區間型卡爾曼濾波器

區間型卡曼濾波器為傳統卡爾曼濾波器演算法衍生而來^, 並無加入或修改其傳統卡 爾曼濾波器計算架構模式 ^,而是保留傳統卡爾曼濾波器之預測及修正方程式遞歸求解優 點^,加入區間概念 ^,藉由區間計算的方式 ^,以獲得具有上下界之預估區間值 。 以下先簡 單介紹區間計算之方式 。

首先區間型卡爾濾波器中會應用區間值運算 ^,為此先簡述基本區間四則運算之規則 。 假設 [x, x] 、_[x

1, x1] 、_[x

2, x2] 為區間值, x 、 _x

1 、 _x

2 為下界, x 、_x

1 、_x

2 為上界^, 且皆為實數 。

(1) 加法:將兩區間下界值相加、 上界值相加 ^,得出新區間值的下上界值 。

[x1, x1] + [x2, x2] = [x1+ x2, x1+ x2]. (2.30)

(2) 減法_: 將前項下界值減後項上界值^,得出新區間下界值 ;將前項上界值減後項下界 值^,得出新區間上界值 。

[x1, x1] − [x2, x2] = [x1− x2, x1− x2]. (2.31)

(3) 乘法_: 將前後兩區間上下界做四種相乘組合 ^,取最小值為新區間下界值^, 最大值為新 區間上界值 。

[x1, x1] · [x2, x2] = [x, x] (2.32)

x = min{x1x2, x1x2, x1x2, x1x2}, (2.33) x = max{x1x2, x1x2, x1x2, x1x2}. (2.34)

(4) 除法_: 將前後兩區間上下界做相除組合 ^,取最小值為新區間下界值^,最大值為新區間 上界值 。

[x1, x1]/[x2, x2] = [x1, x1] · [x2, x2]⁻¹ (2.35)

假設離散區間系統之區間狀態模型及區間量測狀態模型分別如下:

• X_k^I :為系統在時刻 k 之區間狀態矩陣且為 N × 1之矩陣, N 為欲預測之個數 。

• Z_k^I :為系統在時刻_k 之量測區間且為 _{N × 1}之矩陣 。

• W_k^I :為系統在時刻k 之區間狀態雜訊且為 N × 1之矩陣 。

• V_k^I :為系統在時刻_k 之量測區間雜訊且為 _{N × 1}之矩陣 。

• A^I_k :為系統在時刻 k 至 k + 1 之區間狀態轉移矩陣且為 N × N 之矩陣 。

• B_k^I :為系統在區間狀態轉移矩陣且為 _{N × N} 之矩陣 。

• H_k^I :為系統在時刻 _k 之轉換區間矩陣且為 _{N × N} 之矩陣 。

• B_k^I :為系統在時刻_k 之轉換區間矩陣且為 _{N × N} 之矩陣 。

• ( ˆX_k⁻)^I :為系統在時刻_k 未更新之預估區間矩陣且為 _{N × 1}矩陣^,

• ( ˆXk)^I :為系統在時刻_k 更新之預估區間矩陣且為 _{N × 1} 矩陣_{, N} 為欲預測之個 數 。

• Qk :為系統在時刻_k 之系統誤差之變異數矩陣為 _{N × N} 矩陣 。

• Rk :為系統在時刻_k 之量測誤差之變異數矩陣且為 _{N × N} 矩陣 。

• ( ˆP_k⁻)^I :為系統在時刻 _k 之未更新預測誤差共變異數區間矩陣且為_{N × N} 矩陣 。

• ( ˆPk)^I : 為系統在時刻 _k 之更新預測誤差共變異數區間矩陣且為 _{N × N} 矩陣 。

• K_k^I :為區間型卡爾曼濾波增益區間矩陣且為 _{N × N} 矩陣 。

X_k^I = A^I_kX_k−1^I + B_k^IW_k^I (2.36) Z_k^I = H_k^IX_k^I + V_k^I (2.37)

區間型卡爾曼濾波器矩陣中每個元素皆為一區間值 ^,以下為區間型卡爾曼濾波器之 五大部分 :如公式_(2.38)-公式 _(2.42)、 重複之步驟作遞迴運算 ^,則為區間型卡爾曼濾波 器之運作方式^,其流程如圖 _2.2 。

• 預測部分:

( ˆX_k⁻)^I = A^IXˆ_k−1^I (2.38) ( ˆP_k⁻)^I = A^I_kPˆ_k−1^I (A^I_k)^T + B_k^IQk(B_k^I)^T (2.39)

• 修正部分:

K_k^I = ( ˆP_k⁻)^I(H_k^I)^T[H_k^I( ˆP_k⁻)^I(H_k^I)^T + Rk]⁻¹ (2.40) Xˆ_k^I = ( ˆX_k⁻)^I + K_k^I(Z_k^I − H_k^I( ˆX_k⁻)^I) (2.41) Pˆ_k^I = (I − K_k^IH_k^I)( ˆP_k⁻)^I (2.42)

Prediction:

模糊理論是由美國加州柏克萊大學自動控制學家札德教授(Lotfali Askar Zadeh) 於 1965 年在資訊與控制學術期刊上提出的模糊集合 (fuzzy sets) 理論 _[18] 延伸而來之概 念^,用來表現某些無法明確定義的問題^,尤其是在表達人類語言特有的模糊性方面頗有