三、綜合討論
由前述的教學發現，可知二教學方案確實發揮強化與檢驗因數概念的功能。
以下再從學生於撲克牌遊戲中的「算牌」表現所引發的策略性思考，做進一步的 探討與分析。其次，再反省檢討教學方案的設計、實踐與成效。
(一)牌局中的精算師激發學生策略性的思考
雖然參與「因數對對碰」教學活動者都是中等程度以下的學生，但在活動中 透過佈題使他們更深入的思考。例如，小庭針對「「「「你希望拿到哪些牌？為什麼？」」」」 這個問題，寫下了：
拿到四張「1」和二張紅「72」。因為如果拿四張「1」和二張紅「72」，就 先出紅「72」一張，而四張「1」在我這裡，所以他們就不能吃紅「72」。（030508 小庭佈）
紅「72」在「因數對對碰」中是最高的分數，吃到二張紅「72」就得到 144 分了，早已贏了許多分。解析小庭的想法：拿到四張「1」和二張紅「72」，其實 是想吃到二張紅「72」，這個的想法寶貴之處在於不只是拿到紅「72」而已，她還 理解到如何運用「配套」的策略來使自己可以穩穩的吃到紅「72」。她的想法是：
已經拿到四張「1」和二張紅「72」，自己就先出紅「72」一張，因為四張「1」在 自己手上，所以別人就沒有機會吃到紅「72」了。換句話說，小庭已經認知到紅
「72」對於致勝的重要性，她也能周延的思考讓自己如何吃到。
小雯對於「什麼情況下你就可以成為超級大贏家？」這個問題的回答，則更 詳細、更具體的說出三個想法：
什麼情況下你就可以成為超級大贏家？
(一)拿到四張 1，和兩張紅 72。因為大家都有牌，就算我第一張打 72，也 不會被吃，這樣兩張 72 合起來是 144，再加其他的，就可以變成超級 大贏家。
(二)還有一種是全部的 72 都在手上，加上兩張 1，因為 4 張 72 都在我這，
就算我放 1，也不會有人吃，如果我放黑的 72，別人吃了也不算分，
所以也可以當超級大贏家。
(三)兩張 72 黑紅各一張，1 張黑的 1，1 張 36 和 6，因為我們可以先把 36 和 6 打出去，等每人剩四張牌時，可以打一張 72 黑的 72，如果對手 有 1 張紅 1，大約不會吃，最後打到對手逼不得已打了 1 張紅 1，或 72，就可以吃掉，變成超級大贏家。
（030508 小雯佈）
小雯的第一個想法與小庭的想法相同，拿到四張「1」就可以穩穩的吃到二張 紅「72」。第二個想法則與第一個想法類似，這次是拿到四張「72」和二張「1」，
她先把「1」打出去，四張「72」在自己手上，就可以一定吃到紅「72」。她還進 一步考慮到：就算她打的黑「72」被別人吃去，也不會增加別人的分數，因此可 以成為超級大贏家。小雯第三個想法中只拿到一張紅「72」和一張「1」，並不一 定可以吃到二張紅「72」，而變成超級大贏家。雖然不像第一和第二個想法來得周 延，但是在這個想法裡有自己形成的假設：等每個人剩四張牌時，可以先打一張 黑的「72」。如果對手有一張紅「1」，大約不會吃，最後打到對手逼不得已打了一 張紅「1」或「72」，我就可以吃掉，穩變成超級大贏家。就實際情形來看，除了
像第一和第二個想法是能掌握吃到紅「72」的之外，想吃到高分的牌，還牽涉到 別人拿到什麼牌？別人翻到什麼牌？以及自己翻到什麼牌？所以第三個想法（推 測）雖然是一個不圓熟和不成功的「假設」，但透過這個佈題讓學生有機會去反思 學習的內容，更能整合所學得的知識。而在反思的歷程中，為了想出「致勝」的 策略也是一種較高層次的思考。
前述曾提到「因數 K 吉棒」的「藏牌的玄機」，這齣絕妙好戲的續集更精彩 呢！聰明的小巫在數學日誌寫下了黃老師觀察不到的層面：
小亮說最後才出牌，我就想到也可以算牌，例如，「Q＝12」它的因數有「1、
2、3、4、6、12」，一個數有 4 張牌，6 × 4 ＝ 24，就算到 23 張，那時候就 可以出牌了。（010912 04 誌）
在小巫所謂的「算牌」」」的策略中，必須先理解因數的意義並進一步找出 12」 所有的因數，然後結合「1 張牌有四種花色和 12 的因數有 6 個」，所以總共有 24 張牌，精確的算出已經出了 23 張牌後，便能穩穩獲得發牌權。撲克牌遊戲是一種 具有結構且能立即完成數學目標的活動，學童可以透過遊戲中社會互動的歷程獲 得經驗重組的機會，有助於相關概念的連結（蔡文煥、林碧珍，1998a，1998b）。
小巫在小亮說出「藏牌」的策略後，觸發他「算牌」的想法，使玩牌與因數知識 相結合，也拓展了他的數學思考。
另外，針對黃老師的第三個佈題「手中握有哪些牌可以穩操勝券？」，小 恬有令人覺得驚奇的佈局能力與打牌的策略：
手中握有哪些牌可以穩操勝券？
黑桃 2、1（兩張）、12、2、3、4、6（兩張）、10（兩張）、5（兩張）
我會覺得拿到這些牌會穩贏。因為：你拿到黑桃 2 就可以先放（意指擁有 發牌權），就先放 12，再把 12 的因數全部放出去，再放 10，再把 10 的因 數全部放出去就贏了。（010914 28 誌）
小恬能掌握題目的要旨，知道從手中拿到的 13 張牌來佈局：首先她知道拿到 黑桃 2 以便取得發牌權來控制整個局面（誰先拿到黑桃 2 者即擁有第一次的發牌
權。）。接著，打出 12 這張牌，使自己大多數的牌（1、2、3、4 和 6）都能跟著 打出去。最後，再打出 10 這張牌，讓本身剩下的牌（5 和 10）都能出清。這樣一 路控制整個局面，她便是最後的贏家。總之，她能從整體的觀點來思考出牌的順 序，讓自己一直保有發牌權的優勢，最後便能取得勝利。以小恬平常的數學表現 能寫出如此具體且明確的想法，真令人欣慰與感動！因為這樣的思考已超乎了簡 單的求因數的計算方法和因數意義的理解，而是一種綜觀全局，仔細分析出牌的 流程的高層次思考能力。
小恬這樣的想法看起來像是個「天衣無縫」的牌局，不過，嚴格來看，在打 牌的沙場上，不應只是顧全自己而已。更高的境界應是能掌握對手的戰情，才能
「知彼知己，百戰百勝。」反應敏捷的小巫精算的程度可不止於此，他思考出了
「先發制人」的策略，再度展現「算牌」的功力，精準的算出敵我的「實力」，讓 整個局勢都在掌握之中：
（010914 05 佈）
小巫的想法是希望拿到：2 黑色和紅色各二張（四張），4 黑色和紅色各二張
（四張），12 黑色和紅色各二張（四張），6（1 張）。也就是拿到 4 種數字的牌（2、
4、6 和 12）且都能集中火力（2、4、12 各四張），這便是他心目中的「理想牌」。
更詳細的說，在 1 至 13 的數字中，12 的因數最多，因此他選擇的牌都是 12 的因
數。12 的因數共有 6 個（1、2、3、4、6、12），每個數字有 4 種花色，一共有 24 張牌，其中他獲得了 13 張牌（四張 2、四張 4、四張 12 和一張 6），其他三人也 只拿到剩下的 11 張牌。而黑桃 2 又在自己手上，因此握有第一次的發牌權。首 先，他知道拿到黑桃 2 以便取得發牌權來控制整個局面，這時，他知道先出 12 這張牌，就可以讓自己一路衝鋒陷陣到底，完全沒有讓對手有喘息換其他牌的 機會，如此「輕舟已過萬重山」，所以他「贏定」了！難得的是，他還從其他三個 對手的角度來思考「戰場的情勢」自己 13 張牌可以出，其他三人合起來也只 不過 11 張牌可以出而已，因此勝負可以立判。換個角度來看，他雖然只取簡單的 幾種牌，但這些牌彼此相關聯（都是 12 的因數），也是重要且關鍵的，加上取得 主動進擊（黑桃 2）的機會，因此可以一鼓作氣，讓對手毫無招架之力。
「算牌」是撲克牌遊戲中致勝與否非常重要的關鍵，因為懂得算牌才能知彼 知己，也才能掌握牌局發展的情況。學生們能將算牌的技巧應用到改造的教學活 動上，是可喜的地方。從另一角度來看，算牌也是種策略性的思考，考慮面向之 廣，思慮程度之深，其實已超乎了學習形式數學知識的思考。因為相較於一般教 科書上的習作練習，只是提供學生找因數的練習，學生也許反覆練習就可以得到 滿意的結果，但是從中卻無法這般發展學生高度的數學思考。而學生們善於算牌，
評估情勢的特質，已是將因數的知識融於策略應用的一部分，這樣的思考正也是 結合了學童日常生活的數學經驗與學校的數學知識。
(二)教學方案成效之評估與檢討
本研究二個教學方案經實踐的結果，學生們學習氣氛熱絡，主動參與學習的 活動，完全不覺得是在上數學課，與傳統講述法表現出無趣與被動的反應，實在 大異其趣，如此專注積極的學習態度，為學習成效奠下良好的基礎。誠如研究小 組所觀察的，在「因數 K 吉棒」活動中，大多數學生都能獨立完成打牌的活動，
也就是他們能理解因數的意義分辨是否能整除，再確認是否為指定數的「因 數」。在打牌的過程中，其實是個抽象思考的歷程，學生們必須先瞭解某一個數是 否能整除「指定數」，而後才確認是否為「指定數」的因數。他們也必須理解能整 除「指定數」的數，才可能是「指定數」的因數，無法整除「指定數」的數，就 不可能是「指定數」的因數。學生能正確打出牌，基本上，他們已將整除的概念
與因數的意義連結成功。同理，在「因數對對碰」活動中，四個參與補救教學的 學生都能正確的打出所對應的因數配對牌，在活動後的深入訪談小成的結果，也 能具體明確的說出因數配對的理由。因此，這個二個教學活動發揮了持續強化與 檢驗因數概念與因數配對的功能。
就如 Nesher（1986）所指出的：認識程序與演算法也可以增進概念的瞭解。
Piaget（1985）也認為：不斷透過程序、行動（action）與運算（operation）過程 可以理論化為思考的物件（objects of thought）。Gray 與 Tall（1993）更進一步強 調：從操作數學程序（procedure）進入可操作的心理物件（mental object）的認知 改變，是學習數學概念最重要的過程。本研究「因數 K 吉棒」和「因數對對碰」
二個教學方案，讓學童從打撲克牌的過程中操作乘法或除法的演算與程序，分別 先理解因數和因數分解的概念，並將所得知識應用於打牌活動。這個歷程中學生
二個教學方案，讓學童從打撲克牌的過程中操作乘法或除法的演算與程序，分別 先理解因數和因數分解的概念，並將所得知識應用於打牌活動。這個歷程中學生