我們考慮到 R3 空間中的單連通 (simply connected) 離散 3-流形 (3-manifold) 在虧格 (genus) 為 0 之R3 空間上的離散 OMT 映射。Su 等人 [25] 在其研究中提出了一種在表面為單邊界 (single boundary)、虧格為 0 的 單位實心球 B3 使用單連通四面體網格 M 實行保體積 (volume-preserving) 網格 (mesh) 參數化 (parameterization) 的方法。基於新發現的變分原理 (variational principle) [26]，在 Su 等人 [25] 提出的算法中設計為先計算 M 與 B3 之間的體積諧波映射 (volumetric harmonic map)，之後透過 Brenier 的方法 [27] 計算最佳傳輸映射。
Yueh 等人 [28] 提出了一種新算法，利用每個迭代步驟中的當前 拉伸因子 (current stretching factor)，通過校正拉普拉斯係數 (Laplacian
3.2 兩階段最佳傳輸演算法 (TSOMT) 3 最佳傳輸理論 (OMT) 不能保證是否為對射映射 (bijective map)，然而在實際應用中，我們必須 讓 OMT 成為一個對射映射，因此我們應該使用最初的 OMT 問題，想辦 法做出一個高效且可靠的數值方法。
在《3D brain tumor segmentation using a two-stage optimal mass transport algorithm》[29] 中，提出了一種兩階段的最佳傳輸 (two‑stage optimal mass transport,TSOMT) 演算法；我們主要是想要讓原先的 MRI 資料轉換至一個立方體以利模型訓練，因此，我們要解決一個從 3-流形到 立方體的 OMT 問題，由於數值收斂技術上無法直接做到這件事情，因此，
第一步是找到從 3-流形到單位實心球之間的 OMT 映射 fp∗，第二步則是找 到立方體到單位球的 OMT 映射 fδ∗，透過第一步的映射與第二步的逆映射 組合 fρ,δ∗ = fδ∗−1◦ fρ∗，即可獲得從 3-流形到立方體的 OMT 映射。
3.2 兩階段最佳傳輸演算法 (TSOMT) 3 最佳傳輸理論 (OMT) 以更佳表示出大腦圖像的全面訊息，為監督式學習 (supervised learning) 演算法提供更完整的密度分佈，進而使得預測函數的訓練更加準確。(3)
4 資料擴增演算法 (AUGMENTATION)
4 資料擴增演算法 (Augmentation)
4.1 簡介
使用大型數據集進行訓練，對於深度 CNN 模型的表現至關重要，
為了成功建構泛化能力強的深度模型，我們需要大量的真實數據來避免訓 練模型的過度擬合，但在醫學影像應用領域當中，考慮到人力、患者隱私 等等問題，收集一個高品質且大量的數據集很耗時且極具挑戰，尤其透過 核磁共振影像來判定腦部腫瘤的資料 [21]；因此，有許多的訓練模型使用 影像增強來彌補訓練集資料不足的問題。從而可以將相對較小的數據集擴 大成較大的訓練集。
資 料 擴 增 演 算 法 是 一 種 技 術， 有 助 於 提 高 深 度 神 經 網 路 的 泛 化 能 力 [22]， 使 其 可 以 套 用 到 更 多 種 不 同 的 測 資， 減 少 過 度 擬 合 的 情 況 發 生。 用 於 3D MRI 腦 部 腫 瘤 的 資 料 擴 增 方 式 有 不 少 種， 根 據 Marco [23] 等人的研究指出，常用的資料擴增方式有翻轉 (flipping)、旋轉 (rotation)、縮放 (scaling)、亮度調整 (brightness adjustment)、彈性拉伸 (elastic deformation)... 等，並且他們證明了許多情況下可以提高 3D U-Net 深度神經網路的訓練模型性能，尤其是彈性拉伸的效果特別良好，筆者認 為若是將前述的 OMT 處理與資料擴增演算法結合，也許能夠更大程度的 提升訓練後的模型準確度。
本文所使用到的資料擴增演算法為翻轉以及彈性拉伸，關於這兩者 的詳細介紹如下。