1

1− (α − 1)(1− 0) = (1 − α)0+ 1

2− α .

问题 设数列 {_n} 满足递推公式 n+1 = n + b

cn + d，研究其极限．

解 答 令 ƒ() = + b

c+ d，则 若 ₁ 是 函 数 ƒ() 的不动点，即 ƒ(¹) = ¹ 时，数列恒等于 1，极限也为 1．接下来我们都假定

1 并非不动点．

若 c = 0，则该数列满足一阶常系数线性差分方程，从而仅在

 

 d 

 < 1 时收敛于 b d− ．

问题 设数列 {_n} 满足递推公式 n+1 = n + b

cn + d，研究其极限．

解 答 令 ƒ() = + b

c+ d，则 若 ₁ 是 函数 ƒ() 的不动点，即 ƒ(¹) = ¹ 时，数列恒等于 1，极限也为 1．接下来我们都假定

1 并非不动点．

若 c = 0，则该数列满足一阶常系数线性差分方程，从而仅在

 

 d 

 < 1 时收敛于 b d− ．

问题 设数列 {_n} 满足递推公式 n+1 = n + b

cn + d，研究其极限．

解 答 令 ƒ() = + b

c+ d，则 若 ₁ 是 函数 ƒ() 的不动点，即 ƒ(¹) = ¹ 时，数列恒等于 1，极限也为 1．接下来我们都假定

1 并非不动点．

若 c = 0，则该数列满足一阶常系数线性差分方程，从而仅在

 

 d 

 < 1 时收敛于 b d− ．

解答 (续) 若 c ̸= 0，则令 yⁿ = cⁿ + d，即 ⁿ = yn − d

c ，可以

得到

yn+1 = ( + d)yⁿ + (bc − d) yn

.

令  =  + d， = bc − d，则得到 yn+1 = yn + 

yn

令 yn = q

p，则 yn+1 = q+ p

q ．因此可以令 yn = zn+1

zn

，其中 z1 = 1^, z2 = y^1, zn+2 = zⁿ+1 + zⁿ.

解答 (续) 若 c ̸= 0，则令 yⁿ = cⁿ + d，即 ⁿ = yn − d

c ，可以

得到

yn+1 = ( + d)yⁿ + (bc − d) yn

.

令  =  + d， = bc − d，则得到 yn+1 = yn + 

yn

令 yn = q

p，则 yn+1 = q+ p

q ．因此可以令 yn = zn+1

zn

，其中 z1 = 1^, z2 = y^1, zn+2 = zⁿ+1+ zⁿ.

解答 (续) 数列 {z_n} 满足二阶常系数线性差分方程，其特征方程 z²− z −  = 0 的两个解为

A= +^p²+ 4

2 ^, B= −^p²+ 4

2 .

(1) 当 Δ = ² + 4 = 0 时，A = B，数列 {zⁿ} 的通项为 zn = (α + βn)Aⁿ，从而

nlim→∞y_n = lim

n→∞

z_n+1 zn

= lim

n→∞

(α + β(n + 1))Aⁿ⁺¹

(α + βn)Aⁿ = A.

解答 (续) (2) 当 Δ = ² + 4 > 0 时，数列 {zn} 的通项为 zn = αAⁿ + βBⁿ，从而

nlim→∞yn = lim_n→∞ zn+1

zn

= lim_n→∞αAⁿ⁺¹+ βBⁿ⁺¹ αAⁿ + βBⁿ =

¨A, 若 |A| > |B|;

B, 若 |A| < |B|.

其中若 A = −B，则  = 0，从而 yⁿ+1yn = ．此时仅在 y¹ =

±p

 时才收敛．

(3) 当 Δ = ² + 4 < 0 时，假设数列 {yn} 收敛于 y，则有 y²− y −  = 0，该方程没有实数解，矛盾．从而数列 {yⁿ} 发散．

解答 (续) (2) 当 Δ = ² + 4 > 0 时，数列 {zn} 的通项为 zn = αAⁿ + βBⁿ，从而

nlim→∞yn = lim_n→∞ zn+1

zn

= lim_n→∞αAⁿ⁺¹+ βBⁿ⁺¹ αAⁿ + βBⁿ =

¨A, 若 |A| > |B|;

B, 若 |A| < |B|.

其中若 A = −B，则  = 0，从而 yⁿ+1yn = ．此时仅在 y¹ =

±p

 时才收敛．

(3) 当 Δ = ² + 4 < 0 时，假设数列 {yn} 收敛于 y，则有 y²− y −  = 0，该方程没有实数解，矛盾．从而数列 {yⁿ} 发散．

二阶递推数列的极限 18

练习 1 (1999 北京) 设 1 = 1, ² = 2，且当 n ¾ 3 时，有

_n = n−1+ n−2，证明：

(1) 3

2_{n−1 ¶} _{n ¶} 2_n−1; (2) lim

n→∞

1

n

= 0.

二阶递推数列的极限 19

练习 2 (伯克利问题 1.3.12) 斐波那契 (Fibonacci) 数列 {ƒn} 的 定义如下

ƒ1 = 1^, ƒ2 = 2^, ƒn+1 = ƒⁿ + ƒⁿ−1, 对于 n≥ 2.

证明 lim

n→∞

ƒ_n+1 ƒn

存在，并求其值．

理工经管类数学竞赛讲座 2020 年 10 月 26 日

根据递推公式求数列极限

在文檔中 根据递推公式求数列极限 (頁 28-52)