主成分分析法

主成分分析法（PCA）是1991年由Turk 和Pentland 研究提出，以提 取臉部的主要成分計算出eigenvalue和eigenvector方式，決定保留的特徵 臉（Eigenface）數來重新建立圖片如圖2-1，因為只保留較大的特徵值數 相對應的特徵向量建構成特徵空間，將原始圖片投影至特徵空間後得到 的圖片與原始圖片有相似的輪廓（Turk, M. A., & Pentland, A. P., 1991a;

Lizama, E., Waldoestl, D., & Nickolay, B., 1997 ; Kim, K. I., Jung, K., &

Kim, H. J., 2002）。

圖2-1 原始圖片（左）與特徵臉（右）

主成分分析法又稱為Karhunen-Loeve Transform（KLT），主要利用 提取特徵臉進行臉部辨識，概念是經過投影後，找到資料最分散的方向 如圖2-2，而其過程主要由圖像訓練及辨識兩階段所組成（Turk, M. A., &

Pentland, A. P., 1991b）。

圖2-2 PCA投影示意圖

一、 訓練階段

首先假設待訓練的圖像樣本有M個，樣本大小為N×N，接著將N×N 的圖像轉換成N²×1的xi列向量(column vector)，並得到訓練樣本集合X:

 x x x



X 

,

,...,

其中向量x_i為N×N資料轉化成N²×1的資料如圖2-3：

圖2-3 原始圖像轉換 用奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD），先算出A^TA矩陣的 特徵向量

v

i

採用歐式距離（Euclidean Distance）來計算Ωnew與訓練集中的每個

投影量的距離：





i new

i²    ² 1,2,...,



歐氏距離是一種普遍的分類法，將待辨識圖像樣本投影至特徵空間 的投影量比對訓練集中每一訓練樣本的投影量，以找出最短距離即為相 似影像，也就是當

ε

舉例來說，若訓練集樣本為100×100（Pixels）的圖片，將訓練樣本 轉置為100²×1，若樣本數M為100張，訓練樣本集合矩陣為100²×100，接 著求出Ψ、d_i與C的特徵值與特徵向量，而後將d_{i投影至特徵空間w，}

得到訓練集。讀入待辨識之圖像，投影至特徵空間得到n ew，計算i ， 完成辨識，訓練與辨識流程如圖2-4。

圖2-4 訓練與辨識流程圖

三、 PCA分析

PCA在做訓練時樣本與樣本之間為單一個體，彼此之間沒有關聯性 且在資料壓縮上有很好的效果，即原始圖像經過PCA步驟後，只保留指 定的特徵向量可稱作特徵臉（Eigenface），也就是保留主要成分，可以 減少計算的複雜度。

因為訓練樣本之間無關聯性，同一個人的臉部如果改變其表情或者

照射的光線強度改變，便可能無法判斷是否為同一個人，這問題可以透 過在訓練樣本中加入多種表情或者角度的照片。

PCA進行臉部辨識時，訓練階段最花費時間的是在計算共變異矩陣 的特徵值與特徵向量，當訓練樣本屬於高維度時，用傳統方法計算其共 變異矩陣的特徵值與特徵向量是無效率的，傳統方法像是特徵分解

（Eigen Decomposition），因此有學者提出用迭代的方式計算前幾個主成 分，例如：非線性迭代偏最小二乘法。除了計算特徵值與特徵向量費時 外，其次是做特徵投影的部分，由之前的介紹的計算式可以發現都是矩 陣的乘法，因此可以說加速臉部辨識即加速矩陣的計算。