第五章 方法比較
5.4 三種演算法比較
三演算 以 Minimax 指標和最小平方差指標下，對濾波
改 滯帶中的最大
.4.1 範例比較
們 別 、方法 三對低 對 、
的系統進行運算。
法比較
方法二和方法 法，分別
器係數做修 而得到的正數列，將和本論文所提出的演算法(方法一)，針對通帶和 誤差及均方誤差做比較。
5
我 分 用方法一 二、方法 通濾波器
x
∈R 、 x
7 ∈R
10R
15x
∈ 、x
∈R
190 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
方法1正數列 方法2正數列 方法3正數列
圖 5.4-1：
x
∈R
7正數列各方法比較0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.7
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 方法1正數列 方法2正數列 方法3正數列
圖 5.4-2：
x
∈R
7正數列通帶比較0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
方法1正數列 方法2正數列 方法3正數列
圖 5.4-3：
x
∈R
7正數列滯帶比較0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
10階方法一正數列 10階方法二正數列 10階方法三正數列
圖 5.4-4：
x
∈R
10正數列各方法比較0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 10階方法一正數列
10階方法二正數列 10階方法三正數列
圖 5.4-5：
x
∈R
10正數列通帶比較0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 -0.05
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
10階方法一正數列 10階方法二正數列 10階方法三正數列
圖 5.4-6：
x
∈R
10正數列滯帶比較0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
15階方法一正數列 15階方法二正數列 15階方法三正數列
圖 5.4-7：
x
∈R
15正數列各方法比較0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.92
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06
1.08 Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 15階方法一正數列 15階方法二正數列 15階方法三正數列
圖 5.4-8： x∈
R
15正數列通帶比較0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
-0.05 0 0.05 0.1 0.15
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 15階方法一正數列 15階方法二正數列 15階方法三正數列
圖 5.4-9： x∈
R 正
15 數列滯帶比較0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 19階方法一正數列 19階方法二正數列 19階方法三正數列
圖 5.4-10：
x
∈R
19正數列各方法比較0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample) 19階方法一正數列
19階方法二正數列 19階方法三正數列
圖 5.4-11：
x
∈R
19正數列通帶比較0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 -0.06
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Zero-phase Response
Amplitude
Normalized Frequency(×π rad/sample)
19階方法一正數列 19階方法二正數列 19階方法三正數列
圖 5.4-11：
x
∈R
19正數列滯帶比較5.4.2 誤差比較
表 5.4-1： 各方法之誤差比較
R
7x
∈R
7x
∈ω
p =0.4π ω
s =0.5π
平方誤差 通帶誤差 滯帶誤差 最大誤差
方法一 0.0084192 0.23761 0.22115 0.23761 方法二 0.027941 0.157587 0.157587 0.157587 方法三 0.0100192 0.2267815 0.226711 0.226711
表 5.4-2： 各方法之誤差比較
R
10x
∈R
10x
∈ω
p =0.4π ω
s =0.5π
平方誤差 通帶誤差 滯帶誤差 最大誤差
方法一 0.0035686 0.18436 0.160458 0.18436 方法二 0.013233 0.10553 0.10553 0.10553 方法三 0.0059263 0.14574 0.19527 0.19527
表 5.4-3： 各方法之誤差比較
R
15x
∈R
15x
∈ω
p =0.4π ω
s =0.5π
平方誤差 通帶誤差 滯帶誤差 最大誤差
方法一 0.00053661 0.079091 0.091073 0.091073 方法二 0.0021582 0.042427 0.042427 0.042427 方法三 0.0012532 0.058446 0.096011 0.096011
表 5.4-4： 各方法之誤差比較
R
19x
∈R
19x
∈ω
p =0.4π ω
s =0.5π
平方誤差 通帶誤差 滯帶誤差 最大誤差
方法一 0.00012819 0.049341 0.045251 0.049341 方法二 0.00050220 0.020432 0.020432 0.020432 方法三 0.00038916 0.036764 0.054044 0.054044
第六章 結論
本論文所探討的是如何找出一串有限長度正數列，目的是希望在頻率區段 ]
, 0 [
π
ω
∈ 中，皆為正的正數列頻譜，因此限制條件有無限多個，此問題為半無限題，因 標函 可微分， 為一階 微分，
Kuhn-T 必要條 行解區 le region ，可將
無限維 轉換 度最佳化 解決，值 的是，
設計問題是一個不等式限制問題 根據 K ，必須檢查所有
參考頻率所對應的 Lagrange multiplier 是否大於或等於零，如果其中有 Lagrange multiplier
維規劃問 為最小化目 數為凸性 限制函數 線性可
所以利用 ucker 充分 件和可實 域(feasib s)的關係
原來的半 規劃的問題 成有限維 問題來 得注意
， uhn-Tucker 充份必要條件
λ
j是負的，從限制集合 中移除其對應的頻率S ω
j，才可用(4.1-14)式得到 一組新的濾波器係數做疊代，演算法收斂後確實可以得到最佳解，然而困難在於 證明解的收斂性。並另外用了兩個不同的演算法分別以 Minimax 指標(方法二)和最小平方差(方 法三)指標下，將所得到的
H
(e
jω)平移上升提升δ
s*，整體再乘上 *1 1
δ
s+ 可得到正數
列頻譜。在 Minimax 指標下所設計出來的濾波器具有等漣波特性，使得所有的漣 波誤差為等值，這種濾波器最大的好處在於通帶及滯帶的邊緣頻率，可以保證是 最佳誤差，不過等漣波特性，若以最小平方差指標來評估，則平方誤差就很大。
。根據
正數列，而以 Minimax 指標來設計，方法二是最佳的正數列，這是因為方法二 濾波器係數做修改時，並沒改變到交替頻率，且最大漣波誤差仍在交替頻率上，
表 5.4-1 誤差關係可知，只要將等漣波 FIR 濾波器的通帶和滯帶的比值
而以最小平方法設計的濾波器，在靠近頻帶邊緣的地方漣波就愈大，不過在大部 分的頻帶上表現上較近似理想的濾波器響應。也可以說這兩種設計方法的優缺點
是互補的 5.4 節的數據結果，以最小平方差指標觀點來設計，方法一是最佳
的 對 由
=2
=
s
K
pδ
δ
，經由(5.2-4)式可以得到等漣波正數列，而這個結果是最佳的。而方法三雖然是最簡單的一種方法，但在任何觀點來評估，都不是最佳的。
參 考 文 獻
[1] I. W. Selesnick and C. S. Burrs, “Constrained least square design of FIR filters ecified transition bands,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 37, no. 8, Aug.,1996.
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[3] S. Ito, Y. Liu, and K. L. Teo, “A dual parametrization method for convex semi-infinite programming,” Annals of Operations Research 8, 189-213, 2000.
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[6] R. T. Rockafellar, Convex Analysis
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, Princeton NJ: Princeton Univ. Press, 1970.
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[10] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing
nd
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[11] 陳志宏
nd ed., Prentice Hall, 1998.
，「最小最大最佳化頻譜近似 FIR 濾波器設計」，交通大學電機與控制