三角函數的圖形：

(1)正弦函數ysinx^的圖形 ①正弦函數之圖形：

②正弦函數的特性：

(a) 1 sinx1。

(b)圖形連續不斷，且週期為2 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，ysinx在第一、四象限為遞增函數，在第 二、三象限為遞減函數。

(2)餘弦函數ycosx^的圖形 ①餘弦函數之圖形：

②餘弦函數的特性：

(a) 1 cosx1。

(b)圖形連續不斷，且週期為2 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，ycosx在第一、二象限為遞減函數，在第 三、四象限為遞增函數。

圖2-11 正弦函數之圖形

圖2-12 餘弦函數之圖形

(3) 正切函數ytanx^的圖形 ①正切函數之圖形：

②正切函數的特性：

(a)ytanx之值可為任意實數。

(b)圖形在

x n   （2 n為整數）處中斷，圖形不連續；定義域為

n  （n 為整2 數）外的所有實數，週期為 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，y tanx在四個象限皆為遞增函數。

(4)餘切函數ycotx的圖形 ①餘切函數之圖形：

②餘切函數的特性：

(a)ycotx之值可為任意實數。

(b)圖形在x n （n 為整數）處中斷，圖形不連續；定義域為n （n 為整數）外的 所有實數，週期為 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，y cotx在四個象限皆為遞減函數。

圖2-14 餘切函數之圖形 圖2-13 正切函數之圖形

三角函數

(5) 正割函數ysecx^的圖形 ①正割函數之圖形：

②正割函數的特性：

(a)ysecx的函數值範圍為secx 1或secx1。 (b)圖形在

x n   （n 為整數）處中斷，圖形不連續；定義域為2

n （n 為整 2 數）外的所有實數，週期為2 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，ysecx在第一、二象限為遞增函數，在第 三、四象限為遞減函數。

(6)餘割函數ycscx^的圖形 ①餘割函數之圖形：

②餘割函數的特性：

(a)ycscx的函數值範圍為_{cscx 1}或_cscx1。

(b)圖形在x n （n 為整數）處中斷，圖形不連續；定義域為n （n 為整數）外的 所有實數，週期為2 。

(c)若把實數x視為標準位置有向角時，ycscx在第二、三象限為遞增函數，在第 圖2-16 餘割函數之圖形

圖2-15 正割函數之圖形

3. 0   x 90 三角函數的比較大小：

(1)當0  x 45，則_cosxsinx，cotxtanx，_cscxsecx。 (2)當45   x 90 ，則_sinxcosx，tanxcotx，_secxcscx。 (3)當45   x 90 ，則_{tanx 1 sinx}，_{tanx 1 cosx}。

(4)當0   x 90 ，則sec²xtan²x sec1 xtanx。 4. 三角函數的週期變化：

若_k表一非零常數， f x 表三角函數， ( )( ) f x 的週期為 P ，則 ( )f kx 的週期為

| | P k 。

比較xsin 25、ycos 25、zsec 25的大 小。

方法：_0 _45，cos sin ∵0 25 45

∴_{cos 25 sin 65 sin 25} 又_{sec 25 1}

故_{sec 25 cos 25 sin 25} 即：z  y x

比較xsin 70、ycos70、ztan 70的大 小。

方法：_45 _90，sin cos ∵90 70 45

∴_{sin 70 cos70} 又_{tan 70 tan 45 1} 故_{tan 70 sin 70 cos70} 即：z x  y

圖2-17

三角函數的比較大小

教師演示 1 基 礎 題 學生練習 1

三角函數

設3cos² 5cos   ，求2 0 cos 的值。

3cos2 5cos   2 0

 (3cos 1)(cos 2) 0

 1

cos   或 2 3

∵ 1 cos 1

∴ 1

cos   3

已知2sin² 7sin   ，求3 0 sin 的值。

方法：sin² cos²  1 cos²  1 sin² 2sin2 7sin   3 0

(2sin1)(sin   3) 0

 1

sin   或2 3

∵ 1 sin 1

∴ 1

sin   2

求函數 f x( ) 3sin(5 x  之週期。 3) 1 方法：新週期為

| |k 原週期

( ) sinF x  x的週期為2 則 f x 的週期為( ) 2

5



函數 1

( ) 2 tan

f x   ^2x^的週期為何？

方法：新週期為

| |k 原週期

( ) tanF x  x的週期為 則 f x 的週期為( ) 2

1 2

   三角函數的週期

三角函數值的範圍

教師演示 2 基 礎 題 學生練習 2

教師演示 3 基 礎 題 學生練習 3

設 f x( ) 2sin(3 x  ，則 ( )1) 1 f x 的最大值、

最小值各為何？

方法：_{ 1 sinx1} 1 sin(3x 1) 1

   

 2 2sin(3  x  1) 2

 1 2sin(3  x   1) 1 3

∴最大值3，最小值 1

設 ( ) 5cos 2 2

f x    x3 ，則 f x 的最大( ) 值、最小值各為何？

方法：_{ 1 cosx1} 1 cos 2 1

x 3

 

    

5 5cos 2 5

x 3

 

     

 3 5cos 2 2 7

x 3

 

      

∴最大值3，最小值 7 三角函數值的範圍變化

教師演示 4 基 礎 題 學生練習 4

三角函數