第三章、 統御方程式及數值方法
3.3 邊界條件與初始條件
3.3.2 初始條件
為了模擬兩種具有不同速度或不同密度的流體所形成的剪切混合 層，在此定義:
速度比值
1 2
U U
u= λ 速度比值參數
u u
u λ
λ +
= −
Λ 1
1
密度比值
1
ρ2
λρ = ρ
初始流線速度分佈為一雙曲線正切流速度型態
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
+ −
=
2 0
1 tanh 1 1 )
( λ θ
λ y
U y u
u init u
上式中的θ0為初始動量厚度。
第四章 流體力學結果與討論
在本章節討論剪切混合層的流體力學性質之前，我們先來了解其一些 重要的物理現象。混合剪切流是由兩個速度不相同的氣體所組合，在分離 平 板 尾 端 離 開 板 面 ， 在 初 使 狀 況 下 基 本 上 為 藉 由 具 線 性 增 幅 的 Kelvin-Helmoltz 不穩定性機制產業生二度空間微小擾動量，使分離板尾 部下游的翼展渦漩捲起，這時主要是二度空間性質，三度空間不穩定特性 被壓制，這種主要受兩度空間性所控制的大漩渦能夠傳送流體的質量及動 量。
藉由瞬間之流場圖形，我們能夠初步了解到剪切混合層的發展情形，
由這些圖形觀察可得到一些特徵和現象; 從圖中清楚的顯現了當兩個相 鄰漩渦的中心所作的連線與水平面成135 度時，成對現象開始發生，而此 連線與水平面成45 度時，表示這兩個漩渦已經完成捲入(Catch Up)過程。
成對現象的發生，就是抑制混合剪切層往三度空間性發展的主要原因。在 經過兩個鄰近漩渦間相互併吞和混合的交互作用之後，產生一個新成形的 大漩渦，紊流流場中的大型漩渦主導了流場的物理性質〔30〕，這種漩渦 的融混合併過程，在一些研究中發現成對的漩渦核心會產生小尺寸的擾動
〔15〕。從二度空間的流場密度圖可了解，不論對時間或空間來說均為隨 機發生，且有不斷重覆的物理現象。這種漩渦的融入混合過程是剪切混合
層線性成長的原因〔31〕。在兩個相鄰漩渦之間的空間間隔、漩渦尺寸大 小及剪切混合層厚度隨著流線方向的增加而加大(圖 4-1)，這樣的結果與 實驗分析相當符合〔10,15〕。此外從這些圖也可發現，剪切混合層的中 心線，朝速度值較低之流體方向偏移，這證明了從速度值較高的流體進入 混合區域的流體粒子要比從速度值較低的流體進入混合區域的流體粒子 為多。通常來說，最大的漩渦無法進入混合層，因此取代它的是小型的漩 渦〔32〕，漩渦發生擾動而合併之後，流場的頻率會升高〔15〕，能量被 帶到低速流的區域中。
剪切混合層之流場在完全發展區域中具自我相似性〔33〕，在流場下 游處的自我相似比流場上游處好，這是因為在流場中央區域不穩定性較 強，亦即剪切混合層進入低速區域較多。在完全發展(Fully Developed)區 域中，對平均流線方向速度和均方根速度擾動等這些流體力學的變數來 說，利用統計方法分析的結果，也證明了剪切混合層的流動具自我相似 性。兩種流體的混合情況良好，尤其是在渦漩成對的情形下漩渦排成一列 往下游對流時，因為擾動的影響，使靜止的流體變得比較有活動力，使其 周圍流場之流線方向速度增加並且捲入漩渦之中，造成流線方向的擾動。
此外，混合層中，雷諾剪應力存在負值(圖 4-2)，當漩渦的成對作用受到 壓制時，負值的雷諾剪應力出現，此時代表動量傳輸是逆向梯度，能量將 由微小擾動區域進入平均主流場區域。反之，若是正的雷諾剪應力表示能
量由平均流場進入擾動區域〔34〕。在圖 4-3 中，若使用第一次調合頻率 之下，雷諾主剪應力也為負值，這與Samimy 及 Wygnanski 之研究有相同 情況〔37，33〕
由於混合層的大振幅運動，在混合層一邊的流體粒子以混合型式對流 到另外一邊，這種過程被視為利用速度的擾動而進行。在相當的壓力擾動 下，對介於兩種密度不同的交界面，其連續性的要求是密度較低區域內的 速度擾動大於密度較高區域內的速度擾動〔10〕。通常高密度區是介於兩 個漩渦間的帶狀區 此區域內全壓相同且壓力值較高因此密度較大;而漩 渦所在位置為低壓區及低密度區〔35〕，漩渦內之擾動量是接近於帶狀區 域之停滯點(Stagnation Point)。當討論剪切混合層其局部厚度的成長時，
我們了解低速度比的空間成長率比高速度比來得快，而混合層之成長率主 要是受漩渦的混合及自由流流體粒子其被捲入混合層的數量所控制。剪切 混合層的空間性成長問題也可由動量厚度θ 的成長來討論，即速度比值越 大或是速度參數比值越小，則剪切混合層動量厚度增長率越小(圖 4-4)，
其達到完全發展區域所需之距離也越長。剪切混合層的成長率，同時受到 速度比值及密度比值的影響。根據以上的論述，當構成混合流的兩種具有 相同動量時，其剪切層的成長率將最大，這是符合物理觀點的。
在剪切混合層中，使用不同的擾動頻率下，對其漩渦及密度的影響也 很大(圖 4-5，圖 4-6)。基本上當使用強制頻率的條件下，漩渦的外形並不
是像使用自然頻率下的情況，使用強制頻率下會產生一橫向相位移動
〔36〕。在基本頻率下，漩渦的數量較多，這些漩渦的行為是由基本頻率 所控制，而動量厚度成長很緩慢或接近為零。在接近入口處的動量厚度稍 微下降，靠近出口時則出現較快速的發展，這是因為與基本頻率在下游消 失有關。另外，在流場較下游的區域可發現漩渦之間彼此產生交互作用，
此種交互作用並非發生漩渦成對的情況，可能原因是當頻率較高時，大多 數的能量集中在這個非成長區域。在流場更下游的區域，能量轉移到低頻 率且低速度的地方〔15〕，在此低頻率的地方波動數較多，因此在接近出 口時，又再度會發展成漩渦。在更遠處的流場，成對過程也會發生。此外，
有關漩渦厚度與時間的關係，我們必須先了解對流馬赫數Mc。Mc的最早 定義來自Papamoschou〔18〕其超音速混合層研究，他發現可壓縮性在超 音速流場下的關係: 在超音速情況下對流馬赫數與漩渦厚度為反比關 係，Mc在紊流場中對其成長率及Mc的增減也與紊流強度有關。一般來 說，Mc增加則紊流強度下降〔18,37〕，所以基本上當Mc越高時，動量厚 度及漩渦厚度越低〔18〕。在超音速條件下，混合層漩渦的捲起及成對過 程都無法顯現，原因是在高速流場下，漩渦會往流線方向拉伸，較少流體 進入渦漩內，使漩渦成長率下降，若在高馬赫數下，混合層內部結構受到 拉伸(Dilatation)及壓力(Baroclinic)的情況下也會有無法發生漩渦捲起及成 對的現象〔18,35〕。超音速與次音速對於在紊流強度的影響也有不同，
相同的速度比與密度比值及相同的流線位置下，強度值大約下降 43%，
這是因為超音速流場條件下的可壓縮性(Compressibility)所造成的結果。
另外，從三度空間混合層之流線方向與跨流線方向速度擾動與相同速度比 及密度比條件下的二維流場相互比較，在三度空間中，由於能量會重新分 佈於每個分量上，因此紊流強度明顯下降，減少的能量則平均分配到翼展 方向的分量上。圖4-7 及圖 4-8 可讓我們觀察到三度空間中剪切混合層之 形狀有如波浪，方向是與翼展方向平行，漩渦結構存在於x-z 平面之上或 下，而速度隨著翼展方向做變化，圖4-9 是在三度空間中使用擾動模式下 的等密度圖，將此圖與前述兩張圖形來做比較，其更接近於真實性，且由 此圖可了解到流場密度在三維方向上一樣會受到速度的影響而產生 z 方 向上密度的外形變化，但是不會影響其密度值。
圖 4-10 為自然的剪切層其密度場的一連續的瞬時的流動示意 圖。時間間隔，△t，在這些連續圖片之間是 0.168 msec，且流動元素通 過計算領域的平均時間間隔是3.03 msec。這些圖形很清楚顯示在兩個漩 渦之間的組合現象。組合過程的實驗證據在很多研究及資料裡都有觀察及 敘述〔10,15〕，在相鄰的漩渦之間的相互作用及合併之後，新形成大型 的漩渦隨著流體方向以接近穩定的速度作傳輸，這是差不多趨近於兩自由 流動的平均速度。這是經過測量而證實在時間間隔△t=0.168 msec 大型漩 渦的中心流動距離，如圖4-10。物理解釋是藉由 Kelvin-Helmholtz 不穩定
理論:漩渦薄片順著流體運動經過分離板尾部拖曳而捲起形成漩渦，但 是，這些翼展方向的漩渦核心對次調合(subharmonic)的擾動是不穩定的，
然後彼此合併形成一種大型架構。這些漩渦合併過程隨機發生在空間和時 間之中，並且負責混合層的線性成長。計算自然的剪切層成長率是0.120，
而速度比率為 0.5 和密度比率為 1.1，在此可以使用 Papamoschou 和 Roshko 的不可壓縮的公式而得到數據是 0.114〔38〕。
在平面上的自由剪切層，巨大架構的尺寸可與混合層的橫向長度 規模相比較。漩渦組合的時間尺度對於重要的黏性效應來說是很短的。因 此黏性的效應是可以忽視的，互相密合的結構在力學性質上自然是無黏滯 性的。連結臨近的架構是靠帶狀區域中的低速度和高應變。仔細檢視這些 圖形，發現剪切層的中心向低速的一側移動。在混合區域中與來自低速度 的一側來相互比較，有更多無旋轉且容易流動的粒子從高速的一側產生。
捲入效應不對稱是一項空間剪切層的重要的特徵，這個結果與實驗證據
〔39〕和其它數值模擬一致〔40〕。
在完全發展區域中(x>8 厘米)，統計流體的動態變量諸如流線方向 速度，rms u-波動和 rms v-波動顯示流動具有自我相似性。而且這些擾動 的大小和平均雷諾剪應力是全部擁有正確的大小和分佈〔33〕，一個平均 雷諾剪力分佈的例子如圖 4-11(圖 4-10 的案例)。另一例為能量頻譜的分 佈如圖 4-13 所示〔41〕，注意到這些分佈相當具有連續性。隨後計算顯
示頻譜隨著流體方向往低頻率移動一段距離以及有新頻率連續產生，完全 表示適合於混合層。平均而言，架構的大小代表由於混合的初始點的順流 距離空間增加，這是需要有相似特性的平均流動。在大型的漩渦之空間間 隔的平均值大約等于0.3x，與 Brown & Roshko 的實驗分析一致〔10〕。
相似的特性是完全發展的自由剪切層的另一個重要特徵，並且在很多實驗 過程中觀察到〔10,33〕。
對強制情況來說，圖4-14 表示在基本的頻率下的一個密度場圖形 表示 。圖 4-15 也是瞬時的等密度線的描述，但是強制的頻率是在次調合 (subharmonic) 頻率。了解這些在強制的情況，在順著流動的一片分離平 板有一個區域其剪切層停止增長。漩渦組合在這無成長(non growing)區域 被壓制，經由計算可了解其時間成長率及平均動量厚度在此區域內是零。
對於基本的強制頻率的情況來說，這種過程在空間內發生較早，在這期間 次調合(subharmonic)急劇上升，由於混合層發展迅速致使二個旋渦合併然 後停止發展。在零成長率的這個區域，藉由數值計算而得到在整個層面的 雷諾剪應力的橫向分佈是呈現負值，如圖 4-12。這個現象在 Oster &
Wygnanski 實驗上也觀察到〔33〕，以及在 Riley & Metcalfe 數值模擬過 程中計算而得到〔42〕。從計算結果來看，許多的實驗數據和數值模擬結 果已經相當地接近。因為密度場與折射率分佈相關，剪切層的光學性的計 算可以使用密度場的資料。