第四章 數值結果
第三節 伽瑪分配下
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第三節 伽瑪分配下
在五種估計方法中，Van der Burgt (2008)所提的方法與本文的Gamma方法，並 沒有假設非違約戶與違約戶評分分數的分配，而Tasche (2009) 的模型是建立在分數 的分配服從常態假設下，但當中有提到Robust logit可以在評分分數非常態分配下較穩 定，因此本節討論評分分數服從伽瑪分配下，在不同的違約機率下與參數的變動，比 較五種方法對估計效果的表現。由於伽碼分配中兩參數的變動皆會影響平均數與變異 數，因此比較時固定違約戶的分配為Gam(αD = 2, kD = 0.3)，僅變動非違約戶的參 數。
第一小節 估計樣本與預測樣本的違約機率相同
首先設定估計樣本的違約機率p與預測樣本的違約機率q相同，表4.7是評分分數為 伽瑪分配，當非違約戶參數變動時比較五種估計方法的估計效果，當αN固定在6時，
隨著kN值的下降，真實的AUC值會上升。觀察五種方法的S.E，Van der的方法表現 相對較差，在各種參數的變動下，S.E都是最大的。而隨著kN的上升，Tasche的三種 方法之估計標準誤皆有明顯上升的趨勢，Gamma方法估計標準誤則是會有遞減的傾 向。在q=p下，當估計樣本違約機率p的上升，可以明顯發現五種估計方法的估計誤差
表 4.7: 五種方法的S.E (伽瑪分配，SD ∼ Gam(2, 0.3)，q=p)
S.E(S.E達到最小的比例)
p ( αN, kN ) True AUC Van der Robust logit Logit Q.M.M Gamma ( 6 , 0.7 ) 0.67 6.29 ( 0) 5.19 ( 4) 5.99 ( 0) 5.92 ( 0) 4.38 (96) ( 6 , 0.6 ) 0.74 6.63 ( 0) 4.54 ( 8) 5.68 ( 0) 5.80 ( 0) 3.86 (92) 5% ( 6 , 0.5 ) 0.81 7.07 ( 0) 3.92 (48) 5.22 ( 0) 5.60 ( 0) 3.91 (51) ( 6 , 0.4 ) 0.87 7.19 ( 0) 3.16 (88) 4.36 ( 0) 5.09 ( 1) 4.10 (11) ( 6 , 0.3 ) 0.94 5.89 ( 2) 2.51 (90) 3.30 ( 0) 4.07 ( 4) 4.17 ( 4) ( 6 , 0.7 ) 0.67 8.97 ( 0) 7.32 ( 0) 8.73 ( 0) 8.50 ( 0) 5.68 (100) ( 6 , 0.6 ) 0.74 8.92 ( 0) 5.98 ( 6) 7.79 ( 0) 7.87 ( 0) 4.92 (94) 10% ( 6 , 0.5 ) 0.81 8.71 ( 0) 4.68 (62) 6.58 ( 0) 7.16 ( 0) 4.87 (38) ( 6 , 0.4 ) 0.87 7.59 ( 0) 3.50 (92) 5.05 ( 0) 6.21 ( 1) 5.07 ( 7) ( 6 , 0.3 ) 0.94 5.28 ( 4) 2.53 (90) 3.55 ( 0) 4.46 ( 3) 5.01 (3)
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整體來說Robust logit與Gamma方法是估計誤差S.E相對較小的，這同時也可以 驗證Tasche (2009)的假設，當評分分數來自非常態的分配，Robust logit估計方法可 以比Logit與Q.M.M方法更加穩定。當比較Robust logit與Gamma方法兩種方法上可 以用AUC指標做區分，AUC指標值越大時Robust logit估計誤差是相對較小的，反 之；AUC越小時Gamma方法的估計誤差會相對較小。而不論何種情況。
當評分分數SD ∼ Gam(2, 0.3)，AUC=0.67，觀察五種估計方法對不同的評分分 數下估計違約機率，在圖4.13中可以看出Robust logit與Gamma方法對不同分數的估 計是比較接近真實違約機率，先前評分分數服從常態分配的情況下，Van der的方法 對分數小的值估計違約機率都較平緩，因此當真實違約機率會隨著分數變小而明顯上 升時，Van der的方法估計誤差都是會較大的，在圖中一樣可以觀察到此情形，Van der方法估計值沒有隨著分數變小而明顯上升。
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logit 與Gamma方 法 的 估 計 誤 差 是 明 顯 相 對 較 小 的， 以AUC指 標 比 較 兩 種 估 計 方 法時，當AUC值越大時Robust logit 的估計誤差會比較小，反之；當AUC越小 時Gamma方法的估計誤差較小。
評分分數分配同樣是在SD ∼ Gam(2, 0.3)，AUC=0.67的情況下，觀察不同的估 計樣本違約機率，5%或10%，五種估計方法在不同分數下的估記情形，如圖4.15與 圖4.16，與表4.8呈現結果相同，當p上升時五種估計方法並不會有明顯的改變，
而Robust logit與Gamma方法估計違約機率是相對較接近真實違約機率值，至於Van der方法同樣在預測分數較小的違約機率都會明顯的低估。
表 4.8: 五種方法的S.E (伽瑪分配，SD ∼ Gam(2, 0.3)，q=3%)
S.E(S.E達到最小的比例)
p ( αN, kN ) True AUC Van der Robust logit Logit Q.M.M Gamma ( 6 , 0.7 ) 0.67 4.42 ( 0) 3.73 ( 3) 4.23 ( 0) 4.18 ( 0) 3.22 (96) ( 6 , 0.6 ) 0.74 4.98 ( 0) 3.63 (10) 4.38 ( 0) 4.44 ( 0) 3.20 (90) 5% ( 6 , 0.5 ) 0.81 5.46 ( 0) 3.25 (53) 4.20 ( 0) 4.43 ( 0) 3.30 (47) ( 6 , 0.4 ) 0.87 5.82 ( 0) 2.76 (89) 3.74 ( 0) 4.18 ( 0) 3.55 (11) ( 6 , 0.3 ) 0.94 5.28 ( 2) 2.30 (90) 3.04 ( 1) 4.43 ( 3) 3.81 ( 5) ( 6 , 0.7 ) 0.67 4.44 ( 0) 3.85 ( 0) 4.34 ( 0) 4.23 ( 0) 3.19 (100) ( 6 , 0.6 ) 0.74 4.86 ( 0) 3.74 ( 2) 4.47 ( 0) 4.40 ( 0) 3.09 (98) 10% ( 6 , 0.5 ) 0.81 5.28 ( 0) 3.42 (37) 4.40 ( 0) 4.43 ( 0) 3.28 (63) ( 6 , 0.4 ) 0.87 5.32 ( 0) 2.88 (89) 3.95 ( 0) 4.18 ( 0) 3.53 (11) ( 6 , 0.3 ) 0.94 4.10 ( 6) 2.31 (91) 3.17 ( 0) 3.95 ( 1) 3.76 ( 2)
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第五章 結論
本 文 主 要 的 目 的 為 解 決 違 約 戶 稀 少 時， 建 立 一 個 穩 健 的 估 計 條 件 違 約 機 率P (D|S)模型，分別考慮在不同的評分分數分配、分配參數設定、違約機率下，估計 模型的適用性。判斷估計模型的精確及穩定程度，則是參考過去文獻Van der Burgt (2008)的一參數估計模型，與Tasche (2009)在常態假設下所提出三種估計方法，將本 文所提出的方法與之比較。
第四章中分別考慮評分分數分配來自常態分配及伽瑪分配，並且在不同的參數設 定及不同的估計樣本違約機率下，比較五種估計模型的預測情況，結果發現並沒有一 種方法在各種情況下誤差都最小。在常態分配下，就非違約戶與違約戶分數的變異數 差距討論，
• 假設兩分配變異數相等，Tasche的三種方法相對誤差會較小，又以Logit方法最 明顯。
• 非違約戶的分數變異數較大時，Van der與本文所提的Gamma方法誤差相對較 小。
• 違約戶分數的變異數較大時，Gamma方法的誤差相對較小，隨著兩分配變異數 差距越大，效果越明顯。
然而就常態分配下，無論兩分配變異數差距為何，本文所提出的Gamma方法誤差皆不 會明顯受到影響，可以保持一定的穩定程度，而Tasche與Van der的方法，估計誤差 受到變異數差距變動的影響較大。
當評分分數服從伽瑪分配時，無論參數的變動，皆是Robust logit與本文所提 的Gamma方法估計誤差相對較小，這同時也可以驗證Tasche (2009)的假設，當評 分分數來自非常態的分配，Robust logit估計方法可以比Logit 與Q.M.M方法更加
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穩健。就AUC指標討論Robust logit與Gamma方法，當AUC指標大於0.8時Robust logit估計誤差有遞減的趨勢，反之；AUC指標小於0.8時，Gamma方法的估計誤差有 遞減的趨勢。
討論違約機率的變動，無論評分分數來自何種分配，當預測樣本違約機率q設 定在3%，估計樣本的違約機率p上升時，Van der與Gamma方法的估計誤差有較明 顯下降的趨勢，這是由於估計樣本提供的違約戶資訊變多，使估計可以較準確。至 於Tasche的三種方法，僅在評分分數符合常態分配下且變異數差距不大時，估計誤差 會隨著樣本違約機率上升而下降。
整體而言，本文所提的Gamma估計方法，估計誤差相對其它四種方法較為穩健，
在不同的分配、變異數差距的變化、平均數差距、以及違約機率的改變下，估計誤差 相對不容易受到影響，並且能有不錯的精確度。