三、「熱騰騰」試題》

一、永遠的考古題》

從國中、小的柱體體積與展開圖的表面積單元，延伸到高中的空間坐標與向量內、外積課 程，正方體一直是數學課本例題裡的必然成員，故在關鍵的升學考試當中，正方體經常會出奇 不意地點綴其中，稱之為「永遠的考古題」實不為過。本文以正方體與平面交集（以下簡稱為 正方體截面）的認知經驗出發，巧妙地剖析近年來出現的「大考試題」，同時彙整、對照歷屆 相關考題及其答題統計，末附筆者於特色課程設計的學習單與教學指引，小題大作與野人獻 曝，希冀能有助於活化數學課堂教學，增添一題多解的立體幾何思維。

二、「六」刀小試》

在中小學的教學現場，由於教師不易準備教具演示與操作解說，故在體制內的數學教材 中，少見有系統的探索活動或教學設計，來處理正方體的截面形狀，反倒是在評量之外的科普 書、科教場域的數學展示區，或是在課外數學營的活動中，學生才有機會接觸這些看得到、也 摸得到的立體實作。茲以正方體之正六邊形截面一題，引領讀者先動動腦與動動手。

【已知】正方體被一平面截切，可得一個正六邊形截面。

【求作】利用下圖所示之兩種正方體框架，擇一畫出正六邊形之示意圖。

【提示】適當選取6 條稜邊的中點逐一相連。

【模擬】取一透明壓克力製的正方體模型，附加一條橡皮筋圈套呈現。

【解答】參見附錄(一)。

三、「熱騰騰」試題》

在 2015 年北區第 3 次學測模擬考與 2016 年學測的數學試題中，恰巧都出現足以展現正方 體截面思維的解題妙法，茲與代數解法分析、比較如下：

彭良禎／師大附中數學科教師

(一)〈臺北區 104 學年度第一學期第三次學科能力測驗模擬考〉數學科多選題

12. 如右圖，ABCD-EFGH 為一邊長為 2 的正立方體，其中 P、Q、R 分別為AE 、CG 、

HG 之中點，下列選項哪些正確？

(1)PQ2 3

(2)△PQR 的面積為 2 3 (3)直線DF 與平面 PQR 垂直 (4)若向量PQ



與RP



的夾角為θ，則 3 cos   2

(5) H 到平面 PQR 的最短距離為 3 3 。

【解析】答案(3)、(4)、(5)。

1. 代數計算：

從官方版的詳解可知，出題老師的設計本意，原是希望學生能從正方體8 個頂點的空間坐 標設定著手，繼之分別以高二下〈空間向量〉單元所學的各種定義與公式逐一破解。

選項(1)套用空間中兩點的距離公式：PQ2 2



x1x2

 

² y1y2

 

² z1z2



² 。 選項(2)套用向量外積之三角形面積公式：△

2 u  v



 

。 選項(3)利用公垂向量之外積計算： n

  

 u  v _。

選項(4)結合向量內積定義與坐標表示法：

   

u  v  u v cosx x_{1 2}y y_{1 2}z z_{1 2}

。

選項(5)套用空間中點到平面的距離公式：^{d P E}



^,



^ax0 ₂^by0 ₂^cz0₂ ^d

a b c

  

   。

【評論】以上各種代數運算原屬中規中矩的公式應用，只是試題本最後附加的「可能用到 的參考公式及數值」不給力，在第7 頁模仿學測模式，洋洋灑灑提供將近整頁版面的 9 條 式子當中，只有第2 條國中數學程度的「平面上兩點間的距離為



x1x2

 

² y1y2



² 」，勉強算是有助於類推選項(1)，其餘仍得靠學生自力救濟。平心 而論，對於大考中心於學測附贈參考公式之「善舉」，多數師生應試的經驗評價通常只有 3 個字：「沒誠意！」因為給的通常都無用武之地，而真正該與各題目對號入座，諸如上 述列舉所需的公式，卻沒忠實呈現。

2. 幾何巧解：

若依題意先作圖△PQR（如圖(1)），則關於選項(1)、(2)、(4)的計算，即可利用周遭所見 的幾何條件逐一推敲。如在矩形PQGE 中，可判定PQ EG 2 2；藉由畢氏定理計算

△GQR 與△PER 的斜邊，可拼湊出△PQR 為邊長比2 2 : 2 : 6 2 :1: 3 ，為30°、

60°、90°的特殊角三角形。但面對選項(3)與(5)，若僅只觀察△PQR，便會見樹不見林，束 手無策。此時需充分利用「正方體與稜邊中點」等關鍵線索，將△PQR 擴充為正六邊形截 面PTUQRS（如圖(2)），則接下來只需用看的，就可以看出各個選項的所以然來。

選項(1)的PQ2SR（邊長）是正六邊形最長的對角線，並非2 3 所代表的正方體的空間 對角線長，該誘答數值相信是出題老師的精心設計，可惜查無模擬考之答對率與鑑 別度等答題數據，更無選項分析之研究報告可供比對。

選項(2)的△PQR 面積＝正六邊形的2

6＝正△OQR 的2 倍。

選項(3)的對角線 DF 垂直正六邊形截面顯然成立（參見以下備註或附錄(一)說明）。

選項(4)的 θ＝150°也是一目了然，因為從正六邊形已可確認其補角∠QPR＝30°。

選項(5)稍嫌棘手，因為不論是觀察原題的三角形，還是現已擴充的正六邊形，H 到平面 PQR 的垂足，不巧皆落於形狀之外。面對此一看不到垂足的窘境，筆者的變通策略 是在原正方體的「屋頂」上，再增建一個邊長為一半的小正方體（如圖(3)），此時 H 到平面 PQR 的垂足，即可視為 H 到平面 RSV 的垂足（如圖(4)），其垂足恰好就 是正△RSV 的重心 G（如放大圖(5)）。接下來只需輕鬆地連結三角形重心的向量關

係 1 1

3 3

HG HR HS HV   HN

 

    

，即可直接確認HG 的長度為對角線HN （ 3） 的1

3。

【補充】關於上述HG HN: 1: 3的關係，除了用重心的向量表示法判讀，其實還可利用特 殊角度的幾何投影觀察（如圖(6)），直接秒懂「正方體的對角線HN ，會被兩個大三角形 截面E 與₁ E 垂直且三等分」。有趣的是，全世界大概只有生活在荷蘭鹿特丹方塊屋₂

（Cubic House）森林社區（如圖(7)照片）中的居民，可以輕易地從「每層樓高設計皆相 等」的日常經驗中，感知此一正方體結構分割對角線的3 等分比例。

【備註】圖(6)之平面E₁/ /E ，是由其餘 6 個頂點三三分組所構成。若將圖(6)之對角線 HN₂ 換成圖(3)之DF ，便可清楚查見 DF 被正六邊形所在之平面 E_PTUQRS垂直平分於O 點。

在文檔中 龍騰數亦優第32期 (頁 28-31)