前言》

國中時期我們對於整係數的二次多項式學過了十字交乘法，譬如對於

( ) 3 2 19 6 f x  x  x

(3x 1)(x 6)

  

對於二次多項式 f x 使用十字交乘法就可以找到 ( )( ) f x 的一次因式。如果多項 式的次數變多呢？會不會也有什麼方法可以找到一次因式呢？

下面提供一些三次多項式分解因式的例子，但是其中有些因式的部分係數有缺。請先把○填入 適合的數，接著試試看能不能發現這些因式有什麼規律。您又是如何找到○內的數字？

(1) f x( )x³7x 6 (x² 3x2)(○x○)

(2) f x( )  x³ 3x² x 12 ( x² x ○ ○)( x○)

(3) f x( ) 3 x³4x² 16x 5 (x² x ○ ○)( x○)

(4) f x( ) 2 x⁴ x³9x² 5x 6 (x² x ○ ○)( x○ ○)( x○)

對於如何分解 f x 的一次因式，你有什麼發現？請將你的發現，用文字寫下來。 ( )

本頁學習單的目的：複習或確認學生對因式分解有沒有一定的了解。建議教師可將本頁發給學 生和要求學生閱讀課本當預習的作業或是上課使用。教師最後可以要求一位學生將自己的發現 寫在黑板上，提問其他學生這樣的發現是否是對的，還有沒有其他發現。

  數亦優 27 牛頓定理（或稱整係數一次因式檢查法）：

設

 

n n

f x a x a x_ ^   a x a 是一個整係數n 次多項式。若一次式 ax b 是^{f x 的}

 

因式（其中a 是正整數， b 是整數且 a ﹐ b 互質），則 (1)a 是 f x 的最高次項係數

 

(2)b 是^{f x 的常數項}

 

(1) 上述的說明在閱讀上，有哪些地方看不明白的？可以把不懂圈起來。

(2) 哪些文字或符號是你認為重要，請寫下來。

(3) 哪些文字或符號是你認為可以省略，請寫下來。

假如有興趣也有時間，同學可以上網查查有關一次因式檢驗法的數學證明喔！

本頁學習單的目的：希望學生可以自行閱讀定理，並可以討論和說明定理內文字和符號的意 義。建議教師可以先解決學生看不懂的地方，也可將學生看不懂的地方去反問其他學生。接著 票選前三名最重要和最不重要的文字或符號，在票選前可以讓學生提供文字或符號，和向全班 解釋重要或不重要的原因。投完票後，教師先不要給任何意見。

下面是需要各位同學討論回答的問題 (1) 定理中為什麼需要整係數的多項式？

(2) 定理中為什麼需要a 與 b 互質？如果不互質，定理會錯嗎？

(3) 請問定理中「a 是正整數， b 是整數」，可不可以改成 a ， b 都是正整數？

(4) 請問定理中「(1) a 是 f x 的最高次項係數

 

 

數」，(1) (2)中間要填入「且」還是「或」？為什麼？

(5) 請問將上述定理改寫成「整係數 n 次多項式 ^{f x}

 

高次項係數a 的正因數， b 是常數項_n a 的因數，則 ax b₀  是f x 的一次因式」。改寫後的

 

定理會成立嗎？

(6) 請找出 ^{f x}

 

本頁學習單的目的：讓學生可以討論且思辨定理的內容，達到更高層次的學習。建議教師採異 質性分組，分六組討論。討論完由教師隨機指定各組一人上臺報告一題，報告完由老師引導出 正確答案，再回到前面投票的結果讓學生思考數學語句的精煉和內涵。

  數亦優 29