率论 与 数理 统 计
这种场合要评价误差是困难的，除非有更多的可利用的信息．
习题六
1．设X X1, 2,L,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数 的矩估计与最大似然估计：
（1）X ~ B(1, )p ，其中 p 未知，0< <p 1；
（2）X ~ E( )λ ，其中 λ 未知， λ >0．
2．设总体X服从“0-1”分布：
( ; ) x(1 )1x ( 0,1) p x p = p −p − x= .
如果取得样本观测值为x x1, 2,L （,xn xi=0或 ），求参数 p 的矩估计值与最大似然1 估计值．
3．设总体X 服从几何分布：
( ; ) x(1 )x 1 ( 0,1) p x p =p −p − x= .
如果取得样本观测值为x x1, 2,L ，求参数,xn p的矩估计值与最大似然估计值．
4．设X X1, 2,L,Xn是取自总体X的一个样本，其中X 服从参数为λ 的泊松分 布，其中λ 未知， λ >0，求 λ 的矩估计值与最大似然估计值．如果得到一组样本 观测值如表 6-1 所示.
表 6-1
X 0 1 2 3 4
频数 17 20 10 2 1
求参数λ 的矩估计值与最大似然估计值．
5．已知某种灯泡的寿命X ~ N( ,µ σ ，但2) µ和σ2未知，今随机抽取 5 只灯 泡测得寿命（单位：小时）分别为
1623 1527 1287 1432 1591 求µ和σ2的估计值．
6 ． 设 总 体 在 区 间 [ , ]a b 上 服 从 均 匀 分 布 ， 但 a b、 未 知 ， 现 抽 取 样 本
1, 2, 3, 4, 5
X X X X X ，测得一组观测值（1,3,0,4,-2），试用矩估计法估计a、b． 7．设总体 X 的密度函数为 e ( 0)
( , )
0 ( 0).
x x
f x x
λ λ
λ − >
= ≤
， ，
， ，其中参数λ 未知而待 定，抽样得样本观测值
1, 2, , n1
x x L x ，求参数λ 的极大似然估计．
8，若X ~ N( ,µ σ ，其中2) µ和σ2均未知，设样本一组观测值为
1, 2, , n1
x x L x ， 用极大似然估计法估计µ和σ2．
9．已知某种电子元件的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分
第6 章 参 数估 计
布 ( )f x =λe−λx (x>0,λ>0)，今随机抽取 250 个元件，测得寿命数据如表 6-2 所 示（单位：小时）．
表 6-2
寿命时间（小时） 元件数（个）
0～100 39
100～200 58
200～300 47
300～400 33
400～500 25
500～600 22
600～700 11
700～800 6
800～900 7
900～1000 2
合计 250
试采用极大似然估计法估计该指数分布中的参数λ ．
10．设总体 X 服从二项分布 ( , )B n p ， n 为正整数，0< <p 1，其中 ,n p 均为 未知参数，x x1, 2,L,xm是从 X 中抽取的一个样本，试分别求 ,n p 的矩估计．
11．设x x x 是正态总体1, 2, 3 N( ,µ σ 的一个样本，其中2) µ=0并σ 未知，求2
1, 2, 3
x x x 的似然函数，并对x x x 的一个样本 2.1、2.2、2.0 估计1, 2, 3 σ . 2 12．设x x1, 2,L,xn1来自指数分布
1e ( 0) ( , )
0 ( 0)
x
f x x
x λ θ θ
−
=
<
， ≥
，
的样本，试分别用
矩估计法和极大似然法求θ 的估计量.
13．证明：如果已知总体X 的均值µ ，则总体方差的无偏估计量为
2 2
1
ˆ 1
n i i
n X
σ µ
=
=
∑
（ − ） ， 其中X X1, 2,L,Xn是从总体X 中抽取的样本.14．设正态总体N( ,µ σ 中2) µ未知而σ2已知，又设x1、 是来自正态总体的x2 一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是µ的无偏估计？
哪个是最佳无偏估计？
（1） 1 1 1 2 2 3x 3x
µ = + ； （2） 2 1 1
( ) 3 x
µ = +µ ；
182 概 率论 与 数理 统 计
（3） 3 1 1 1 2 2x 2x
µ = + ； （4）
2 4
1 i i
µ x
= σ
=
∑
.15．设X X1, 2,X 为总体3 X 的样本，证明
1 1` 2 3
1 1 1
ˆ 6X 3X 2X µ = + + ，
2 1` 2 3
2 1 2
ˆ 5X 5X 5X
µ = + + ，
都是总体均值µ 的无偏估计，并进一步判断哪一个估计更有效.
16．设总体X ~N( , 0.09)µ ，测得一组样本的观测值为 12.6，13.4，12.8，13.2，
求µ 的置信度为 0.95 的置信区间.
17．对某型号飞机的飞行速度进行了 15 次试验，测得最大飞行速度（米/
秒）为
422.2 417.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3 431.5 413.5 441.3 423.0
根据长期经验，最大飞行速度可以认为是服从正态分布的，试利用上述数据对最 大飞行速度的期望值进行区间估计（置信度 0.95）．
18．对某种材料的强度只有下限的要求，已知该材料的强度X ~ N( ,µ σ ，2) 但µ 、σ2均未知，今进行 5 次测试，得样本均值和样本均方差分别为X ＝ 1160kg/cm2， s ＝99.75kg/cm2，现求µ的 0.99 单侧置信区间 ˆ( ,θ +∞)．
19．正态总体X ~ N( ,µ σ 中抽取一组样本容量为2) n=25的样本，计算得样 本均值x=79，样本方差为s2=112.36，试求（1）已知σ2=10 ；2 （2）σ 未知两 种情况分别求总体均值µ的置信度为 0.95 的置信区间.
20．为确定某种液体的浓度，取 4 个独立的测定值，其平均值x=8.38%，样 本标准差s=0.03%，设被测总体近似地服从正态分布N( ,µ σ ，求总体均值2) µ的 置信度为 95%的置信区间.
21．从一批钉子中随机地抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10
2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
设钉长服从正态分布N( ,µ σ ，试求（1）已知2) σ =0.1（cm）；（2）σ 未知，两种 情况分别求总体均值µ的 90%的置信区间.
22．某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线．设罐头质量服从正态 分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响．从甲生产线抽取 10 只罐头测得其平均 质量x=501g，已知其总体标准差σ1=5g；从乙生产线抽取 20 只罐头测得其平均 质量y=498g，已知其总体标准差σ2=4g，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头
第6 章 参 数估 计
质量的均值差的µ µ1− 2的双侧 0.99 置信区间.
23．为了比较甲乙两种显像管的使用寿命X和Y ，随机地抽取甲乙两种显像 管各 10 只，测得数据x x1, 2,L,x10和y y1, 2,L,y10（单位：104h）且由此算得
10 10
2 2
1 1
2.33 0.75 ( i ) 27.5 ( i ) 19.2
i i
x y x x y y
= =
= ， = ，
∑
− = ，∑
− = .假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等，
试求两个总体均值之差µ µ1− 2的双侧 0.95 置信区间.
24．从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取 10 个样品进行磨损试验，直至轮胎 行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程（km）如下：
41 250 41 010 42 650 38 970 40 200 42 550 43 500 40 400 41 870 39 800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N( ,µ σ ，求： 2)
（1）µ 的置信水平为 0.95 的单侧置信下限；
（2）σ 的置信水平为 0.95 的单侧置信上限.