交叉相關函數

交叉相關函數(Cross correlation function)

兩個隨機程序分別為 X(t)、Y(t)，其交叉相關函數定義如下:

[ ]

( , ) ( ) ( )

RXY t t+τ E X t Y t+τ ...( 28 )

當 X(t)，Y(t)皆為 wide sense stationary process 時 R_XY( ,t t+τ)=R_XY( )τ

如果R_XY( ,t t+τ)= 則 X(t)與 Y(t)為正交程序(orthogonal processes)。當兩個是獨0 立時則

( , )

RXY t t+ = τ E X t E Y t

[

^{( )}

] [

⁽ +τ⁾

]

，又同時為 wide sense stationary process 時則 ( , )

RXY t t+τ = ⋅ 為一常數。 x y 4.5.5. 功率密度頻譜

對於線性系統與固定波形的信號而言，分為時域與頻域兩種分析方式。然而自相

關函數(Autocorrelation)、交叉相關函數(Cross correlation)等分析工具皆侷限在時域。在

{ }

=^{lim 1 ( , )}

{

^{( , )}

}

實驗步驟:

(1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 隨機程序 / 功率密度頻譜與自相關函數 的關係的運算課程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。

(2) 根據題目得知一個隨機程序 X(t)自相關函數有 A 與 b 兩參數，分別為振幅與收 斂數值。接著選定參數並按計算&繪圖即可觀察圖形。

圖 40：功率密度頻譜與自相關函數的關係的模擬介面

圖 41：自相關函數與功率密度頻譜圖形

交叉功率密度頻譜與交叉相關函數的關係

當隨機程序 X(t)與 Y(t)是 joint wide sense stationary process 時則形成下式

( ) ( )

考慮一線性非時變系統(LTI System)，其輸入 X(t)為 wide sense stationary (WSS)，而該 系統的脈衝響應為 h(t)時，輸出 Y(t)具有以下特性:

(2). X(t)與 Y(t)形成 joint wide sense stationary RXY

( )

τ ^∞ h u R^{( )} X⁽τ u du⁾

ㄧ個 wide sense stationary 的隨機程序 N(t)，其功率密度頻譜對任何頻率而言皆為

-15 -10 -5 0 5 10 15

圖 42：低通有限頻帶寬白雜訊(lowpass band limited white noise) (2). 帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise)

-15 -10 -5 0 5 10 15

圖 43：帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise) 實驗十 有限帶寬白雜訊(band-limited white noise)

實驗目的:

透過教學模擬軟體觀察與模擬不同型態的有限帶寬白雜訊圖形 實驗原理:

有限帶寬白雜訊分為(1). 低通有限頻帶寬白雜訊(lowpass band limited white noise) 與(2). 帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise)，其方程式分別如下:

(1). 低通有限頻帶寬白雜訊(lowpass band limited white noise) 功率頻譜密度:

sin( )

(2). 帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise)

(1). 低通有限頻帶寬白雜訊(lowpass band limited white noise)

圖 45：低通有限頻帶寬白雜訊圖形 (2). 帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise)

4.5.9. 練習題 4

μ_X = volts。系統的輸出 Y(t)亦為 wide sense stationary 隨機程序，且 4 μ_Y = volts。此外，該系統的脈衝響應如下: 1

/ 0

( ) 0

e t a t h t otherwise

⎧ − ≥

= ⎨⎩

試求: a = ?

8. 考慮一個輸入 X(t)為 wide sense stationary 隨機程序，其自相關函數為

4 2

X( )

R τ =e^−πτ ，而濾波器的轉移函數 h(t)如下:

( ) ^{1 2} 0

H f f

otherwise

⎧ ≤

= ⎨⎩ 試求:

(a). X(t)的 average power (b).℘_Y( )f =? (ω =2π f)

4.6. 最佳濾波器系統設計

Schwarz 不等式: 如果 ( )Aω 與 ( )Bω 是實變數ω 任意的兩個複數函數，其 Schwarz

實驗十一 白雜訊的匹配濾波器設計 實驗目的:

了解白雜訊的匹配濾波器設計，且透過教學模擬軟體觀察其響應。

實驗原理:

對於混有雜訊的已知固定訊號而言，匹配濾波器是ㄧ種可以在某個時間點使輸出 訊號的功率增強，且同時降低輸出雜訊平均功率的系統。假設一個可富立葉轉換的已 知固定訊號 ( )x t 與雜訊 ( )n t ，其輸出訊號與雜訊分別為x t 、_o( ) n t ，而最佳化的法_o( ) 則便是選擇某個時間點t 能讓輸出的訊號雜訊比 ( SNR ) 達到最大，亦即尋求_o x t_o( ) 的平均功率與n t 平均功率比值達到最大的系統。 _o( )

當輸入雜訊是功率密度為N_o/ 2的白雜訊且輸入訊號 ( )x t 為一實數函數則最佳濾 波器的脈衝響應如下式，其中K =1/πCN_o。

-( ) *( ) ^{j to} Hopt ω =KX ω e ^ω

( ) ( )

opt o

h t =Kx t − t

實驗步驟:

(1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 最佳濾波器系統設計 / 匹配濾波器課 程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。

(2) 根據題目說明，參數 A 為輸入 X(t)的最大振幅、k 為收斂數值、t0 為特定時間點、

N0/2 為輸入雜訊是功率密度、C 任意實數常數、t 為模擬時間。設定適當參數後 按計算&繪圖即可觀察輸入、輸出與最佳濾波器的脈衝響應，以及 t = t0 時的 SNR 值。

圖 47：白雜訊的匹配濾波器設計模擬介面

圖 48：輸入、輸出與最佳濾波器的脈衝響應圖形

五 . 研 究 結 果 與 討 論

隨機程序 . 8 5 0 2* . 8 0 2 1* . 6 8 7 2* . 7 6 9 0* . 8 5 2 3* 1 . 0 0 0

表 10： 學 習 評 量 前 後 測 分 測 驗 結 果 分 析

言 之 ， 經 由 數 位 學 習 途 徑 能 有 效 學 習 連 續 隨 機 變 數 之 課 程 。

合 計 ^{2 2 5 6 2 7 5 0 1 1 0}

從 表 11 得 知 ， 受 試 者 在 10 項 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 學 後 反 應 顯 示 ： 1.對 課 程 內 容、對 網 路 平 台 操 作、對 線 上 學 習、對 獲 得 數 位 學 習 知 能、

對 節 省 經 費 、 對 使 用 時 間 、 對 體 力 消 耗 等 7 項 滿 意 情 形 ， 都 未 表 示 滿 意 或 不 滿 意 的 反 應 。

2.對 軟 體 應 用 的 便 利 性 感 到 滿 意 者 ， 表 示 不 同 意 者 1 人 (9.09%)， 無 人 表 示 非 常 不 同 意 。

3. 對 教 學 互 動 及 對 促 進 學 習 效 果 感 到 滿 意 者 ， 表 示 不 同 意 者 2 人 (18.18%)， 無 人 表 示 非 常 不 同 意 。

4.就 整 體 而 言，對 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 滿 意 情 形，表 示 不 同 意 者 5 人 次 (全 部 110 人 次 )， 無 人 表 示 非 常 不 同 意 。 換 言 之 ， 全 體 受 試 者 對 隨 機 信 號 處 理 課 程 ， 表 示 不 同 意 或 非 常 不 同 意 者 ， 居 全 體 4.55%。

5.本 研 究 整 體 反 應 中 ， 沒 有 意 見 者 計 27 人 次 ， 居 全 部 人 數 24.55%。 換 言 之 ， 約 有 四 分 之 一 受 試 者 對 於 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 滿 意 情 形 沒 有 表 示 意 見 ； 其 原 因 值 得 進 一 步 深 入 瞭 解 。

六 . 結 論 與 建 議 6.1. 結 論 部 分

1.本 研 究 依 據 Matlab 模 擬 設 計 ， 建 置 e 化 數 位 學 習 平 台 ， 規 劃 隨 機 信 號 處 理 課 程 ， 具 有 可 行 性 。

2.本 研 究 運 用 ASSURE 教 學 模 式，透 過 課 程 本 位 評 量，參 與 隨 機 信 號 處 理 課 程 之 學 習 ， 具 有 顯 著 差 異 。

3.本 研 究 設 計 之 隨 機 信 號 處 理 課 程 不 滿 意 者 大 約 5%， 可 見 此 一 課 程 能 獲 得 多 數 人 的 肯 定 。

4.隨 機 信 號 處 理 課 程 ， 適 合 運 用 e 化 學 習 方 式 進 行 。 6.2. 建 議 部 分

1.本 研 究 結 果 的 運 用 ， 宜 注 意 外 在 效 度 的 問 題 。

2. 研 究 對 象 可 考 慮 擴 大 ， 以 解 決 外 在 效 度 問 題 ； 擴 大 外 在 效 度 的 途 徑 ， 可 朝 向 不 同 科 系 、 不 同 年 級 、 不 同 學 校 進 行 ， 以 提 升 外 在 效 度 。

3.可 採 取 相 同 課 程 設 計 模 式，針 對 不 同 課 程 進 行 研 究；以 瞭 解 不 同 課 程 之 學 習 效 果 是 否 具 有 差 異 。

參 考 文 獻

[1]王 思 峰、李 昌 雄，探 索「 建 構 學 習 行 為 特 質 」 對 線 上 學 習 成 效 的 影 響 。 教 育 與 心 理 研 究 ， (2004)， 27， 117-157。

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[27]Ho,H.C., Yang,C.T., and Chang,C.C., “Building an E-learning Platform by Access Grid and Data Grid Technologies.”, 2004, 1-4.

附 錄

教 學 平 台 安 裝 說 明 一. 注意事項:

安裝軟體需求: 安裝隨機程序數位教學平台前需安裝 Matlab 數學軟體

二. 安裝步驟:

Step 1: 放入光碟後，執行平台安裝

圖 49：隨機程序數位教學平台之安裝畫面 Step 2: 選擇 OK

圖 50：安裝步驟 2

Step 3: 維持預設安裝路徑 C:\Program Files\Project1\ 並按紅色方框處

圖 51：安裝步驟 3

Step 4: 維持預設值且按 Continue

圖 52：安裝步驟 4

Step 5: 若出現以下訊息時請按 Yes 否則執行 Step 6:

圖 53：安裝步驟 5

Step 6: 隨機程序數位教學平台安裝成功

圖 54：安裝步驟 6

Step: 7: 將圖中檔案與資料夾複製至 C:\Program Files\Project1

圖 55：安裝步驟 7

教 學 平 台 使 用 說 明

Step 1: 開始 / 程式集 / 隨機程序數位教學平台 / 隨機程序數位教學平台

圖 56：教學說明步驟 1

Step 2: 教學平台歡迎視窗畫面

圖 57：教學說明步驟 2.

Step 3: 平台簡介

1. 目錄: 提供所有本隨機程序教材之各章節標題，可藉由該項目選擇欲學習章節。

2. 原理解說: 針對該選取的章節做詳盡的理論解說

3. 例題模擬: 針對該理論提出例題並以數值計算方式模擬數學定理。

圖 58：教學說明步驟 3-1

1

2

圖 59：教學說明步驟 3-2 舉例說明:

假設吾人選擇 隨機程序 / 白雜訊 則首先至目錄選擇該標題，如圖 3.綠框所示 即可獲得如圖 58 白雜訊的原理解說與例題模擬。其中例題模擬如圖 59 所示，可從紫 色方框輸入參數並按計算繪圖，即可獲得相關數值計算結果或圖形如圖 60 所示。

3

圖 60：教學說明步驟 3-3

學 習 評 量 (甲 )

3. 考慮一種病毒為 HIV(human immunodeficiency virus)，每 4000 人中有 1 人受感染，

而針對此病毒的檢驗方法，其檢測結果可分為陰性(－)與陽性(＋)兩種。當結果為

5. 考慮一隨機變數 X，其 PMF 如下:

[

^{( )}

]

X ⁴

E X t =μ = volts。系統的輸出 Y(t)亦為 wide sense stationary 隨機程序，且

[

^{( )}

]

Y ⁵

E Y t =μ = volts。此外，該系統的脈衝響應如下:

2 0

( ) 0

ae t t h t otherwise

⎧ − ≥

= ⎨⎩

試求: a = ? (A) 5

4 (B) 1 (C) 1

4 (D) 5 2

學 習 評 量 (乙 )

5. 考慮一離散隨機變數 X，其 CDF 如下:

10. 考慮 X(t)的功率密度頻譜如下:

8 / ( ) 0

X

W W f W

f otherwise

− ≤ ≤

℘ = ⎨⎧

⎩

試求: R_X(0)= ?

(A) 32 (B) 8 (C) 16 (D) 4

學 習 反 應 問 卷

隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 反 應 問 卷

*基 本 資 料

01 性 別 ： □ 男 □ 女

02 學 制 ： □ 日 間 部 □ 進 修 推 廣 部

*問 卷 內 容 (請 勾 選 )

非常同意 同意 沒意見 不同意 非常不同意 (1)對課程內容感到滿意 □ □ □ □ □ (2)對網路平台操作感到滿意 □ □ □ □ □

(3)對線上學習感到滿意 □ □ □ □ □ (4)對獲得數位學習知能感到滿意 □ □ □ □ □

(5)對軟體應用的便利性感到滿意 □ □ □ □ □ (6)對教學互動感到滿意 □ □ □ □ □ (7)對節省經費感到滿意 □ □ □ □ □ (8)對使用時間感到滿意 □ □ □ □ □ (9)對體力消耗感到滿意 □ □ □ □ □ (10)對促進學習效果感到滿意 □ □ □ □ □ 同學：

本問卷主要在瞭解修讀「隨機信號處理課程數位學習」的成效，以作為日後規劃課 程的參考。

填答後請寄：「[email protected]」信箱。

謝謝您用心參與。並祝 學安

國立高雄應用科技大學

蘇德仁 黃世鈺 敬上 2006.9

在文檔中 隨機信號處理課程之數位學習研究 (頁 66-0)