第四章 二階段設計法
5.2 二階段設計之應用例…
在本節將展示以二階段設計法，嘗試針對 NACA4412 壓力分佈，針對設 計條件進行搜尋之實例。
本例中，假定之升力係數與 NACA4412 相同為 0.48，而空化係數為 0.7。
尾緣壓力分部曲線斜率(式(4.4)中 g3式子裡之 S)限制與文獻[8]相同設為 2.3。初始之壓力分佈為採用手動取得 NACA4412 壓力分佈曲線。
在圖(5.7)可以大致判斷滿足設計條件之壓力分佈面積與 NACA4412 相 同，而翼形之表面壓力係數最小值則滿足空化係數大於-0.7 的要求。演化過 程如圖(5.11)所示。
圖(5.8)展示以 NACA4412 為初始翼形逆向求得滿足設計條件之翼形。
演化過程如圖(5.12)所示
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/C
0.8 0.4 0 -0.4 -0.8
Cp
Cal. pressure distribution Target pressure distribution Initial pressure distribution
圖 5.7 NACA4412 壓力分佈與滿足設計條件之壓力分佈之比較
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x/C -0.04
0 0.04 0.08 0.12
y/C Cal. foil section
Intial foil section
圖 5.8 NACA4412 與限制條件下設計之翼形之比較
0 1000 2000 3000 4000 Generation
0 10 20 30 40 50
Fitness Best
Average
圖 5.9 逆向求取 NACA4412 翼形之適應值對世代數圖
0 1000 2000 3000 4000
Generation 0
10 20 30 40 50
Fitness Best
Average
圖 5.10 逆向求取 NACA2410 翼形之適應值對世代數圖
0 200 400 600 800 1000 Generation
10 20 30 40 50
Fitness
Best Average
圖 5.11 壓力分佈設計之適應值對世代數圖
0 1000 2000 3000 4000
Generation 0
10 20 30 40 50
Fitness Best
Average
圖 5.12 逆向求取滿足設計條件翼形之適應值對世代數圖
第六章 結論
subject to:其中前述反向設計之程式，亦須整合於求解過程中，以便由壓力分佈求
取對應之翼形及所屬之阻力。
阻 力 的 預 測 可 採 用 Squire-Young relation[11] 計 算 。 Squire-Young relation 是由邊界層理論與勢流速度推導而得的經驗公式。由已知的壓力分 佈，吾人可以使用 Squire-Young relation 計算阻力係數，進而以阻力係數作 為評估的標準。
吾人重新構思的最佳化過程如圖(6.1)，如此，可使整個二維翼形最佳化 過程更加完整。
圖 6.1 二維翼形最佳化流程圖
隨機產生一組解的群體
計算每個解的適應度 選擇適應度較高的解
進行交換運算 進行突變運算
程式結束 程式開始
NO
NO
滿足解的個數設定數 ?
YES
滿足演化世代的數目 ?
YES
翼形逆向設計 是否滿足給定升力係數 ?
YES
Cd=Cd max
NO
第二部分
第一章 研究目的及文獻回顧
因為速度或攻角的改變，導致水翼或螺槳某些部分的壓力低於水的飽和 蒸汽壓時，就會發生空化現象。一般來說，空化問題是在高速作動下之流體 機械最希望避免的不利現象，它不僅造成機械效率衰減，同時其所伴隨之振 動、噪音與結構侵蝕問題，亦對於流體機械的可靠度產生負面的影響，因此 預測空化發生的條件，便成為水翼或螺槳葉片設計必須考量的因素。本研究 的目的在於，雖然可以實驗方式分析空化現象，但基於經濟與時間的考量，
若能使用計算方式進行研究，在工程上精度要求的條件下，不僅可以大幅縮 短產品開發時程，同時可以進行產品性能之最佳化，提高產品的市場價值；
另一方面，藉著有系統的研究來與世界之發展接軌，以提昇國內在這個領域 的成果與知識。
空化現象在造船工程上的重要性是眾所皆知，特別是在提高船速所使用 的高速推進系統上如：噴水推進器、超空化螺槳、穿水式螺槳等皆面臨了空 化問題的挑戰。同時該現象的複雜度及困難度高，加上空化流場屬於紊流流 場，更加阻礙吾人對於其物理現象的了解。目前為止，大部分的研究仍然以 實驗方式進行，但近年來，由於計算流體力學的進步與發展，已有學者使用 計算方式研究此類問題。早期的研究是將重點放在勢流理論的計算，如：
Kinnas and Fine [12]， Kinnas[13]， Kinnas [14]， Fine and Kinnas[15]， Kinnas and Mazel [16]，至於國內方面，則有陳建宏教授[17]，他分別處理二維超空 蝕、三維局部空蝕水翼數值計算以及二維超空蝕水翼之空蝕係數與翼形幾何 參數關係之回歸分析，台大郭真祥教授發展完成處理二維水翼數值計算之高 階小板法[18]，亦完成了二維局部空蝕及超空蝕水翼的計算[19]。但是隨著數 值方法以及模型的進步，現在的研究已經轉移到黏性流場的模擬計算，以觀 察空化區現象為出發點的計算方法大致可以分成兩類，其一是界面追蹤法
（Interface tracking scheme），此法是將空化區當成一固體邊界，整個計算空 間只考慮在液體的情況下，如：Chen and Heister [20]、Deshpande et al. [21]；
其二是二相流法（Two phase flow scheme），此法是不預設空化區的大小，
整個計算網格考慮液體與氣體都存在的情況，如：Delannoy and Kuney [22]、
Chen and Heister [23]，到目前為止，假使能夠使用一較好的空化模型，較能 模擬片狀空化流場。
本文是以Reynolds-Averaged Navier-Stokes equation (RANS) 為統御方程 式（governing equation），利用數值方法加以離散，同時將計算空間離散成 網格點，再配合
κ
-ε
紊流模型來計算雷諾應力，以空化模型（cavitation model）加上速度、密度與壓力間的偶合關係來計算二維翼形之空化流場，並 進一步解析相關的流體動力特性及預測空化初始是否發生，以驗證數值計算 結 果 之 適 用 性 ； 另 外 針 對 二 維 翼 形 之 四 個 不 同 的 幾 何 類 型 ， 分 別 為 NACA0012、NACA4412、NACA66（mod）、Eppler，以及數值參數的變化，探討空化係數的影響和無空化情況下的動力特性。
第二章 理論基礎 2.1. 統御方程式
2.1.1. Reynolds-Averaged Navier-Stokes 方程式
本 文 是 以 計 算 空 化 流 場 為 出 發 點 ， 在 此 情 況 下 ， 假 設 一 非 穩 定
（unsteady）、黏性（viscid）、可壓縮（compressible）流體，以攻角
α 流向
一二維翼。雖然Navier-Stokes 方程式可以計算層流以及紊流的流場，然而卻 不適合直接去計算紊流流場，起因於無法計算在高雷諾數下，速度及壓力隨 著時間改變的微小擾動，因此為了計算黏性空化流場，便將Navier-Stokes 方 程式修正為Reynolds-Averaged Navier-Stokes（RANS）方程式如下：( ) ( )
u uu P[ ] [
u u]
t m +∇⋅ m =−∇ +∇⋅ m∇ − ∇ m∇⋅
∂
∂ ρ ρ µ µ
3
2 （2.1）
其中等號左邊第一項為隨時間改變的動量變化，第二項為非線性且對流 場影響甚大的對流傳導項（convection term），等號右邊第一項為壓力梯度變 化項，第二項為流體黏性效應所造成的擴散項（diffusion term），最後一項 則是為了計算空化效應所加入的壓縮項（compressibility effect）。
2.1.2. 連續方程式及體積比率方程式
對於空化流場可壓縮流體而言，由於密度會隨著不同時間而改變，所以 連續方程式（continuity equation）必須修正為
( )
=0⋅
∇
∂ +
∂ u
t m
m ρ
ρ （2.2）
式（2.2）中的混合密度
ρ
m定義如下：) 1 ( l
v l l
m ρ α ρ α
ρ = + − （2.3）
而在發生空化時，每一個計算網格流體所佔的體積就會因此改變，體積比率 方程式就是計算在同一個網格內，流體和氣體所佔的比率：
) 觀念，而最常用的方法是以傳輸方程模型（transport equation-based model）
（TEM）為主，如：Singhal et al.[24]，Merkle et al.[25]，Kunz et al.[26]，Senocak and Shyy[27]，上述這些不同的空化模型，主要的區別是在於源流項（source term），亦即 m&− 和 m&+ 的不同，然而在質量守恆的條件下，不同的模型都 有不同的經驗參數去調整，本文是使用Senocak and Shyy[27]來考慮空化區的 現象，如下：
一般是使用Reynolds stress model（RSM），然而 RSM 在計算上增加了六項 雷諾應力，需要用六個方程式去解，無形中增加了許多的計算時間，同時所 要界定的係數就相對增加，但是此模式在某些較為複雜流場處預測紊流的效 果不錯，因此仍有其應用價值。另一方面，便有了代數方程求解紊流參數的 方法出現，其中最有名的是包氏渦流黏性模式（Boussinesq Eddy Viscosity Model）[28]，本文使用此模式來計算雷諾應力，假設關係如下：