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節 利用平方差公式做因式分解

在文檔中 代數第六章 目錄 (頁 36-66)

第六章 因式分解

6.3 節 利用乘法公式做因式分解

6.3.1 節 利用平方差公式做因式分解

平方差公式：a2 b2 (ab)(ab)

例題 6.3.1-1

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) x2 4 (2) x2 49 (3) x2 100 (4) x2 225

詳解：

(1) x2 4

＝ x2 22

＝ (x2)(x2) (利用平方差公式)

(2) x2 49

＝ x2 72

＝ (x7)(x7) (利用平方差公式)

(3) x2 100

＝ x2 102

＝ (x100)(x100) (利用平方差公式)

(4) x2 225

＝ x2 152

＝ (x15)(x15) (利用平方差公式)

【練習】6.3.1-1

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) x29 (2) x2 121

例題 6.3.1-2

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) 4x2 4 (2) 9x2 25 (3) 49x2 100 (4) 25x2 16

詳解：

(1) 4x2 4

＝ (2x)2 22

＝ (2x2)(2x2) (利用平方差公式)

(2) 9x2 25

＝ (3x)2 52

＝ (3x5)(3x5) (利用平方差公式)

(3) 49x2 100

＝ (7x)2 102

＝ (7x10)(7x10) (利用平方差公式)

(4) 25x2 16

【練習】6.3.1-2

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) 4x2 81 (2) 9x2 64

例題 6.3.1-3

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) x2 a2 (2) x2 4a2 (3) 4x2 9b2 (4) 16x2 49b2

詳解：

(1) x2a2

＝ (xa)(xa) (利用平方差公式)

(2) x2 4a2

＝ x2 ( a2 )2

＝ (x2a)(x2a) (利用平方差公式)

(3) 4x2 9b2

＝ (2x)2 (3b)2

＝ (2x3b)(2x3b) (利用平方差公式)

(4) 16x2 49b2

＝ (4x)2 (7b)2

＝ (4x7b)(4x7b) (利用平方差公式)

【練習】6.3.1-3

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) x2 4c2 (2) a2x2 1

例題 6.3.1-4

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) (x1)2 4 (2) (x1)2 (x1)2 (3) (xa)2 (a2)2 (4) x2  x4( 1)2

詳解：

(1) (x1)2 4

＝ (x1)2 22

＝ [(x1)2][(x1)2] (利用平方差公式)

＝ (x3)(x1)

(2) (x1)2 (x1)2

＝ [(x1)(x1)][(x1)(x1)] (利用平方差公式)

＝ ( x2 )(2)

＝ x4

(3) (xa)2 (a2)2

(4) x2  x4( 1)2

＝ x2 [2(x1)]2

＝ [x2(x1)][x2(x1)] (利用平方差公式)

＝ (3x2)(x2)

＝ (3x2)(x2)

【練習】6.3.1-4

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) (x1)2 (x2)2 (2) x2  x9( 3)2

例題 6.3.1-5

因式分解下列各式：

(1) x4 81 (2) (x2 1)2 4

(3) 9xy2 4x3 (4) 4x2(y1)9(y1) 詳解：

(1) x4 81

＝ (x2)292

＝ (x2 9)(x2 9) (利用平方差公式)

＝ (x29)(x232)

＝ (x29)(x3)(x3) (利用平方差公式)

(2) (x2 1)2 4

＝ (x21)2 22

＝ [(x2 1)2][(x2 1)2] (利用平方差公式)

＝ [x2 3][x2 1]

(3) 9xy2 4x3

＝ x(9y2 4x2) (提出x)

＝ x[(3y)2(2x)2]

＝ x(3y2x)(3y2x) (利用平方差公式)

(4) 4x2(y1)9(y1)

＝ (y1)(4x2 9) (提出y1)

＝ (y1)[(2x)2 32]

＝ (y1)(2x3)(2x3) (利用平方差公式)

【練習】6.3.1-5

因式分解下列各式：

(1) x6 64 (1) 9x2(y2)4(y2)

6.3.2 節 利用和的平方公式做因式分解

和的平方公式：a2 2abb2 (ab)2

例題 6.3.2-1

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2 x2 1 (2) x2  x4 4 (3) x2  x10 25 (4) x2 x16 64

詳解：

(1) x2 x2 1

＝ x2 21x12

＝ (x1)2 (利用和的平方公式)

(2) x2  x4 4

＝ x2 22x22

＝ (x2)2 (利用和的平方公式)

(3) x2  x10 25

＝ x2 25x52

＝ (x5)2 (利用和的平方公式)

(4) x2 x16 64

＝ x2 28x82

＝ (x8)2 (利用和的平方公式)

【練習】6.3.2-1

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2  x6 9 (2) x2 x14 49

例題 6.3.2-2

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) 4x2  x4 1 (2) 9x2 x12 4 (3) 25x2  x40 16 (4) 16x2  x56 49

詳解：

(1) 4x2  x4 1

＝ (2x)2 212x12

＝ (2x1)2 (利用和的平方公式)

(2) 9x2 x12 4

＝ (3x)2 233x22

＝ (3x2)2 (利用和的平方公式)

(3) 25x2  x40 16

＝ (5x)2 245x42

＝ (5x4)2 (利用和的平方公式)

2  x

【練習】6.3.2-2

(4) 0.25x2 0.9x0.81

＝ (0.5x)2 20.90.5x(0.9)2

＝ (0.5x0.9)2 (利用和的平方公式)

【練習】6.3.2-3

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) 25

1 5

2  x2 

x (2) x2 0.8x0.16

例題 6.3.2-4

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2 2xyy2 (2) 4x2 12xy9y2 詳解：

(1) x2 2xy y2

＝ x2 2xyy2

＝ (xy)2 (利用和的平方公式)

(2) 4x2 12xy9y2

＝ (2x)2 22x3y(3y)2

＝ (2x3y)2 (利用和的平方公式)

【練習】6.3.2-4

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) x24xy4y2 (2) 16x2 40xy25y2

例題 6.3.2-5

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) (x1)2 2(x1)1 (2) (x2)2 6(x2)9 (3) x24x(y1)4(y1)2 (4) (ab)2 2(ab)1

(5) (x1)2 2(x1)(2x1)(2x1)2 (6) (2x1)2 8(2x1)(x1)16(x1)2 (7) x2 2x13x3 (8) x2 4x4y2

詳解：

(1) (x1)2 2(x1)1

＝ (x1)2 2(x1)112

＝ [(x1)1]2 (利用和的平方公式)

＝ (x2)2

(2) (x2)2 6(x2)9

＝ (x2)2 2(x2)332

＝ [(x2)3]2 (利用和的平方公式)

＝ (x5)2

(3) x24x(y1)4(y1)2

＝ x22x2(y1)[2(y1)]2

＝ [x y2( 1)]2 (利用和的平方公式)

＝ (x y2 2)2

(4) (ab)2 2(ab)1

＝ (ab)2 2(ab)112

＝ [(a b)1]2 (利用和的平方公式)

＝ (a b1)2

(5) (x1)2 2(x1)(2x1)(2x1)2

＝ (x1)2 2(x1)(2x1)(2x1)2

＝ [(x1)(2x1)]2 (利用和的平方公式)

＝ ( x3 )2

(6) (2x1)2 8(2x1)(x1)16(x1)2

＝ (2x1)2 2(2x1)4(x1)2 [4(x1)]2

＝ [(2x1)4(x1)]2 (利用和的平方公式)

＝ [2x14x4]2

＝ (6x3)2

(7) x2 2x13x3

＝ (x2 2x1)(3x3) (分組)

＝ (x1)2 (3x3) (第一組利用和的平方公式)

＝ (x1)23(x1) (第二組提出 3)

＝ (x1)[(x1)3] (提出x1)

＝ (x x1)( 4)

(8) x2 4x4y2

＝ (x2 4x4)y2 (分組)

＝ (x2)2 y2 (利用和的平方公式)

【練習】6.3.2-5

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) (x2)2 2(x2)1 (2) (x1)2 6(x1)(x1)9(x1)2

6.3.3 節 利用差的平方公式做因式分解

差的平方公式：a2 2abb2 (ab)2

例題 6.3.3-1

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2  x2 1 (2) x2 x6 9 (3) x2 x8 16 (4) x2 x18 81

詳解：

(1) x2  x2 1

＝ x2 21x12

＝ (x1)2 (利用差的平方公式)

(2) x2 x6 9

＝ x2 23x32

＝ (x3)2 (利用差的平方公式)

(3) x2 x8 16

＝ x224x42

＝ (x4)2 (利用差的平方公式)

(4) x2 x18 81

＝ x2 29x92

＝ (x9)2 (利用差的平方公式)

【練習】6.3.3-1

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2  x10 25 (2) x2  x14 49

例題 6.3.3-2

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) 4x2  x4 1 (2) 16x2  x24 9 (3) 9x2 x12 4 (4) 25x2  x40 16

詳解：

(1) 4x2  x4 1

＝ (2x)2 212x12

＝ (2x1)2 (利用差的平方公式)

(2) 16x2  x24 9

＝ (4x)2 234x32

＝ (4x3)2 (利用差的平方公式)

(3) 9x2 x12 4

＝ (3x)2 223x22

＝ (3x2)2 (利用差的平方公式)

(4) 25x2  x40 16

【練習】6.3.3-2

【練習】6.3.3-3

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) 25

1 5

2 x2 

x (2) x2 0.8x0.16

例題 6.3.3-4

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x22xyy2 (2) 9x230xy25y2 詳解：

(1) x22xyy2

＝ x22xyy2

＝ (xy)2 (利用差的平方公式)

(2) 9x230xy25y2

＝ (3x)2 23x5y(5y)2

＝ (3x5y)2 (利用差的平方公式)

【練習】6.3.3-4

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2 6xy9y2 (2) 9x2 12xy4y2

例題 6.3.3-5

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) (x1)2 2(x1)1 (2) (x1)2 4(x1)4 (3) x26x(y2)9(y2)2 (4) (ab)2 10(ab)25

(5) (2x1)2 2(2x1)(x3)(x3)2 (6) (x1)2 8(x1)(x2)16(x2)2 (7) x2 2x17xy7y (8) x2 6x94y2

詳解：

(1) (x1)2 2(x1)1

＝ (x1)2 2(x1)112

＝ [(x1)1]2 (利用差的平方公式)

＝ x2

(2) (x1)2 4(x1)4

＝ (x1)2 2(x1)222

＝ [(x1)2]2 (利用差的平方公式)

＝ (x3)2

(3) x26x(y2)9(y2)2

＝ x2 2x3(y2)[3(y2)]2

＝ [x y3( 2)]2 (利用差的平方公式)

＝ (x y3 6)2

(4) (ab)2 10(ab)25

＝ (ab)2 2(ab)552

＝ [(a b)5]2 (利用差的平方公式)

＝ (a b5)2

(5) (2x1)2 2(2x1)(x3)(x3)2

＝ (2x1)2 2(2x1)(x3)(x3)2

＝ [(2x1)(x3)]2 (利用差的平方公式)

＝ [2x1x3]2

＝ (x4)2

(6) (x1)2 8(x1)(x2)16(x2)2

＝ (x1)2 2(x1)4(x2)2 [4(x2)]2

＝ [(x1)4(x2)]2 (利用差的平方公式)

＝ [x14x8]2

＝ ( x3 9)2

(7) x2 2x17xy7y

＝ (x22x1)(7xy7y) (分組)

＝ (x1)2 (7xy7y) (第一組利用差的平方公式)

＝ (x1)2 7y(x1) (第二組提出 y7 )

＝ (x1)[(x1)7y] (提出x1)

＝ (x1)(x7y1)

(8) x26x94y2

＝ (x26x9)(2y)2 (分組)

＝ (x3)2 (2y)2 (利用差的平方公式)

＝ [(x3)2y][(x3)2y] (利用平方差公式)

＝ (x2y3)(x2y3)

【練習】6.3.3-5

利用差的平方公式因式分解下列各式：

6.3.4 節 利用乘法立方公式做因式分解

本節使用的乘法公式如下：

立方和：a3b3 (ab)(a2 abb2) 立方差：a3b3 (ab)(a2 abb2)

例題 6.3.4-1

利用立方和公式因式分解下列各式：

(1) x3 8 (2) x364 (3) 8x31 (4) 27x3 1 詳解：

(1) x3 8

＝ x3 (2)3

＝ (x2)(x2 x222) (利用立方和公式)

＝ (x2)(x2 2x4)

(2) x364

＝ x3 (4)3

＝ (x4)(x2 x442) (利用立方和公式)

＝ (x4)(x2 4x16)

(3) 8x31

＝ (2x)3 13

＝ (2x1)((2x)2 2x11) (利用立方和公式)

＝ (2x1)(4x2 2x1)

【練習】6.3.4-1

【練習】6.3.4-2

利用立方和公式因式分解下列各式：

(1) 27x38 (2) 125x364

例題 6.3.4-3

利用立方差公式因式分解下列各式：

(1) x3 8 (2) x3 64 (3) 8x31 (4) 27x31 詳解：

(1) x3 8

＝ x3 (2)3

＝ (x2)(x2x222) (利用立方差公式)

＝ (x2)(x2 2x4)

(2) x3 64

＝ x3 (4)3

＝ (x4)(x2 x442) (利用立方差公式)

＝ (x4)(x24x16)

(3) 8x31

＝ (2x)3 13

＝ (2x1)((2x)22x11) (利用立方差公式)

＝ (2x1)(4x2 2x1)

【練習】6.3.4-3

【練習】6.3.4-4

利用立方和公式因式分解下列各式：

(1) 27x38 (2) 125x364

6.3 節 習題

習題 6.3-1

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) x2 25 (2) x216 (3) x2 36 (4) x2144

習題 6.3-2

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) 36x2 9 (2) 4x2 16 (3) 25x2 49 (4) 9x2 4

習題 6.3-3

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) 9x2 4y2 (2) 25a2 4x2 (3) 36x2 4y2 (4) 49a2 25b2

習題 6.3-4

利用平方差公式因式分解下列各式：

(1) (x3)2 4 (2) (x2)2 (x2)2 (3) (2xa)2 (xa)2 (4) x2 x9( 2)2

習題 6.3-5

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2  x8 16 (2) x2 x12 36 (3) x2 x18 81 (4) x2 x20 100

習題 6.3-6

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) 9x2  x6 1 (2) 25x2  x20 4 (3) 9x2 x42 49 (4) 4x2  x20 25

習題 6.3-7

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) 9

1 3

2  x2 

x (2)

9 1 6 1 16

1 x2  x

(3) x2  x0.25 (4) 0.09x2 0.06x0.01

習題 6.3-8

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) 4x2 4xyy2 (2) 25x2 20xy4y2

習題 6.3-9

利用和的平方公式因式分解下列各式：

(1) (x3)2 2(x3)1 (2) (x5)28(x5)16 (3) x2 6x(y1)9(y1)2 (4) (xy)2 4(xy)4

(5) (3x2)22(3x2)(x1)(x1)2 (6) (5x2)2 6(5x2)(2x1)9(2x1)2

習題 6.3-10

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x2 x4 4 (2) x2  x12 36 (3) x2 x16 64 (4) x2  x20 100

習題 6.3-11

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) 9x2  x30 25 (2) 36x2  x24 4 (3) 25x2  x20 4 (4) 49x2  x28 4

習題 6.3-12

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) 9

1 3

2  x2 

x (2)

9 1 6 1 16

1 x2  x

(3) x2 0.6x0.09 (4) 0.25x2 0.9x0.81

習題 6.3-13

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) x24xy4y2 (2) 16x2 8xyy2

習題 6.3-14

利用差的平方公式因式分解下列各式：

(1) (x2)2 4(x2)4 (2) (x3)26(x3)9 (3) x24x(y3)4(y3)2 (4) (x2y)2 8(x2y)16

(5) (3x1)2 2(3x1)(x4)(x4)2 (6) (x1)26(x1)(y1)9(y1)2

習題 6.3-15

因式分解下列各式：

(1) x4 16 (2) (x23)29

(3) x4 x2y2 (4) x2(2y1)4(2y1)

習題 6.3-16

因式分解下列各式：

(1) x26x92x6 (2) x2 4x4xy2y

習題 6.3-17

因式分解下列各式：

(1) x38 (2) 64x3 8

(3) (x2)3 y3 (4) (x2)3 (y2)3

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