二、結論

本研究探討由一至四個正四面體組成的積木，將面及翻轉可能轉化為節點和線以後，利 用三個規則找出的所有迴路；再將之實際滾動繪出，觀察軌跡的相異處及尋找發生閉合的原 因；經過討論後提出以下三點結論。

（一）、可利用三個規則找出積木的所有迴路，並利用擴增性質確認 n 個正四面體組成的 積木，至少有3 個哈爾米頓迴路

利用將面與翻轉轉化為節點和線，發現可利用三個規則依序刪除線段找出迴路：規則 一：若以節點 p 為端點的的兩條邊成立，即以節點 p 為端點的第三邊需捨棄，若節點 p 的一 邊被捨棄，則其他兩邊必成立。規則二：n 個節點的迴路中，不存在 m 個節點（m＜n）的迴 路。規則三：n 個節點形成的迴路中，共成立 n 條邊捨棄

^𝑛

2

研究發現 n 個正四面體（𝑛≤4）所組成積木之節點圖皆為漢米爾頓圖，其迴路個數為 3 個。而三個規則經實際操作，亦可運用在正六面體積木的尋找迴路。另外具有每個節點皆與 其他三個節點相連特性（3－正則圖）的節點圖，經討論發現在 6 個節點的情況中，依著色 規則可塗成2 個顏色的有 6 個迴路，而需 3 個顏色的圖則有 3 個迴路，其迴路數與著色問題

（二）、正四面體積木的軌跡圖形存在脈絡關係

依據找出的迴路，將正四面體積木實際在三角紙上滾動，並繪製出軌跡圖，最後發現形 成的圖形有閉合與不閉合圖形，其中閉合圖形所需的迴路組數分別是：1 組、1.5 組及 3 組。

而由迴路的擴增性質可以發現它們之間有著脈絡的關係，因此研究者將每個迴路的軌跡 圖進行整理（表十三），其中積木一的三個迴路軌跡相同，積木二的迴路軌跡也一樣，但隨 著正四面體的堆疊數目增加，到了積木三就出現不同變化，而積木四的變化更是多樣有趣。

（表十三）

積木 1 積木 2 積木 3 積木 4

①②③④

①②③④⑤⑥ ①②③⑧④⑤⑥⑦

4-1 ①②③④⑩⑤⑥⑦⑧⑨

4-2 ①②⑧⑦⑥⑩⑤④③⑨

4-3 ①②④⑩⑤⑥③⑦⑧⑨

①②④③

①②⑤⑥④③ ①⑥⑤②③④⑧⑦

4-1 ①⑧⑦②③⑥⑤④⑩⑨

4-2 ①②③⑨⑩⑥⑤④⑦⑧

4-3 ①⑨⑩⑤④②③⑥⑦⑧

.

①③②④

①③②⑤④⑥

①②⑤④③⑧⑦⑥

4-1 ①②⑦⑥③④⑤⑩⑨⑧

4-2 ①⑧②③④⑦⑥⑤⑩⑨

4-3 ① ②③⑦⑥⑤④⑩⑨⑧

（三）、n 個正四面體組成積木的一組迴路度數為 120°的倍數

透過討論證明了n 個正四面體組成積木的若有 x 個 R，則轉向度數有以下兩點性質：

1、迴路度數為 120(𝑥 − 𝑛 − 1)：

（1）若迴路度數 0°：當𝑥 − 𝑛 − 1 =0，總度數為 0，圖形為不閉合。

（2）若迴路度數不為 0°：當𝑥 − 𝑛 − 1 ≠0，總度數為 120 的倍數，圖形為閉合。

2、轉向角度由 n、x（或 y）兩個變數決定。

研究確認了單一迴路的轉向角度為120°的倍數，也得知軌跡重複數次能閉合的原因，而 藉由知道重心轉動角度這個方法，只需記錄一組迴路的 R、L 次數，即能決定圖形能否形成 閉合圖形及滾動的組數等問題。而積木 4-1 已出現轉向度數 360°的情形，只需一組迴路即出 現閉合，若在n>4 的積木上便有可能出現總度數超出 360°的度數，也代表軌跡圖形會在一次 迴路中閉合超過一次。

經過這次的科展研究，發現乍看之下平凡的正四面體，在堆疊之下竟有這麼多有趣的問 題可以探討，由三維圖形轉成二維圖形、漢米爾頓迴路、迴路度數、脈絡關係，甚至與著色 問題皆有關聯，此一議題還有很多值得去深入研究的問題，而如何將研究結論應用在生活裡 也是一個我們可以努力的方向。