分布（Boltzmann distribution）:1
PB(c) = 1
（Hamiltonian）定義於二維三角晶格（圖 2.1(a)）：
H =ˆ ∑
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
(a) (b)
Figure 2.1: (a) 二維三角晶格。三個不同顏色分別表示三個子晶格；(b) 當自旋排列於三角晶格的 角時，只有任意兩相鄰自旋可滿足反鐵磁性的排列，而第三個自旋無論向上向下均將使其與其中 一相鄰自旋共同違背反鐵磁性的排列，此為挫折性。
其中 ˆσiz,x 為晶格點上的庖立矩陣（Pauli matrices）之 z 或 x 分量，h 為垂直 z 軸 之橫場強度，∑ 符號下標 ⟨i, j⟩ 表示相鄰兩晶格點。若沒有外加橫場，上述模型 可如同式（2.1）被視為古典易辛模型，因為每個自旋自由度取 ˆσiz 本徵值 σi = +1 或 σi =−1（分別代表 z 軸自旋向上或向下）。這裡∑前的符號為正號，代表反鐵 磁性，因為最低能量狀態傾向使每相鄰兩自旋值異號（一為 +1，另一取−1）；然 而因為晶格的三角結構，並無法使上述的反鐵磁條件完美滿足（見圖 2.1(b)），這 個因晶格結構導致自旋排列上的衝突稱為幾何挫折性（geometrical frustration）。
三角古典易辛模型（在無橫場下）的幾何挫折性效應是如此的大，在任何溫度下 甚至在絕對零溫時系統仍無法呈現具反鐵磁性的有序態 [1]；但有別於 T > 0 的順 磁態（paramagnetic state），於 T = 0 的基態是臨界態，也就是基態自旋關聯函 數隨距離呈冪次方遞減 [2]：C(r) =⟨σiσi+r⟩∝ r−2。
哈密頓算符 (2.6) 的橫場項使得此自旋模型呈現量子性質，因為 [ˆσx, ˆσz] ̸= 0，
使得哈密頓算符無法簡化成如古典易辛模型。因為 x 分量的自旋矩陣 σx 將翻轉 z 軸自旋，為另一可妨礙有序的反鐵磁排列的因子，不同於溫度帶來的熱擾動，
橫場翻轉自旋的行為為純量子性的，也可發生於 T = 0。加上溫度及橫場的影 響，三角自旋模型的相態頗為豐富，圖 2.2 呈現模型在 h− T 平面的相圖；圖中 兩條曲線區分了三個相態，從高溫至低溫分別為順磁相（paramagnetic phase/PM phase）、Kosterlitz-Thouless（KT）相，及時鐘相態（clock phase）。其中位於半月 形內的 KT 相為一臨界態（或所謂具準長程有序，quasi-long-range order），具隨
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clock phase KT phase PM phase
Figure 2.2: 三角量子反鐵磁之相態圖。兩彎型的相邊界 Tc,1 及 Tc,2 為依據式 (2.7) 畫出。兩條相
為依據一等效模型的分析及配合量子蒙地卡羅（Quantum Monte Carlo）的計算結 果得出 [2]。
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Chapter 3 自旋組態採樣
O(c)e−H(c)/T
∑
（discrete-time Markov chain）來漸近獲得靜態分布（stationary distribution）P∗(c)，
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‧ 國
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
(a) T < Tc (b) T ≈ Tc (c) T > Tc
(d) T < Tc (e) T ≈ Tc (f) T > Tc
Figure 3.1: 古典易辛模型自旋組態圖，上排圖為系統尺寸 L = 512，下排圖為 L = 32，對應溫度 各分別為 T = 1.8, 2.3 及 3.5。黑色色點及白色色點分別表示兩不同符號的自旋值。
個組態的改變造成的能量差為
Ec′− Ec= 2σi
∑
j∈nn(i)
σj,
其中∑ 下標 j∈ nn(i) 代表與自旋 σi 相鄰的晶格點（以二維方晶格為例，共 4 個 相鄰晶格點）；利用式 (3.7) 的接受機率 A(c→ c′) 來判定組態 c 到組態 c′ 的轉換 接受與否，如果接受則 c = c′，若不接受則保持原組態。重複執行上述步驟 N 次 (N 為模型的自旋數量)，整個過程被稱為一次完整的蒙地卡羅步驟（Monte Carlo sweep）。對於我們作為機器學習每一個溫度的自旋組態資料，我們捨棄預跑的 100,000 蒙地卡羅步驟來達到熱平衡，之後以每筆間隔 100 步，跑出 10,000 筆組 態，而用於訓練的資料為 10,000 筆組態中的後 5,000 筆資料；其他資料則用以提 供訓練後的機器作相態的辨識。我們共進行從 T = 0.1 到 T = 3.55 間共 70 個不 同溫度值（相間隔 ∆T = 0.05）的自旋組態採樣。
圖 3.1 展示古典易辛模型的自旋組態圖，黑色色點表示自旋 σi = 1，白色色點
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N a tio na
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表示自旋 σi =−1。以 L = 32 及 L = 512 為例，分別展示溫度低於臨界溫度、處 於臨界溫度（Tc≈ 2.26）及高於臨界溫度的組態。觀察大尺寸系統 L = 512，可以 看到溫度高於 Tc，自旋組態的對稱性越高，黑白點均勻分佈而不形成同色的大區 塊；溫度低於 Tc，則大多數自旋朝同方向而使某一特定顏色占據組態圖的大部份 面積；處於臨界溫度時，黑白兩色各形成許多不同大小的區塊。較小尺寸 L = 32 的組態圖較無法呈現上述熱力學極限下不同相態的特徵，但亦可看出組態圖像在 不同溫度範圍的差異。組態圖像差異明顯有利於機器學習辨識。