應用 Lagrange Multipliers 法最佳化二階模型：
3.4 一個詳細的 RSM 實作例子
這裡我們將實際做一個 2 因子的 RSM 模擬，並且一步一步秀出過程，這是為了使人容易 了解 RSM 的流程。我們選擇一個已知函數(參見 Appendix B)
1 2 2 2 2
1 2 1
( , ) 100
10(( 1) 1) 4
f x x
x x x
= + − − + +
作為模擬的對象，其有單一最大值在
(
x x1, 2) ( )
= 0,0 為 25。它的形狀像是一個彎月形狀並且 有一個長且窄的脊(如下圖)，在其脊上任取一部份以二階模型近似常很容易近似成一個有平穩 脊系統(stationary ridge system)的二階反應曲面，這個函數在 Balkin and Lin (2000)的論文中被 拿來測試類神經網絡，我們在這裡引用來作為 RSM 模擬函數！首先我們選定起始點為x1= −7，x2 = 並且設定本次模擬反應曲面設計中因子高低水準7
的差為 ，在最陡上升時每步前進 2 編碼單位長，且在配適二階模型時採用
旋轉的 2 因子中央合成設計。
1: 0.125
x x2: 0.125
Fihure 3.7: 上圖是我們的模擬函數空照圖，我們將在此曲面上以 RSM 作搜尋！
我們將在每次配適模型後，計算每個估計參數之迴歸係數平方和，並且計算其解釋能力
pure quadratic intersection
SS SS
=============================== STEP : 1 ===============================
設定 x = -7 , 1 x = 7 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-7.000000 7.000000 0 0 0.012669
-6.937500 7.062500 1 1 0.013430
-6.937500 6.937500 1 -1 0.013309
-7.062500 7.062500 -1 1 0.012069
-7.062500 6.937500 -1 -1 0.011965
配適的一階反應模型為 ˆy = 0.012688 + 0.00067626x + 5.6396e-0051 x 2 此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 85.2329 度，對應之上升速率為 0.00067861 (1/編碼單位長)
( 配適的 部分二階反應模型 為 = 0.012669 + 0.00067626
ˆy x + 5.6396e-0051 x + 2.3682e-0052 x12 + 4.4947e-006x x 1 2 SC 值為： 26.0026
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 1.8293e-006 1.2722e-008 8.0809e-011 4.4866e-010 1.8426e-006 0 解釋能力% 99.2808 0.6905 0.0044 0.0243
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 3479.0666 ) 0 -7.00000 7.00000 0 0 0.01267
1 -6.87543 7.01039 1.99308 0.16621 0.01413 85.2329 85.1824 2 -6.75086 7.02078 3.98616 0.33242 0.01581 85.2329 85.0701 3 -6.62630 7.03116 5.97924 0.49863 0.01777 85.2329 84.9341 4 -6.50173 7.04155 7.97233 0.66484 0.02005 85.2329 84.8454 5 -6.37716 7.05194 9.96541 0.83105 0.02274 85.2329 84.7330 6 -6.25259 7.06233 11.95849 0.99727 0.02593 85.2329 84.6206 7 -6.12803 7.07272 13.95157 1.16348 0.02974 85.2329 84.3958 8 -6.00346 7.08311 15.94465 1.32969 0.03432 85.2329 84.2833 9 -5.87889 7.09349 17.93773 1.49590 0.03989 85.2329 84.1708 10 -5.75432 7.10388 19.93082 1.66211 0.04674 85.2329 84.0583 11 -5.62976 7.11427 21.92390 1.82832 0.05525 85.2329 83.8333 12 -5.50519 7.12466 23.91698 1.99453 0.06597 85.2329 83.7207 13 -5.38062 7.13505 25.91006 2.16074 0.07968 85.2329 83.4955 14 -5.25605 7.14543 27.90314 2.32695 0.09753 85.2329 83.3829 15 -5.13149 7.15582 29.89622 2.49316 0.12124 85.2329 83.1575 16 -5.00692 7.16621 31.88930 2.65937 0.15350 85.2329 82.9320 17 -4.88235 7.17660 33.88239 2.82558 0.19865 85.2329 82.7064 18 -4.75778 7.18699 35.87547 2.99180 0.26402 85.2329 82.4807 19 -4.63322 7.19738 37.86855 3.15801 0.36264 85.2329 82.2549 20 -4.50865 7.20776 39.86163 3.32422 0.51905 85.2329 82.0290 21 -4.38408 7.21815 41.85471 3.49043 0.78249 85.2329 81.8029 22 -4.25951 7.22854 43.84779 3.65664 1.25713 85.2329 81.5768 23 -4.13495 7.23893 45.84087 3.82285 2.15771 85.2329 81.3504 24 -4.01038 7.24932 47.83396 3.98906 3.74619 85.2329 81.3504 25 -3.88581 7.25970 49.82704 4.15527 5.22302 85.2329 85.1824 26 -3.76124 7.27009 51.82012 4.32148 4.48122 85.2329 95.7167
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -3.8858, 1 x = 7.2597 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 2 ===============================
設定x = -3.8858 1 x = 7.2597 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-3.885810 7.259705 0 0 5.223016
-3.823310 7.322205 1 1 5.037635
-3.823310 7.197205 1 -1 5.227659
-3.948310 7.322205 -1 1 4.770860
-3.948310 7.197205 -1 -1 4.536659
配適的一階反應模型為 ˆy = 4.9592 + 0.23944x + 0.0110441 x 2 此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 87.3591 度，對應之上升速率為 0.2397 (1/編碼單位長)
( 配適的部分二階反應模型為 = 5.223 + 0.23944
ˆy x + 0.0110441 x - 0.329812 x12 - 0.10606x x 1 2 SC 值為： 0.57469
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 2.2933e-001 4.8791e-004 4.4992e-002 8.7021e-002 3.6183e-001 0 解釋能力% 63.3808 0.1348 12.4343 24.0500
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 1.7409 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型 配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-3.885810 7.259705 0.000 0.000 5.223016 -3.823310 7.322205 1.000 1.000 5.037635 -3.823310 7.197205 1.000 -1.000 5.227659 -3.948310 7.322205 -1.000 1.000 4.770860 -3.948310 7.197205 -1.000 -1.000 4.536659 -3.797422 7.259705 1.414 0.000 4.924858 -3.974198 7.259705 -1.414 0.000 4.304779 -3.885810 7.348093 0.000 1.414 5.234616 -3.885810 7.171316 0.000 -1.414 5.169373 配適的二階反應模型為：
ˆy = 5.223 + 0.22934x + 0.0170561 x - 0.30792 x12 - 0.014311x22 - 0.10606x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 4.2077e-001 2.3272e-003 4.4992e-002 4.3706e-001 9.0671e-001 0 解釋能力% 46.4056 0.2567 4.9621 48.2027
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 0.87769
二階模型分析：
此模型有極大值，位於 x = 0.74559, 1 x = -2.1668 (編碼座標) 2 其距設計中心點 2.2914 單位(coded)長，且位於 161.0114 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 80.0691 及 260.0691 度，對應之下降速率為 -0.31718 (1/編碼單 位長平方)
最緩下降脊對應之方向角為 170.0691 及 350.0691 度，對應之下降速率為 -0.0050271 (1/編 碼單位長平方) 0 -3.88581 7.25970 0 0 5.22302
1 -3.84235 7.14250 0.69531 -1.87524 5.31801 159.6560 159.6560 2 -3.82038 7.01842 1.04688 -3.86058 5.36593 164.8279 164.8279 3 -3.79872 6.89496 1.39350 -5.83594 5.41452 166.5705 166.4452 4 -3.77741 6.77160 1.73438 -7.80973 5.46389 167.4790 167.3644 5 -3.75519 6.64851 2.08984 -9.77919 5.51437 167.9372 167.8227 6 -3.73347 6.52534 2.43750 -11.74983 5.56564 168.2802 168.1018 7 -3.71320 6.40190 2.76172 -13.72490 5.61665 168.6229 168.2802 8 -3.69050 6.27896 3.12500 -15.69186 5.67025 168.7370 168.5087 9 -3.66828 6.15594 3.48047 -17.66030 5.72430 168.8511 168.6229 10 -3.64655 6.03282 3.82813 -19.63022 5.77851 168.9651 168.6574 11 -3.62531 5.90961 4.16797 -21.60157 5.83230 169.0791 168.6574 12 -3.60456 5.78631 4.50000 -23.57435 5.88480 169.1931 168.7370 13 -3.58246 5.66327 4.85353 -25.54297 5.94022 169.2412 168.7370 14 -3.56110 5.54009 5.19531 -27.51379 5.99336 169.3070 168.7370 15 -3.54157 5.41658 5.50781 -29.49007 6.03820 169.4208 168.7370 16 -3.51862 5.29370 5.87500 -31.45607 6.09553 169.4208 168.7370 17 -3.49567 5.17082 6.24219 -33.42207 6.15276 169.4208 168.7370 18 -3.47712 5.04713 6.53906 -35.40114 6.18447 169.5347 168.7370 19 -3.45441 4.92421 6.90234 -37.36787 6.23720 169.5347 168.7370 20 -3.43171 4.80129 7.26563 -39.33460 6.28857 169.5347 168.7370 21 -3.40900 4.67837 7.62891 -41.30133 6.33819 169.5347 168.6574 22 -3.39167 4.55446 7.90625 -43.28384 6.33805 169.6484 168.6574
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -3.409, 1 x = 4.6784 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 3 ===============================
設定 x = -3.409 1 x = 4.6784 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-3.409003 4.678371 0 0 6.338192
-3.346503 4.740871 1 1 6.349060
-3.346503 4.615871 1 -1 6.527573
-3.471503 4.740871 -1 1 5.746601
-3.471503 4.615871 -1 -1 5.412285
配適的一階反應模型為 ˆy = 6.0747 + 0.42944x + 0.0389511 x 2 此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 84.8173 度，對應之上升速率為 0.4312 (1/編碼單位長)
( 配適的部分二階反應模型為 = 6.3382 + 0.42944
ˆy x + 0.0389511 x - 0.329312 x12 - 0.12821x x 1 2 SC 值為： 1.0238
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 7.3766e-001 6.0687e-003 6.5748e-002 8.6757e-002 8.9624e-001 0 解釋能力% 82.3067 0.6771 7.3360 9.6801
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 4.8768 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型 配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-3.409003 4.678371 0.000 0.000 6.338192 -3.346503 4.740871 1.000 1.000 6.349060 -3.346503 4.615871 1.000 -1.000 6.527573 -3.471503 4.740871 -1.000 1.000 5.746601 -3.471503 4.615871 -1.000 -1.000 5.412285 -3.320615 4.678371 1.414 0.000 6.294986 -3.497392 4.678371 -1.414 0.000 5.167417 -3.409003 4.766760 0.000 1.414 6.396048 -3.409003 4.678371 0.000 0.000 6.338192 配適的二階反應模型為：
ˆy = 6.3382 + 0.41405x + 0.050541 x - 0.30622 x12 - 0.017707x22 - 0.12821x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 1.3715e+000 2.0434e-002 6.5748e-002 4.2617e-001 1.8870e+000 3.2032e-003 解釋能力% 72.6791 1.0829 3.4842 22.5841
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 2.8296
二階模型分析：
此模型有極大值，位於x = 1.5587, 1 x = -4.216 (編碼座標) 2 其距設計中心點 4.4949 單位(coded)長，且位於 159.7096 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 78.0197 及 258.0197 度，對應之下降速率為 -0.3198 (1/編碼單 位長平方)
最緩下降脊對應之方向角為 168.0197 及 348.0197 度，對應之下降速率為 -0.004104 (1/編碼 單位長平方) 0 -3.40900 4.67837 0 0 6.33819
1 -3.34528 4.57083 1.01953 -1.72063 6.56142 149.3518 150.0000 2 -3.31816 4.44546 1.45352 -3.72656 6.63947 158.6920 158.9382 3 -3.29182 4.32215 1.87500 -5.69951 6.71832 161.7900 161.9078 4 -3.26545 4.19942 2.29688 -7.66318 6.79890 163.3150 163.3150 5 -3.23933 4.07684 2.71484 -9.62443 6.88137 164.2474 164.1311 6 -3.21418 3.95412 3.11719 -11.58806 6.96500 164.9438 164.7119 7 -3.18684 3.83205 3.55469 -13.54120 7.05183 165.2912 165.0597 8 -3.16096 3.70962 3.96863 -15.50000 7.13899 165.6385 165.2912 9 -3.13654 3.58686 4.35938 -17.46413 7.22399 165.9843 165.4069 10 -3.10871 3.46498 4.80469 -19.41430 7.31666 166.0996 165.5225 11 -3.08405 3.34232 5.19922 -21.37681 7.40116 166.3301 165.6385 12 -3.05744 3.22015 5.62500 -23.33151 7.49085 166.4452 165.6385 13 -3.03160 3.09781 6.03849 -25.28906 7.57614 166.5705 165.7535 14 -3.00568 2.97548 6.45313 -27.24623 7.65903 166.6753 165.7535 15 -2.98054 2.85298 6.85547 -29.20621 7.73278 166.7903 165.7535 16 -2.95197 2.73129 7.31250 -31.15329 7.82693 166.7903 165.7535 17 -2.92756 2.60863 7.70313 -33.11589 7.88347 166.9052 165.6385 18 -2.90363 2.48586 8.08594 -35.08016 7.92305 167.0201 165.6385 19 -2.87556 2.36406 8.53516 -37.02906 7.99685 167.0201 165.6380 20 -2.84922 2.24185 8.95648 -38.98438 8.04238 167.0611 165.5225 21 -2.82453 2.11927 9.35156 -40.94567 8.05316 167.1349 165.5225 22 -2.79670 1.99740 9.79688 -42.89547 8.09464 167.1349 165.4069
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -2.7967, 1 x = 1.9974 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 4 ===============================
設定 x = -2.7967 1 x = 1.9974 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-2.796699 1.997405 0 0 8.094642
-2.734199 2.059905 1 1 8.693110
-2.734199 1.934905 1 -1 8.674182
-2.859199 2.059905 -1 1 7.273336
-2.859199 1.934905 -1 -1 6.712811
配適的一階反應模型為 ˆy = 7.8896 + 0.84529x + 0.144861 x 2 此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 80.2753 度，對應之上升速率為 0.85761 (1/編碼單位長)
( 配適的部分二階反應模型為 = 8.0946 + 0.84529
ˆy x + 0.144861 x - 0.256282 x12 - 0.1354 x x 1 2 SC 值為： 2.5279
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 2.8580e+000 8.3941e-002 7.3332e-002 5.2545e-002 3.0679e+000 0 解釋能力% 93.1608 2.7362 2.3903 1.7127
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 23.372 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型 配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-2.796699 1.997405 0.000 0.000 8.094642 -2.734199 2.059905 1.000 1.000 8.693110 -2.734199 1.934905 1.000 -1.000 8.674182 -2.859199 2.059905 -1.000 1.000 7.273336 -2.859199 1.934905 -1.000 -1.000 6.712811 -2.708310 1.997405 1.414 0.000 8.773868 -2.885087 1.997405 -1.414 0.000 6.486454 -2.796699 2.085793 0.000 1.414 8.316622 -2.796699 1.909016 0.000 -1.414 7.788260 配適的二階反應模型為：
ˆy = 8.0946 + 0.827x + 0.165831 x - 0.232982 x12 - 0.021836x22 - 0.1354x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 5.4715e+000 2.2001e-001 7.3332e-002 2.3604e-001 6.0071e+000 6.2091e-003 解釋能力% 91.0841 3.6625 1.2208 3.9293
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 18.3972
二階模型分析：
此模型有極大值，位於x = 6.777, 1 x = -17.2139 (編碼座標) 2 其距設計中心點 18.4999 單位(coded)長，且位於 158.5108 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 73.6645 及 253.6645 度，對應之下降速率為 -0.25282 (1/編碼單 位長平方)
最緩下降脊對應之方向角為 163.6645 及 343.6645 度，對應之下降速率為 -0.0019936 (1/編 碼單位長平方) 0 -2.79670 1.99740 0 0 8.09464
1 -2.68317 1.94509 1.81641 -0.83706 8.83010 114.7418 124.8839 2 -2.63588 1.80600 2.57315 -3.06250 8.99556 139.9626 144.5333 3 -2.59748 1.67970 3.18750 -5.08329 9.16580 147.9100 150.6440 4 -2.56037 1.55678 3.78125 -7.04998 9.34195 151.7931 153.5567 5 -2.52448 1.43480 4.35547 -9.00166 9.52773 154.1799 155.2936 6 -2.48908 1.31339 4.92188 -10.94418 9.72030 155.7853 156.3504 7 -2.45319 1.19265 5.49609 -12.87606 9.91712 156.8850 157.0066 8 -2.41779 1.07197 6.06250 -14.80696 10.11741 157.7341 157.4923 9 -2.38231 0.95151 6.63029 -16.73438 10.31781 158.3862 157.7865 10 -2.34748 0.83091 7.18750 -18.66386 10.51196 158.9382 157.9757 11 -2.31105 0.71103 7.77046 -20.58203 10.70487 159.3167 158.0844 12 -2.27521 0.59097 8.34375 -22.50293 10.88259 159.6560 158.0844 13 -2.24128 0.47027 8.88672 -24.43412 11.02167 160.0136 157.9757 14 -2.20539 0.35033 9.46094 -26.35319 11.14941 160.2516 157.8549 15 -2.17048 0.23007 10.01953 -28.27736 11.22734 160.4892 157.7341 16 -2.13654 0.10950 10.56250 -30.20652 11.23987 160.7265 157.4923 17 -2.09943 -0.00994 11.15625 -32.11757 11.25378 160.8450 157.2495 18 -2.06283 -0.12955 11.74198 -34.03125 11.20220 160.9638 157.0066
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -2.0994, 1 x = -0.0099433 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 5 ===============================
設定 x = -2.0994 1 x = -0.0099433 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-2.099433 -0.009943 0 0 11.253782
-2.036933 0.052557 1 1 12.263562
-2.036933 -0.072443 1 -1 11.951469
-2.161933 0.052557 -1 1 10.461118
-2.161933 -0.072443 -1 -1 9.560880 配適的一階反應模型為 ˆy = 11.0982 + 1.0483x + 0.303081 x 2
此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 73.8739 度，對應之上升速率為 1.0912 (1/編碼單位長)
( 配適的部分二階反應模型為 = 11.2538 + 1.0483
ˆy x + 0.303081 x - 0.194522 x12 - 0.14704x x 1 2 SC 值為： 3.9564
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 4.3954e+000 3.6744e-001 8.6479e-002 3.0272e-002 4.8796e+000 0 解釋能力% 90.0773 7.5301 1.7723 0.6204
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 40.7949 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型 配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-2.099433 -0.009943 0.000 0.000 11.253782 -2.036933 0.052557 1.000 1.000 12.263562 -2.036933 -0.072443 1.000 -1.000 11.951469 -2.161933 0.052557 -1.000 1.000 10.461118 -2.161933 -0.072443 -1.000 -1.000 9.560880 -2.011045 -0.009943 1.414 0.000 12.415203 -2.187822 -0.009943 -1.414 0.000 9.471651 -2.099433 0.078445 0.000 1.414 11.658515 -2.099433 -0.098332 0.000 -1.414 10.694465 配適的二階反應模型為：
ˆy = 11.2538 + 1.0445x1 + 0.32196x - 0.155352 x12 - 0.038821x22 - 0.14704x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS8.7275e+000 8.2928e-001 8.6479e-002 8.7833e-002 9.7341e+000 2.9669e-003 解釋能力%89.6594 8.5193 0.8884 0.9023
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 54.826
二階模型分析：
此模型有極大值，位於x = 13.479, 1 x = -21.3792 (編碼座標) 2
其距設計中心點 25.2736 單位(coded)長，且位於 147.7697 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 64.199 及 244.199 度，對應之下降速率為 -0.19089 (1/編碼單位 長平方)
最緩下降脊對應之方向角為 154.199 及 334.199 度，對應之下降速率為 -0.0032798 (1/編碼 單位長平方)
此模型之線性上升脊對應之上升方向角為 72.868 度，對應之上升速率為 1.093 (1/編碼單位 長)
以下我們將開始以最陡上升法逐步搜尋最佳點：
我們將在每步移動前由估計的反應曲面找出最大的上升方向作為我們的最陡上升搜尋方向
自然變數 編碼變數 反應值
步伐 x1 x2 x1 x2 y路徑方向角實際曲面之
最陡方向角 0 -2.09943 -0.00994 0 0 11.25378
1 -1.97459 -0.00360 1.99742 0.10156 12.62513 87.0892 97.7451 2 -1.87300 -0.11590 3.62297 -1.69531 13.06012 115.0765 123.5548 3 -1.80323 -0.23992 4.73919 -3.67969 13.54343 127.8271 131.9147 4 -1.74198 -0.35955 5.71926 -5.59375 14.05415 134.3644 135.6304 5 -1.68317 -0.47615 6.66016 -7.45938 14.56516 138.2397 137.3331 6 -1.62582 -0.59149 7.57778 -9.30469 15.04633 140.8405 137.9390 7 -1.56965 -0.70633 8.47656 -11.14217 15.44808 142.7374 137.9181 8 -1.51350 -0.82030 9.37500 -12.96570 15.72033 144.1308 137.1808 9 -1.45783 -0.93405 10.26563 -14.78570 15.79366 145.2280 135.9479 10 -1.40237 -1.04754 11.15294 -16.60156 15.61200 146.1068 133.8966
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -1.4578, 1 x = -0.93405 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 6 ===============================
設定 x = -1.4578 1 x = -0.93405 為反應曲面設計中心點 2 配適一階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-1.457832 -0.934050 0 0 15.793664
-1.395332 -0.871550 1 1 16.793460
-1.395332 -0.996550 1 -1 16.179814 -1.520332 -0.871550 -1 1 15.351820 -1.520332 -0.996550 -1 -1 14.233109 配適的一階反應模型為 ˆy = 15.6704 + 0.84709x + 0.433091 x 2
此模型有一線性最陡上升脊：
且此上升脊對應之上升方向角為 62.9207 度，對應之上升速率為 0.95138 (1/編碼單位長)
( 配適的部分二階反應模型為 = 15.7937 + 0.84709
ˆy x + 0.433091 x - 0.154112 x12 - 0.12627 x x 1 2 SC 值為： 4.5659
模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 2.8702e+000 7.5027e-001 6.3773e-002 1.9001e-002 3.7033e+000 0 解釋能力% 77.5053 20.2596 1.7221 0.5131
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 43.7397 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型
配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-1.457832 -0.934050 0.000 0.000 15.793664 -1.395332 -0.871550 1.000 1.000 16.793460 -1.395332 -0.996550 1.000 -1.000 16.179814 -1.520332 -0.871550 -1.000 1.000 15.351820 -1.520332 -0.996550 -1.000 -1.000 14.233109 -1.369443 -0.934050 1.414 0.000 16.877265 -1.546220 -0.934050 -1.414 0.000 14.428097 -1.457832 -0.845661 0.000 1.414 16.244785 -1.457832 -1.022438 0.000 -1.414 15.006601 配適的二階反應模型為：
= 15.7937 + 0.8565
ˆy x + 0.435431 x - 0.07042 x12 - 0.083895x22 - 0.12627x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 5.8687e+000 1.5168e+000 6.3773e-002 2.1890e-002 7.4719e+000 7.5274e-004 解釋能力% 78.5438 20.2997 0.8535 0.2930
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 86.2157
二階模型分析：
此模型有極大值，位於x = 11.5511, 1 x = -6.0975 (編碼座標) 2
其距設計中心點 13.0617 單位(coded)長，且位於 117.8282 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 41.95 及 221.95 度，對應之下降速率為 -0.14064 (1/編碼單位長 平方)
最緩下降脊對應之方向角為 131.95 及 311.95 度，對應之下降速率為 -0.013655 (1/編碼單位 長平方)
此模型之線性上升脊對應之上升方向角為 63.0521 度，對應之上升速率為 0.96083 (1/編碼單 位長)
以下我們將開始以最陡上升法逐步搜尋最佳點：
我們將在每步移動前由估計的反應曲面找出最大的上升方向作為我們的最陡上升搜尋方向
自然變數 編碼變數 反應值
步伐 x1 x2 x1 x2 y路徑方向角實際曲面之
最陡方向角 0 -1.45783 -0.93405 0 0 15.79366
1 -1.33576 -0.90715 1.95313 0.43047 17.27650 77.5707 80.4438 2 -1.20842 -0.95114 3.99064 -0.27344 18.31313 93.9198 93.4712 3 -1.09400 -1.02487 5.82138 -1.45313 19.20054 104.0157 96.9552 4 -0.98811 -1.10539 7.51563 -2.74142 19.65518 110.0401 96.2055 5 -0.88673 -1.18796 9.13762 -4.06250 19.26990 113.9695 93.1349
由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -0.98811, 1 x = -1.1054 之處； 2
-0.988105 -1.105388 0 0 19.655182
-0.925605 -1.042888 1 1 20.490995
-0.925605 -1.167888 1 -1 19.389240 -1.050605 -1.042888 -1 1 19.514376 -1.050605 -1.167888 -1 -1 18.538086 配適的一階反應模型為 ˆy = 19.5176 + 0.45694x + 0.519511 x 2
quadratic Total residual SS 8.3519e-001 1.0796e+000 3.9354e-003 2.3669e-002 1.9424e+000 0 解釋能力% 42.9986 55.5802 0.2026 1.2186
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 69.3637 )
由於 SC <= 7 ，因此我們認為曲率是顯著的，我們將增加 4 個軸點以配適二階模型 配適二階反應曲面：
自然變數 編碼變數 反應值
x1 x2 x1 x2 y
-0.988105 -1.105388 0.000 0.000 19.655182 -0.925605 -1.042888 1.000 1.000 20.490995 -0.925605 -1.167888 1.000 -1.000 19.389240 -1.050605 -1.042888 -1.000 1.000 19.514376 -1.050605 -1.167888 -1.000 -1.000 18.538086 -0.899717 -1.105388 1.414 0.000 20.231588 -1.076493 -1.105388 -1.414 0.000 18.930143 -0.988105 -1.017000 0.000 1.414 20.083185 -0.988105 -1.193777 0.000 -1.414 18.683229 配適的二階反應模型為：
ˆy = 19.6552 + 0.45854x + 0.507241 x - 0.0368742 x12 - 0.1357x22 + 0.031366x x 1 2 模型解釋能力分析：
β1 β2 intersection pure
quadratic Total residual SS 1.6820e+000 2.0583e+000 3.9354e-003 6.5542e-002 3.8111e+000 1.2285e-003 解釋能力% 44.1360 54.0087 0.1033 1.7198
模型中線性項與二次項對模型解釋能力比： 53.8352 二階模型分析：
此模型有極大值，位於x = 7.3751, 1 x = 2.7213 (編碼座標) 2 其距設計中心點 7.8611 單位(coded)長，且位於 69.747 度方向 此模型有二極限下降脊(falling ridge)：
最陡下降脊對應之方向角為 171.1959 及 351.1959 度，對應之下降速率為 -0.13813 (1/編碼 單位長平方)
最緩下降脊對應之方向角為 81.1959 及 261.1959 度，對應之下降速率為 -0.034444 (1/編碼 單位長平方)
此模型之線性上升脊對應之上升方向角為 42.1133 度，對應之上升速率為 0.68377 (1/編碼單 位長)
以下我們將開始以最陡上升法逐步搜尋最佳點：
我們將在每步移動前由估計的反應曲面找出最大的上升方向作為我們的最陡上升搜尋方向
自然變數 編碼變數 反應值
步伐 x1 x2 x1 x2 y路徑方向角實際曲面之
最陡方向角 0 -0.98811 -1.10539 0 0 19.65518
1 -0.88483 -1.03496 1.65234 1.12684 20.80652 55.7075 56.7133 2 -0.76524 -0.99211 3.56579 1.81250 21.70190 63.0556 60.3869 3 -0.64228 -0.96037 5.53319 2.32031 22.26899 67.2495 59.6116 4 -0.51857 -0.93351 7.51249 2.75000 22.01621 69.8945 57.3802 由於使用最陡上升搜尋到比起點之反應值更佳之點，在 x = -0.64228, 1 x = -0.96037 之處； 2 我們將以此點作為新的反應曲面設計中心點重新配適模型以繼續我們的搜尋。
=============================== STEP : 8 ===============================
設定 x = -0.64228 1 x = -0.96037 為反應曲面設計中心點 2
設定 x = -0.64228 1 x = -0.96037 為反應曲面設計中心點 2