本研究的前測試題、後測試題、延後測的試題均以同一份試卷檢測；前測 的目的主要在檢驗學童的分數概念是否完整？是否已經具備學習分數乘法的準 備。後測是在檢驗學習本單元之後是否達到預期的學習成效，而延後測的實施 則是在檢驗學童在教學實驗一個半月之後是否仍具備學習保留的現象。
在試題的設計上，檢驗學童有關分數單位的概念、分數的加減、分數的整 數倍問題。試題共計 18 題：計算題有 9 題，包含同分母分數加減 1 題，異分母 分數的加減 3 題、整數減帶分數 1 題，真分數的整數倍 2 題，帶分數的整數倍 2 題；作圖題 2 題，其中 1 題包含 2 小題(附有圖形)的填充，另 1 題是分數的整數 倍表徵題；應用題共有 6 題，包含離散量、連續量、一維、二維的布題情境，
和語意結構不同 的整數倍問題。
從三次測驗的整體答對率來分析，前測的平均答對率是 58％，後測的平均 答對率是 79％，延後測是 84％，見表二；其中前測和後測的整體答對率，達到
顯 著性差異；前測和延後測亦達顯著性差異。
表二 前測、後測與延後測試題的 T 檢定
試題 平均答對率 T 檢定
前測 後測 延後測 前測、後測 後測、延後 前測、延後
計算題 62％ 81％ 92％ -3.643* -3.093* -6.003**
表徵題 26％ 72％ 71％ -3.013* 1.015 -2.013*
應用題 60％ 80％ 83％ -3.233* -.661 -3.743**
總和 58％ 79％ 84％ -4.199** -1.470 -5.415**
一、計算題—程序性知識
屬於程序性知識的計算題，在測驗中也設計分數加減計算題，來檢測學童 的分數加減的概念、程序是否會和分數的整數倍概念和程序混淆。
計算題的前測平均答對率為 62％，後測為 81％，延後測為 92％，後測比前
測答對率提高 19％，達到顯著性差異。延後測比後測的答對率提升 11％，達到 顯著
性差異。同時，延後測比前測答對率提高 31％，也達到顯著性差異。
比較個別試題的答對率，發現有顯著性差異的題目，主要集中在分數的整 數倍試題上。在前測和後測具顯著性差異的為【計算 2】、【計算 5】、【計算
6】、【計算 8】、【計算 9】；在後測和延後測中，達到顯著性差異的是【計 算 3】、【計算 8】、【計算 9】，在前測和延後測的比較中，【計算 2】、【計 算 4】、【計算 5】、【計算 6】、【計算 7】、【計算 8】、【計算 9】，達到
顯著性差異。
本研究在計算題中，以分數的整數倍程序性知識研究為主，所以針對分數 的整數倍計算題 6、7、8、9 作試題分析，見表三。
表三 前測與後測具顯著性差異的分數整數倍計算試題
占全班人數的 11％。
用分 配律。
總結學童對分數的整數倍問題的計算能力，發現教學實驗之後，學童對數 字較大的帶分數整數倍問題，後測答對率最差也有七成。計算題主要的錯誤是 整數加減法的計算問題，而非分數概念的迷思。但無論如何學童的總體程序性 知識答對率達八成以上。
二、應用題—解題性知識
本試卷應用題共有 6 題，布題情境力求符合學童生活經驗。解題的方式上，
要求學童先列式再算出答案。在問題情境結構、語意結構上，力求多元，以配 對方式變化題目。也為了使學童不固著本單元是乘法的前提下，遇到應用題都 以乘法解題，本試卷也安排分數的加減法，和整數的除法問題，期待學童能在 真正理解題意之下解題。因此，我們把應用題歸類在評量學童的解題性知識。
由表二得知，應用題的前測答對率只有 60％，後測則大幅提高至 80％，延 後測的答對率為 83％，後測與前測以及延後測與前測皆達到顯著性差異。研究 發現，學童在後測與延後測的答對率達八成以上，顯示五年級學童在分數的整
數 倍解題性知識已達暫行綱要的目標。
比較個別試題的答對率(參見表五)，有顯著性差異的題目主要集中在分數的
整數倍問題上。在前測和後測達到顯著性差異的應用題有 3 題，分別是【應用
童算成面積，可見學童容易將面積與周長的概念混淆。因此，建議在分數的整 數倍教學時，教師應將此類型題納入，一方面可以熟練分數的整數倍演算，另 方面可將面積和周長概念作複習。我們認為在進行數學教學時，教師應該將新 概念與舊概念連結，讓學童在新舊教材中強化數學知識與概念，以提高數學的 解題能力。
三、表徵題—概念性知識
本研究在無法一一訪談學童來了解學童的學習成效下，希望學童以圖形或 文字呈現對分數的整數倍概念的了解。
前測【作圖題 2】的答對率是 25％，這是由於學童在數學的解題中少有作 圖經驗，以文字說明數學概念的機會也少；所以，前測的答對率極低。經過教 學實驗之後，學童學習了以作圖方式呈現概念來解題，所以後測的答對率較前 測的答對率大幅提高，由 25％提高至 72％，達到顯著性差異，顯示表徵教學在 協助學童理解數學的概念上，確實達到學習成效。延後測答對率為 71％，與後 測相近，顯示教師的表徵教學在學童學習一段時間之後，仍然具有學習保留成
效。
表五 表徵題試題分析
試題 答對率 顯著性雙尾
前測 後測 延後測 前、後 後、延後 前、延後
【作圖 2】請用文字或圖形說明
5
2×3 的過程和結果？ 25％ 72％ 71％ -3.994** .081 -3.855**
研究發現，大部分學童在前測時作圖不完備，文字說明也只是說明算式解題的 程序性過程(例如分子乘以 3)，未能作分數的整數倍概念性的說明；顯示出學童 少有以表徵方式呈現數學概念的經驗。
再從學童的後測和延後測中，本題的表徵方式來分析學童呈現的分數的整 數倍概念，發現兩次測驗中有 70％左右的學童能夠呈現正確的表徵，了解
5 2×3 就是 3 個
5
2，或是
5
2×3 就是
5
2的 3 倍，且學童的表徵形式呈現多樣化(見圖七至 圖十)，有用圓形表徵、矩形表徵、線段表徵和文字符號表徵。另外，也有 30％
左右的學童呈現錯誤的表徵(見圖十一至圖十四)，主要在明顯未將面積平分成 5 份
或沒有單位量、把乘法當成擴分、或者程序性的文字說明。
1. 圓面積表 徵
2. 矩形面積 表徵
3. 線段表徵 4. 文字說明
5. 未能等分 割的面積
圖示
6. 沒有單位 量的線段
圖示
7. 乘法變成 擴分
8. 程序性說 明的文字
表徵 Lesh(1987)認同圖形或文字符號表徵是表現學童概念的理想方式。本研究發 現，在紙筆評量的測驗中，學童習慣用圖像表徵表達他們對概念的了解，且學
童在以前沒有這樣的評量經驗下，答對率高達七成。因此，本研究相信，假如 學童習慣於此類的表達方式，他們將更能運用圖形表徵和他人溝通數學的概念 性理解，將更能運用圖形表徵進行概念性的推理，使他們的數學更有威力。