（一）補救教學後學生在分數概念上已有成長與進步
教學前多數學生由於缺乏對分數概念的理解，以致於在處理分數問題
時無法有效的解決問題，但是在教學後之結果顯示學生在分數概念上已有成 長與進步。對分數詞意義的了解方面，學生已具有較穩定的等分概念，也能 主動注意部分與整體單位量的關係；而在分數大小的比較上，學生能夠確認 單位量為何，並且知道分數大小的比較要在公平的立足點上進行比較才有意 義。但是，在分數的運算上，仍有部分學生還是會用整數的概念進行分數運 算，未能完全將分數視為一個數，這也是往後教學須繼續加強的部分。然 而，經過此次的補救教學活動後，發現學生不僅能用多元的表徵方式呈現對 分數概念的認知，對於分數計算及算則也較能進行有意義的運算。在2週的 課程中，透過課室對話再加上教學者適時的利用具體物、半具體物至符號表 徵的教學引導及介入，學生得到的不只是分數概念的再次澄清與修正，其對 數學學習信心的增加更是這次補救教學所得到的最大寶藏。
（二）補救教學歷程之反思
從數學學習的角度而言，研究者提出以下與教學有特定關係之反思：
1.具體物的操作是學習分數的必要過程
學生透過足夠的具體物操作活動，才能建構出對自己有意義的數學概 念。大部分的老師在教學上都會有一個疑惑：我明明講解得很清楚了，且一 再地強調，為什麼學生還是不懂？人們常說「不可能無中生有」，在數學學 習的領域亦同，當我們對某種概念缺乏背景知識，無法形成假設時，就容易 變成有「看」卻沒有「到」。這就是為什麼許多的訊息在數學課室中不斷地 被強調，學生仍然會視若無睹，可見當新概念引進來時，讓學童進行充分的 具體物操作是不可少的工作（Bezuk and Cramer, 1989; Post et al., 1992; Ross and Kurtz, 1993）。
2.教師應有充分的背景知識，以利在數學課室中做出正確的判斷
教學不僅是藝術，亦是不斷做決定的歷程。所謂「戲法人人會變，巧 妙各有不同」，這不同之處，即是藝術之所在。當教學者為學生的迷思概念 量身打造教學活動時，雖是與教育專家、工作伙伴經過深思熟慮，並在教學 者的腦中進行模擬。但是，方法是死的，人是活的，實施起來才警覺有所矛 盾，或者學生的反應和原先想法有所不同。例如，研究小組一致認為數線是
再出現先前的迷思概念。當期待有所落差時，做決定的時間只有一瞬間，當 下是要選擇忽視或是進一步追問？是先肯定學生的想法，但留至下一次上課 討論？如何做出正確的決定，取決於教師平時進修及不斷地進行教學省思，
以增強自己的演出功力。因此，教師應有充分的背景知識，以利在數學課室 的討論、對話中做出正確的判斷。
3.適當的練習仍是不可缺少的基本功
當學生對概念有所體悟時，適當的練習仍是不可缺少的基本功。研究 者在補救教學進行時，覺得每個教學活動的當下學生都有所進步，但實施分 數概念後測時，發現學生在某些題型上仍選擇錯誤的答案。「由於人們所經 驗的許多感覺均是由自己的動作而來，欲抓住這些感覺就必須不斷地重複自 己的舉動，藉著重複自己的行為舉動，便能獲得愈來愈多的經驗，進而有所 學習」（Maurer,1997，引自蕭德蘭譯，1998，p.345）。既然改變及學習都 不是一蹴可幾，那麼練習應該是必要的。本研究的補救教學活動，希望學生 能從豐富的具體操作經驗中，引導學生使用圖形表徵，以增強其心像能力，
進一步加強對分數概念的理解，因而對分數的算則產生有意義的連結。那 麼，當學生需要為數學想法做辯證時，他可以選擇自己理解或有把握的方 式，如具體物操弄或圖形表徵等。
從一般學習的角度而言，研究者提出以下之反思：
1.培養孩子的自信心是補救教學的重要工作之一
在傳統的教育體系中，學生如果功課不好，大多會認為自己的頭腦不 好，家長和老師也不自覺會有類似的認知，認為學生成績不好是因為資質較 差，或是不用功。長久下來，學習成效不好的學生，就會被貼上「頭腦不 好」的標籤，漸漸的，學生會認為學不好是應該的。在補救教學活動實施的 過程中發現，其實孩子並不害怕接受挑戰，可是他必須要先能找到自己也能 完成一些什麼的信心，才有力量在學習活動中動起來。例如：S1「我覺得數 學很難，以前我都不想寫數學日記，可是我越寫越好玩了」；S3「我走去講 台前解釋數學圖形，我的心情是：為什麼會是我！出去後發現其實很簡單」。
基於此，老師們應該尊重孩子的自然想法，不要急於責備孩子的錯誤，不要
急於告訴他解法，鼓勵孩子的成就，提升孩子的信心，彰顯孩子的學習，期 許孩子透過成功經驗，提高學習興趣和信心。
2.數學日記提供教師另類途徑去瞭解學生的學習感受及成果
「教學」包含了老師如何「教」？學生如何「學」？這意涵著一個基 本的問題〜學習要以學生為本位出發，忽略了學生學習知識的心理過程，
及怎樣的教學對他們來講才是有意義的學習，將是本末倒置。平常上課時間 有限，無法傾聽每個孩子的想法，選擇以數學日記寫作的方式加入本研究，
是為了幫助瞭解學生的學習情況。既然讀書要能提綱挈領，理解整體概念，
自己做筆記整理以求前後比較呼應，幾乎是每一科都適用的方法，以數學科 而言，這樣的道理應該也是相同的。寫下來的數學概念是經過組織整理，再 反芻吸收，有助於培養孩子的後設認知能力，也就是能夠反省自己的學習（
Baxter et al., 2002）。
二、建議
依據研究結果，以下提出兩點建議，供學校教師、課程設計者、以及 研究者參考：
（一）對教師教學的建議
本教學研究過程發現教師若能適時運用不同的表徵方式，如圖形表 徵、口語表徵等，的確可以幫助孩童數學概念的發展，因此，我們建議教 師應鼓勵孩子使用不同的表徵方式去表達數學概念，以使孩子的數學概念更 加穩固。此外，教師「刻意的暫停」讓學生有時間學習，可以增進孩子思考 的機會。教學過程中，有時候教師往往迫不及待地希望學生趕快找出正確的 答案，或迫於時間的壓力，而直接告訴孩子解決問題的方法。在如此的情境 下，孩子可能會缺少思考的能力。因此，教師「刻意的暫停」，並營造一個
「思考的」課堂環境，對孩子的學習必定有極佳的助力。
（二）對課程設計的建議
研究者使用之數學教科書中之活動多以離散量的問題情境佈題（較常 使用長方體積木或花片等），但連續量相關的教具則較少使用，因此，當研
溝通。因此，建議教科書內之活動應善用多種不同形式（連續量和離散量）的 具體物以幫助學生學習。如一些研究（Hiebert & Grouws, 2007; NCTM, 2000;
National Research Council, 2001; Stein, Remillard, & Smith, 2007）指出，教科 書應提供孩子更多不同的學習機會，因為這些學習機會影響孩子的學習。
研究者當時使用之數學教科書中並未編排有關數線之教材，但教學研 究過程中，研究者發現適時運用數線於整數或分數之排序，可以幫助兒童連 結數字間之相對大小關係，效果亦不錯。因此，建議數線的教學應納入國小 課程。
誌謝
本研究蒙國科會專題計畫補助，計畫編號NSC 94-2521-S-415-003，特 誌申謝；文中所提論點純屬作者個人之意見，並不代表國科會立場。
作者衷心感謝審查委員對本文所提供之寶貴意見，由於您們的協助，
方能使本文能夠以更清楚、更結構化的方式呈現。