具有相同项的排列

如果某些项相同，那么对 个项而言，排序方式的数量要少于 种。交换位置的 相同项不应被计作不同的排列。

在一个包含 个项的序列中，如果有 个项相同，则存在 种重新排序相同项 的方式。因此， 将对每个不同的排列进行 次计数。为获取不同排列的数量，

需要将 与 相除。以字母“ ”为例，不同排列的数量为 10!/3! 种。

DNA 研究 　一位生物学家正在研究一种与遗传疾病有关的 DNA 片 段。它由 23 个碱基对构成，其中 9 个必须为 A-T，另外 14 个必须为 G-C。这位生物学家希望为所有具有这些碱基对数目的 DNA 片段运行模拟 任务，那么所需的模拟任务总数是多少？

我们首先计算 23 个碱基对所有可能的排列，然后将结果与 9 个重复的 A-T 以及 14 个重复的 G-C 碱基对相除，从而得到碱基对排列的数量：

但问题尚未结束。如果将碱基对的取向考虑在内，就会得到下图所示结果。

对于每一个 23 个碱基对的序列，存在 种不同的取向构型，因此序列总数为：

这只是一个已知分布的 23 个微小碱基对序列。迄今为止，最小的可复制 DNA 来 自猪圆环病毒，包括 1800 个碱基对！从技术角度看，DNA 编码与生命确实令人叹 为观止。一个难以置信的事实是，人类 DNA 约有 30 亿个碱基对，在人体的 3 万 亿个细胞中复制。

1.3.4　组合

请读者想象一副包含所有黑桃花色的扑克牌 （共 13 张），那么向对手发 6

张牌有多少种方式？在 13 个可能项中找出 6 种排列，其数量为 种。由 于 6 张牌的顺序无关紧要，我们必须将结果与 6! 相除，从而得到符合要求的组 合数量。

二项式 表示从一组 个项中选择 个项的方式的数量（不考虑顺序）：

上述二项式读作“ 选 ”。

皇后问题 　有一副空棋盘以及 8 个后，后可以放在棋盘的任何位 置，那么后共有多少种不同的放置方式？

国际象棋棋盘由 64 个（8×8 方格的网格）组成。从 64 个可用的方格中选择 8

个，共有 亿种方式。

1.3.5　求和

计数时经常需要对序列求和，序列和采用求和符号（∑）表示。在表达式中对 的 每个值求和表示为：

例如，对前 5 个奇数求和可以写作：

采用 0、1、2、3、4 替换 ，从而得到 1、3、5、7、9。类似地，对前 个自 然数求和可以写作：

天才数学家高斯在 10 岁时，老师曾要求他对自然数求和。高斯没有采用逐一相加 的方法，而是发现了一个巧妙的诀窍：

读者能猜出高斯是如何发现上述公式的吗？相关解释请参见附录。接下来，我们讨 论如何利用它来解决实际问题。

廉价机票 　你需要在今后 30 天内随时飞往纽约，而机票价格会根 据出发日期与返程日期发生无法预测的变化。那么必须查看多少对出发 / 返程日期，才能找到今后 30 天内往返纽约的最便宜的机票？

只要返程日期与出发日期为同一天或晚于出发日期，那么从今天（第 1 天）到最后 一天（第 30 天）之间的任何出发 / 返程日期都是有效的。因此，第 1 天有 30 对有效的出发 / 返程日期，第 2 天有 29 对，第 3 天有 28 对，以此类推，第 30 天只有一对有效的出发 / 返程日期。换言之，总共需要考虑 30+29+…+2+1 对 出发 / 返程日期。我们可以将其写作 ?i ，并利用高斯发现的诀窍计算它的值。

也可以利用组合来解决这个问题。从 30 天中选择两天，顺序无关紧要：较早的一

天作为出发日期，较晚的一天作为返程日期，由此可得 。请注意，必须 将出发日期与返程日期为同一天的情况考虑在内。这样的组合共有 30 种，因此出

发 / 返程日期的总数为 对。

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1.4　概率

随机性原则有助于我们理解博彩、预报天气或设计低风险的备份系统。这些原则并 不复杂，却被大多数人所误解。

图 1-8　“随机数”（取自 http://xkcd.com）

我们首先利用计数来计算赔率，然后学习如何使用不同的事件类型来解决问题，最 后解释赌徒为何会输得精光。