我們以 Quadratic Sieve 與 Gaussian Elimination 演算法做基礎，同時會 將程式設計為日後可改寫為其餘因數分解演算法，並不影響整體的流程。
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只要將下圖的 Quadratic Sieve Matrix 改寫為其餘的因數分解演算法便可以 順利執行，在解線性方程組的部份將試著用多執行緒來設計，但目前針對 將高斯消去法以多執行緒改進的部份，演算法尚為成熟暫不做考慮。
圖 3.1. 二次篩選法流程圖
在流程圖中我們將 sieve 的動作分配給多個 thread 同時做篩選並生成矩 陣，在解線性方程組上我們用 GNU MP 做加快運算，將 0-1 矩陣編為 GNU MP 整數使資料壓縮並加快運算。在𝐺𝐹(2)下做 exclusive or 運算在這我們 已改寫 Gaussian Elimination 並以我們排序的概念設計演算法。整個程式設 計上以 GNU MP 為主要運算語法，使運算效能提高，GNU MP 針對不同的 演算法做到最佳化，在因數分解上常用到的大整數除法、大整數模運算與 數論運算皆有對應的方程式。動態記憶體規劃使資源不浪費，針對在此研 究中所用到的大數運算，GNU MP 可以幫助我們達到很好的實驗結果。
Initialization
Quadratic Sieve matrix (thread) 解線性方程組
(thread)
Factorization
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3.2.1. 程式流程
整體最為需要注意的為 Sieve 也就是將等號右式的質因數若不在 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝐵𝑎𝑠𝑒以內的便捨去此數，必需要用到大量的整數除法與大整數模運 算，我們先以模運算先快速判斷𝐹𝐵中的質數是否為等號右式的質因數，再 做整數除法將質因數取出，並同時記錄質因數指數系數，以迴圈重覆篩選 若等號右式的質因數全數落在𝐹𝐵便將此數留存，留待之後解線性相依用。
而解 0-1 linear equation 解線性相依問題我們以高斯消去法為主，高斯消去 法是線性代數中的演算法，用來為線性方程組求解，解高斯消去法最後會 產生出一個梯行陣式。在線性代數中可用來檢驗矩陣中有多少解集合可以 組成線性相依，可以很精確易懂的求出線性相依解，我們藉由高斯消去法 與增廣矩陣去求出可線性相依的行列式，高斯消去法可用在電腦中來解決 數千條等式及未知數並可以用在任何 field 中。二次篩選法中的高斯消去法 與一般的不同在於其運算在𝐺𝐹(2)之下，我們針對此種高斯消去法做程式 設計。處於𝐺𝐹(2)之下的高斯消去法方程式中元素便只有 0 與 1 兩種元素，
我們便可使用程式設計中的 exclusive or 技巧加速高斯消去法的運算。
首先 Step1. Initialization:會生成兩個同位元的兩個大質數𝑝
、
𝑞相乘得 𝑛，並針對不同的公鑰𝑛決定𝐵-smooth 並產生𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝐵𝑎𝑠𝑒( 𝐹𝐵)。Step2.Quadratic Sieve matrix:中如果質因數超過𝐹𝐵便捨棄，並以多執行緒同時篩
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選，挑選完的值為矩陣A並以 GNU MP 大整數型態編譯。Step3. 解線性方 程組:矩陣A解高斯消去法若得線性相依向量。Step4. Factorization:從線性相 依向量解找到𝑥
2
的同餘右式𝑦2
使 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)分別可能有𝑛的因數存 在，嘗試對𝑛做因數分解。圖 3.2. 二次篩選法規劃圖
3.2.2. 以多執行緒篩選
以二次篩選法為基礎，在我們的程式中 sieve 的動作以多執行緒為概念 做設計，將𝑥
𝑖
做存取控制並以 Pthread 提供的功能設計執行緒排隊存取，可 將𝑆𝑡𝑒𝑝2的(𝑥𝑖
+ 1)分配給各執行緒，以加速篩選速度，而在篩選時所需要 大量的大整數除法與大整數模運算，以多執行緒分配可達到個人電腦資源 的有效利用，並各自記錄篩選下來的值，以 double linklist 串列做記錄，再 將資料串聯起來後再交給解 0-1 線性方程組的 Function 做處理。Initialization
Generate RSA Modulus
Choosing B-smooth
Generate Factor base
Quadratic Sieve matrix
Create Thread
Matrix Sieve (Quadratic
Sieve Algorithm)
解線性 方程組
solve matrix
Gauss Sort gauss
Factorization