一样本正态总体均值和方差的检验

现实中经常碰到诸如此类的问题: 假设用于某用途的合格铁钉要求长度为 10 厘米, 现有经销 商从生产厂家订购了一批这样的铁钉, 为了检验该批检验产品是否合格, 可以从中抽取一小部分进 行测量检验, 通常铁钉的长度服从一个正态分布, 这类问题属于一样本正态总体的假设检验问题.

一般地, 设总体 X ∼ N (µ, σ²), −∞ < µ < ∞, σ² > 0; X1, · · · , Xn 是取自总体 X 的一个样 本. 取显著性水平为 α.

(1) 方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设, 即要检验

H0: µ = µ0 ↔ H₁ : µ 6= µ0. 由于 µ 的极大似然估计为 ¯X, 取“标准化”后的检验统计量

U = u(X₁, · · · , X_n) =√

nX − µ¯ ₀ σ

注意到当 H₀ 成立时, U ∼ N (0, 1), |U | 应该较小, 反之当 |U | 的观测值 u(x₁, · · · , x_n) 较大时, 不 利于零假设 H₀ 应该拒绝之. 所以选拒绝域形如

{|U | > τ }.

要求显著性水平为 α, 即

P_H0(|U | > τ ) = α, 解得 τ = u_α/2. 于是检验的拒绝域为

{|U | > u_α/2}.

即当观测值 (x₁, · · · , xn) 满足不等式

√n|¯x − µ0|

σ > u_α/2 时拒绝 H₀.

类似地, 检验单侧假设

H₀ : µ = µ₀ ↔ H₁ : µ > µ₀ 或者 H₀ : µ ≤ µ₀ ↔ H₁ : µ > µ₀ 仍然用统计量 U , 由于U 大时不利于 H₀, 取拒绝域为

{U > u_α} . 而检验另一个单侧假设

H₀ : µ = µ₀ ↔ H₁ : µ < µ₀ 或者 H₀ : µ ≤ µ₀ ↔ H₁ : µ < µ₀ 的拒绝域为

{U < −u_α} .

虽然我们取的临界值只考虑使检验在 µ = µ₀ 处的犯 I 类错误的概率为 α, 从检验的拒绝域的形状 上可直接看出来在零假设下 µ ≤ µ₀ (或 µ ≥ µ0) 时犯第 I 类错误的概率恒小于或等于 α.

以上三个检验统称为 u 检验.

例

例例 7.2.1. 随机地从一批铁钉中抽取 16 枚, 测得它们的长度 (单位: 厘米) 如下:

2.942371 2.988662 3.106234 3.109316 3.118427 3.132254 3.140042 3.170188 2.902562 3.128003 3.146441 2.978240 3.103600 3.003394 3.044384 2.849916

已知铁钉长度服从标准差为 0.1 的正态分布, 在显著性水平 α = 0.01 下, 能否认为这批铁钉的平 均长度为 3 厘米? 如显著性水平为 α = 0.05 呢?

解: 这是方差已知时关于均值 µ 的假设检验问题,

H0 : µ = 3 ↔ H1 : µ 6= 3.

取检验统计量为 U = √

n( ¯X − 3)/0.1, 检验的拒绝域为 |U | > u_α/2. 由样本算得检验统计量的值 为 u ≈ 2.16, 如显著性水平为 0.01, 则临界值为 u_0.005 ≈ 2.58, 跟检验统计量的值比较发现不能 拒绝零假设, 即不能推翻铁钉平均长度为 3 厘米的假设; 而如果显著性水平为 0.05时, 临界值为

u0.025= 1.96, 此时可以拒绝零假设, 认为铁钉平均长度不等于 3 厘米. 这个例子说明结论可能跟显

著性水平的选择有关: 显著性水平越小, 零假设被保护得越好从而更不容易被拒绝.

例

例例 7.2.2. 对正态总体N (µ, σ²)(其中σ²已知)下的假设检验问题 H₀ : µ = µ0 ↔ H₁ : µ 6= µ0，如果 我们还要求“犯第二类错误的概率要小于指定的β > 0”该怎么办？

解：根据功效函数和两类错误的定义，知道等价的要求

β_φ(µ) ≥ 1 − β, µ < µ₀ (7.2.1) 但是，当µ < µ₀但µ接近µ₀时，β_φ(µ) ≈ α，而因为α, β一般都很小，因此一般有α < 1 − β，这就 看出要求(7.2.1)无法达到。我们只能放松一些，要求对某个指定的µ₁ < µ₀，有

β_φ(µ) ≥ 1 − β, µ < µ1 (7.2.2) 因为β_φ(µ)为µ的减函数，因此等价于要求

β_φ(µ₁) ≥ 1 − β 此即

Φ √n(µ₀− µ) σ − u_α



≥ 1 − β 等价的得到

n ≥ σ²(uα+ u_β)²/(µ0− µ)² 也即要满足题目中的要求，样本大小至少要达到上式右边那么大。

(2) 方差未知时均值的检验 考虑检验

H₀ : µ = µ₀ ↔ µ 6= µ₀,

由于方差未知, 可以在将 ¯X 标准化的过程中用样本方差 S² 代替总体方差 σ², 得检验统计量

T =√

nX − µ¯ ₀ S . 由于在 H₀ 下, T ∼ t_n−1, 于是拒绝域取成

{|T | > t_n−1(α/2)} . 此检验称为 t 检验.

类似地可以得到另外两个单侧假设的检验拒绝域, 列于表 7.2.1中.

例

例例 7.2.3. (例7.2.1续) 设方差未知, 则在水平 0.01 和 0.05 下能否认为铁钉平均长度为 3 厘米?

解: 这是方差未知时关于均值 µ 的假设检验问题,

例