有關 3 位學生歸納階段作業呈現的算式，以求出圖次 10 的答案為例，將其結果歸納如表 6所示。以圖 A 來說，S1 從發想階段至歸納階段皆採用整體圖形關係基模計畫解題，以圖形 面積公式作為解題基礎；S2 和 S3 在發想階段以部分結構要素基模計畫解題，將物件數量採取 分割方式計數，但至歸納階段則轉換成面積概念解題（運用高斯定理）。針對圖形 B 與 C 而言，
此時 3 位學生皆發現圖形具有相同特徵之「單位」物件與固定值，將其組合可作為解題的規 則；在圖形 D 方面，S1 透過「平移」、「旋轉」和「填補」等基模協助建構完形圖形後，採取 正方形面積公式 p×p 解題，S2 與 S3 則利用數列之總和與圖次號碼的關係（1＋3＋5＋7＝
16），應用先前學過之梯形面積（上底＋下底）×高÷2 公式解題。
表 6
學生在歸納階段呈現之算式 圖形問題
學生代號 A B C D
S1 10(10＋1)/2 10×4＋4 10×4＋1 10×10 S2 (1＋10)10/2 10×4＋4 10×4＋1 [1＋(2×10－1)]10/2 S3 (1＋10)10/2 (10＋2)2＋10×2 1＋10×4 [1＋(2×10－1)]10/2
學生歸納階段呈現「單位組合基模」與「圖形結構基模」兩類概念基模。「單位組合基模」
是將圖形中的物件予以「單位化」，利用符應圖次的關係求解的心智模式，3 位學生皆採取此
80 一般化基模之研究 陳嘉皇 容易就算出答案了。【2009.09.22-1B（g）】
S1： 我原先的方法是整個正方形減去這四個部分（指圖形 C），剩下來的就是答案，
這 個 答 案 其 實 可 以 直 接 算 黑 色 的 方 塊 數 目 ， 就 是 S2 他 們 用 的 方 法 。
【2009.09.22-1C（g）】
陳嘉皇 一般化基模之研究 81 法比較簡單。【2009.09.22-1B（g）】
另外，S2 在圖形 A 和 D 作業發想與連結階段，皆採取部分結構要素的概念基模計畫解題，
所以就用面積的公式計算。【2009.09.22-2A（g）】
S2： 這個圖形是由這個個方塊和這四邊組成的，每一邊的方塊都一樣，和圖形的號 碼也一樣，要算第幾個圖的方塊，將號碼乘以 4 之後再加上 4 就可以了。
【2009.09.22-2B（g）】
S2： 十字架有四邊，每一邊的方塊都一樣，將號碼乘以 4 之後再加上中間這個方塊 就可以了。【2009.09.22-2C（g）】
82 一般化基模之研究 陳嘉皇
S3與 S2 在發想與歸納階段雖然採取相同的概念基模進行一般化，但深入分析仍有差異存 在，原因在於連結與歸納階段之運算策略有所轉變，他解釋如下：
S3： 像這個圖形（圖形 C），我本來的想法是第一個圖有五個黑點，第二個圖四邊各 增加一個，也就是增加四個，是 5＋4，第三個圖再增加四個，是 5＋4＋4，第 四個圖是 5＋4＋4＋4，後來看到每個圖都是增加四個，第一個圖是 1＋4，第四 個圖可以用 1＋4×4 就可算出。【2009.10.29-3C（g）】
S3： 老師要我們用算式表示問題，如果我再用這個方法加起來會很麻煩，我就想要 用什麼方式可以表示，這個圖形（圖 B），第一個圖中間有一個方塊，這邊是 1
＋2，他的上下是一個，所以用(1＋2)×2＋1×2……，第三個圖可以用(3＋2)×2
＋3×2……，因為第三個圖時，裡面正方形的邊有三個，第四個圖時，裡面正 方形的邊有四個。【2009.10.08-3B（g）】
由上述行動和說明顯示學生在圖形規律問題一般化歷程，從初始發想階段至最後解題的 歸納階段，概念與運算基模有所改變與轉換，分析基模轉換的原因在於：（一）發現圖形中相 同要素的物件可加以組合形成「單位化」協助解題，因此改變原先不合宜之基模，這可從 S1 發想階段以整體圖像結構基模，至歸納階段轉換成單位組合基模解題為例加以說明；（二）因 原有運算方式無法配合更高階知識的應用，像是要求學生以算式表示問題的關係，致使提取 像面積公式之舊有經驗以方便解題，此可以 S2 和 S3 在歸納階段採取圖形結構基模為例；（三）
從連結階段中圖次號碼與圖形要素間的規則建立，促使學生整合與理解圖形結構的關係，擴 增其既有基模知識。另發現基模的轉換具有兩項特質：（一）從對圖形問題之算術計數朝向符 號運用之更精細代數思考心智模式的運用；（二）從圖形部分要素之分析與運算朝向整體結構 關係之整合。這些發現可提供教師一般化教學啟示：（一）教學互動中，師生之間解題策略的 討論與分享，可促進認知衝突產生，協助改變解題之心智模式；（二）藉由比較、分析一般化 歷程產出之策略，可促進學生對不同策略和方法的省思，瞭解採用的方法或算式雖不同，但 皆具有等值的意義，擴展基模知識；（三）一般化的問題不只是求得問題的答案侷限算術解答，
應鼓勵學生採用符號進行代數思考，整合問題中變數之結構的關係，如此一般化才具效用。
配合圖形問題之特徵，將研究結果加以整合可建構出兩種學生一般化解題的模式，如圖 8 所示。這兩種解題模式的進展，主要參照兩方面因素的影響而建構，一是圖形結構的性質，
本研究之作業分成一次（圖形 B 與 C）與二次函數特徵（圖形 A 與 D）的圖形，致使學生在 一般化發想至歸納期間運用的基模明顯有所差異；另一影響要素則是學生一般化解題經驗與 知識，亦即學生在思考與解決圖形問題時，習慣採取圖形或數字表徵所引發或建構的基模進 行解題。教學模式 1 可稱為「利用圖形結構一般化的解題模式」，其作業特質是一次函數性質
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