1◦ 定義域Df =?
2◦ 對稱性、 週期性與連續性;
• 對稱性 : 若f 為偶函數, (即f (−x) = f(x), ∀ x ∈ Df), 則其圖形對稱於 Y 軸. 若 f 為奇函數, (即 f (−x) = −f(x), ∀ x ∈ Df) , 則其圖形對稱於原點. 具對 稱性之函數只需先繪出一半, 其餘部分只需複製之 .
• 週期性 : 若存在一正數 p 使得 f (x + p) = f (x), 則稱 p為 f 之一週期 (period) . 具週期性之函數只需先繪出一週期之部分, 其餘部分只需複製之 .
• 連續性 : 用以了解函數是否有斷點 . 3◦ 漸近線: 分垂直漸近線及非垂直漸近線二種 . 4◦ 求一、 二階導數、 臨界點集及 Zf′′ ;
5◦ 製表 : 繪製一表以顯示函數在某區間之單調性及彎向,並由其中觀察極值點及反曲點等 . 6◦ 繪圖 :利用上述討論將函數之圖形予以描繪 .
◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ • ◦ ⋆ •
♠ (13-1) 畫出 f (x) = (x2 − 4)2/3 的圖形, 您必須討論 f (x) 的定義域, 值域, 相對極大 點, 相對極小點, 反曲點及漸近線.
分析 當x = ±2 時, 由於 (x2− 4)2/3 之指數小於1 , 已說明在點 ±2 不為可微. 解 1◦ Df = R, Rf = [0, +∞).
2◦ f (−x) = f(x) , ∀x ∈ R , 故知 f 圖形對稱於 Y 軸. (說明 : 我們可以只討論
x ≥ 0 之情況和圖形, 再利用對稱原理複製 x ≤ 0部分之圖形, 但本題並不複雜,
我們仍討論整體圖形. )
第13 單元 作圖與凹凸性 109
3◦ 關鍵點 : 因
f′(x) =
4x
3 (x2− 4)−1/3, 若 |x| 6= 2,
不存在, 若 |x| = 2,
f′′(x) =
4
9(x2− 4)−4/3(x2− 12) , 若|x| 6= 2,
不存在, 若|x| = 2,
知 Zf′ = {0}, Sf = {−2, 2}, Zf′′ = {±2√ 3}.
4◦ 漸近線 : 因f 於 R 上為連續, 故無垂直漸近線; 其次,
x→+∞lim f (x)
x = lim
x→+∞
(x2− 4)2/3
x = lim
x→+∞
x2 − 4 x3/2
2/3
= +∞,
x → −∞ 情形相同, 故知 f 圖形之亦無非垂直漸近線.
5◦ 繪表
x −2√
3 −2 0 2 2√
3
f (x) + 0 + 0 +
f′(x) − + 0 − +
f′′(x) + 0 − − − 0 +
說 明 ⌣ ց ⌢ ր ⌢ ց ⌢ ր ⌣
反曲 min max min 反曲 f 於點 −2及 2有最小值 0 , 而於點0 有相對極大值 161/3.
f 之圖形之反曲點有二 : − 2√3, f (−2√3) 及 2√3, f (2√3). 6◦ 作圖 :
圖 13–1
♠ (13-2) 試討論並作函數 f (x) = x(x + 5)2/3 之圖形.
分析 當x = −5 時, 由於 (x + 5)2/3 之指數小於 1 , 已說明在點 −5不為可微. 解 1◦ Df = {x | x · (x + 5)2/3 有意義} = R.
2◦ f 顯然無對稱性及週期性. 但f 為連續, 因為 y = x及y = (x + 5)2/3 二函數皆 為連續.
3◦ 漸近線 : 因f 為連續於 R 上, 故無垂直漸近線. 至於非垂直漸近線, 因
x→+∞lim f (x)
x = lim
x→+∞(x + 5)2/3 = +∞,
x→−∞lim f (x)
x = lim
x→+∞(x + 5)2/3 = −∞, 知 f 並無非垂直漸近線.
4◦ f 之一、 二階導數分別為 f′(x) =
(
(x + 5)2/3+2
3x(x + 5)−1/3, 若x 6= −5,
不存在, 若x = −5,
=
5(x + 3)
3(x + 5)1/3, 若x 6= −5,
不存在, 若x = −5,
f′′(x) =
5
3 · (x + 5)1/3− 13(x + 3)(x + 5)−2/3
(x + 5)2/3 , 若 x 6= −5,
不存在, 若 x = −5,
=
10
9 · x + 6
(x + 5)4/3, 若 x 6= −5,
不存在, 若 x = −5,
5◦ 製表 :
x −6 −5 −3 0
f (x) − 0 − 0 +
f′(x) + − 0 +
f′′(x) − 0 + +
說 明 ⌢ ր ⌣ ց ⌣ ր 反曲 max min
是以f 在點 −5有相對極大值 0 , 在點 −3有相對極小值 −3 · 22/3 = −3√3 4 . f 之圖形在點 (−6, −6)有反曲點.
6◦ 繪圖:
第13 單元 作圖與凹凸性 111
圖 13–2
♠ (13-3) 試討論並列表以繪製 f (x) = x + tan−1 x − 1
x + 1 之圖形. 分析 解題之前先了解漸近線之公式.
解 1◦ Df = R \ {−1};
2◦ 無週期性、 無對稱性、 但為連續函數.
3◦ 無垂直漸近線, 因f 在Df 上任意點之極限皆為有限, 又
x→−1lim−x + tan−1 x − 1
x + 1 = −1 + π
2 , lim
x→−1+x + tan−1 x − 1
x + 1 = −1 − π 2. 而
m = lim
x→+∞
f (x)
x = lim
x→+∞
1 + tan−1 x−1x+1 x
= 1,
b = lim
x→+∞f (x) − mx = lim
x→+∞tan−1 x − 1
x + 1 = lim
x→+∞tan−11 = π 4. 知 f 之漸近線為 y = mx + b = x +π
4 , ( x → −∞相同).
4◦ 由於
f′(x) = 1 + 1
1 + x2 > 0 , ∀x ∈ Df, f′′(x) = − 2x
(1 + x2)2 , 知 Zf′ = ∅ , Zf′′ = {0}.
5◦ 製表 :
x −∞ −1 0 1 +∞
f′(x) + +
f′′(x) + + 0 −
說 明 ր ր
⌣ ⌣ 反曲 ⌢
由上表知, f 無極值, 但點 0, −π 4
為其圖形之反曲點. 6◦ f 之圖形如下 :
圖13–3
♠ (13-4) 設 f (x) = (2x2− x3)1/3. (a) 試求 f 之導函數 ; (b) 試求 f 之極值;
(c) 試求 f 之圖形的漸近線 .
分析 尋求某函數之漸近線往往是 「作圖題」 的重點. 解 (a) 若 x ∈ R \ {0, 2} ,
f′(x) = 1
3(2x2− x3)−2/3(4x − 3x2) = 4 − 3x 3x1/3(2 − x)2/3; 若 x = 0 , 則因
x→0lim+f′(x) = lim
x→0+
4 − 3x
3x1/3(2 − x)2/3 = +∞,
第13 單元 作圖與凹凸性 113 知 f 在點 0 不為可微.
若 x = 2 , 則因
x→2limf′(x) = lim
x→2
4 − 3x
3x1/3(2 − x)2/3 = −∞, 知 f 在點 2 不為可微. 綜合以上三點知 f 之導函數為
f′: R \ {0, 2} → R : f′(x) = 4 − 3x 3x1/3(2 − x)2/3. (b) 首先, 因
f′(x) = 0 ⇔ 4 − 3x
3x1/3(2 − x)2/3 = 0 ⇔ x = 4 3, 故知 f 之臨界點集為 Zf′ ∪ (Df \D◦f) ∪ Sf = {0, 4
3, 2} , 繪表如下 :
x 0 43 2
f′(x) − + 0 − −
說 明 ց min ր max ց ց
知 f 在點 0 有相對極小, 而在點 4
3 有相對極大, 但無絕對極值. (c) 因 f 連續於 R 上, 故 f 之圖形無垂直漸近線. 其次,
m = lim
x→+∞
f (x)
x = lim
x→+∞
(2x2− x3)1/3
x = lim
x→+∞
2
x − 11/3
= −1, b = lim
x→+∞(f (x) − mx) = lim
x→+∞
(2x2− x3)1/3+ x
= lim
x→+∞x 2
x − 11/3
+ 1
= lim
t→0+
(2t − 1)1/3+ 1
t , (令t = 1/x )
= lim
t→0+
2
3(2t − 1)−2/3, ( l’Hospital 規則)
= 2 3.
故 y = mx + b = −x + 2
3, 為其非垂直漸近線, ( x → −∞ 結果相同).