2-1 光子晶體的概念
在二十世紀初就已經知道，由於晶體(如半導體)中晶格的週期性位能
(Periodic potential)排列，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(Energy gap)，使得 電子的色散關係(Dispersion relation)呈帶狀分佈，此即眾所周知的電子能帶結構 (Electronic band structure)。
E. Yablonovitch [1] 和 S. John[2]在1987 年首先提出，如果在電磁波的波長尺 度下製作週期性排列的介質，使介電常數呈周期性或某些規則排列，則電磁波在 介質的行為將有如電子在晶體中般，亦會形成光能帶結構，這樣一來，無需改變 物質的內在化學性質，就可以得到我們想要的光特性，例如可以製造出光子的能 隙(Photonic bandgap)，使某些波長的光子無法在此介質中傳播，形成一種光子的 絕緣體。這種新的人工晶體被叫做光子晶體(Photonic crystal)。
Yablonovitch及Gmitter曾經利用三氧化二鋁(Al2O3)塊材，按照面心立方 (Face-centered cubic, fcc) 的排列方式鑽了將近八千個球狀空洞，製作出周期性的 介電質排列，形成一個人造的巨觀晶體。 三氧化二鋁和空氣的介電常數分別為 12.5 和 1.0，面心立方體的晶格常數是 1.27 公分。根據實驗量得的透射頻譜，求 得其絕對能隙位於15GHz的微波範圍，頻寬約有 1GHz，其對應的三維能帶結構 如圖2-1所示，其中左斜與右斜線分別代表兩種不同的偏極化模。
但理論學家稍後指出，上述系統因對稱性之故，在W和U兩個方向上仍有相 對少數的能態存在，並非真正沒有能態，因此只具有虛能隙。Yablonovitch等人 隨後調整製作方式[3]，在塊材上沿三個夾120 度角的軸鑽洞，如此得到的fcc晶格
含有非球形的“原子”如圖2-2所示，終於打破了對稱的束縛，在微波波段獲得真 正的絕對能隙，證實該系統為一個光子絕緣體(Photonic insulator)。
光子晶體可分為一維．二維．三維的光子晶體，乃依其介電質(或折射率)的 自由空間之介電係數(Permittivity)與導磁係數(Permeability)，ε(rr)為相對介電常 數(Relative dielectric constant )，則是空間的函數，由光子晶體的介電質周期性排 列所決定。
以上的四條方程式並非互相獨立的，兩個旋量方程式分別隱含了兩個散度方 程式。因此通常只要求解兩個旋度方程式，而兩個散度方程式就會自動滿足。其 次，我們可以選擇磁場或電場作為獨立變數，消去另一個變數，得到二階的單一 向量方程式，求解出此獨立變數後，再反帶回求解另一變數，避免同時處理磁場
跟電場。基於數學運算上的考量，在研究光波在光子晶體的傳遞現象時，我們通
則2-1 變為下式︰
是self-adjoint 運算子，因此特徴值必為實數。所有非零特徵向量所對應特徵值之 集合即構成能階或能帶，或是稱為色散關係式。
目前計算光子能帶結構的數值方法有三種：平面波展開法(Plane-wave expansion method)、傳遞矩陣法(Transfer-matrix method )、時域有限差分法 (Finite-difference time-doamin method 簡稱 FTDT 法)，在此不加以討論。
2-3 二維光子晶體
和背景材料在空間的體積比例，對於hexagonal 晶格結構而言，填滿因子可以表示成： 2
即入射光波的磁場方向平行於欲入射的光子晶體平面，如圖2-7所示。
首先考慮完美的二維光子晶體[4]，意即結構在Z軸方向無限延伸的光子晶 體。圖 2-8 為在空氣中做square週期性排列的無限長桿子之光子晶體能帶圖，縱 軸為正規頻率c/a，橫軸為不同方向之波向量。桿子的介電常數ε=12，r/a=0.5。
由圖淺灰色地帶可以發現，在這樣的結構之下存在一個TM波的光子能隙，意即 在此能隙範圍內，任何方向的TM波都無法穿過此光子晶體，反之在淺灰色地帶 外的區域即是可以存在於光子晶體的模態。
圖2-9為在介電常數ε=12 的材料中，挖出 hexagonal 排列的無線深空氣孔洞 之光子晶體能帶圖，此結構的r/a=0.45。由圖淺灰色地帶可以發現，在這樣的結 構之下存在一個TE 波的光子能隙，意即在此能隙範圍內，任何方向的 TE 波都 無法穿過此光子晶體，反之在淺灰色地帶外的區域即是可以存在於光子晶體的模 態。
一般而言柱狀排列的結構較易形成TM 波的光子能隙，而空氣孔洞則較易形 成TE 波的光子能隙。接下來我們考慮非完美的二維光子晶體，意即在 Z 軸方向 非無限延伸的結構，此即上文所提到的光子晶體平板。圖2-10與圖2-11與圖2-8、
圖 2-9 之差異僅在於 Z 軸方向一個為無限一個為有限，但能帶圖卻有很大的不 同。在光子晶體平板的結構之下，因為結構對稱性的關係，沒有完美的 TM 或 TE 光子能隙，只能說是類似 TE 或 TM。因此我們將原本的 TM 能隙稱之為 odd 能隙，TE 能隙稱之為 even 能隙。另外值得注意的是光子晶體平板能帶圖有一區 域稱之為light cone，這是之前所沒有的，在 light cone 裡面的模態是連續的而且 是向四面八方輻射出去的，因此在 light cone 內的模態我們稱之為 radiation mode；反之在 light cone 外的模態是不連續的，這些模態可以被侷限在光子晶體 內部，我們稱之為guided mode。由於本實驗是整合雷射和光子晶體，然而雷射 一般為 TE 波，故我們選用的是 hexagonal 排列的二維光子晶體平板，希望能利 其TE 波的能隙來達成一良好鏡面的效果。
2-4 二維光子晶體之相關應用
2-D photonic band-gap defect mode laser
[5] , [6]：，
將上述二維光晶體的特性應用在半導體雷射上，如圖2-12與圖2-13所示我 們在量子井雷射磊晶片上製作二維光子晶體，並在中心故意留一個不挖洞的缺陷 且在元件下方製作一個空氣腔，這樣一來從主動層被激發出來的光在垂直方向是 被上下空氣所形成的全反射給限制住，在平面方向則是被光子晶體給限制住，光 子將被侷限在缺陷中，形成一高能量密度的共振場。
Photonic crystal waveguide
[7]：
除了製造一點缺陷外，也可以製造線缺陷，使光波僅能在此線缺陷上傳播，
達到光學導波的效果，這可能是光子晶體目前最重要應用了。因為在光電子元件 中，我們大都需要藉光學波導將光束縛在一狹小區域，使之不散開以便進行調 變，但一般傳統的光學波導是製造一具較高折射率的區域，利用其與較低折射率 介質間形成的全反射，而將光侷限在高折射率介質中，因此光的能量傳遞、色散 效應、可彎曲程度等皆受到限制。
相對於此全反射式波導，若在光子晶體中製造一通道，則光波將被強迫在此 通道中前進(如圖2-14所示)。有別於傳統之光學波導需受限於在高折射率的介質 中傳播，這種波導可以讓光波在折射率低如空氣的環境下傳播，也可以讓光波做 大角度轉彎而僅有非常少的能量損失。此種新的導波行為有很多很重要的應用，
尤其在以光子晶體取代光纖作為光通訊通路上與積體光學器件上，更是具有非常 大的商業價值。
Photonic crystal fiber
[8]：
Dr. R. F. Cregan 等在 Science 上提出一種以光子晶體光纖取代傳統光纖的方 法，他們所提出的作法為將一堆外徑為1mm 的玻璃柱綁在一起，在中間留下一 些空白作為空氣通道，將此捆玻璃柱放入一光纖拉引機中加熱拉長，而形成玻璃 -空氣週期性結構的光子晶體結構與中間的空氣通道（如圖2-15所示）。
傳統的光纖如圖2-16(a)所示是由高折射率(Core)、低折射率(Cladding)介質 間的全反射來導波，在這樣的波導中，光的傳遞功率與資訊數量受到介質對能量 的忍受力與色散效應所限制。而在光子晶體光纖中，具有二維週期性排列的介質 結構會形成光子能隙，在此能隙的光波波長無法在其中進行傳播，如在此材料中 有一空氣通道，雖然空氣具有最低的折射率，但光在此空氣通道中傳播遇到光子 能隙時無法穿越而被反射回來，其原理如同電子之於原子晶格的布拉格反射
（Bragg reflection)（圖2-16(b)），因此光子的傳播被受限於此空氣通道中，因為 是以空氣為傳播介質，其光的傳遞功率大幅提高、沒有傳遞損失且無色散效應的 問題，是最為理想的光波導。
積體光學：
積體光學在二、三十年前就受到大家的重視，它的基本構想是希望引進積體 電路的技術與經驗將一般光學元件整合在一基材上，利用光子取代電子作為訊號 的傳遞。因為光子比電子具有更快的速度與更大的頻寬，因此對目前機已達到極 限的積體電路而言，積體光學會有更好的表現。但近十幾年對積體光學元件的發 展，並不如想像般的順利，目前以積體光學技術所製造的商品，大多為一些比較 簡單的電光、聲光調變器、光分離器、分工/解分工器等，距離全光式、多元件 的積體光學器件仍有一段遙遠距離。究其原因，很大一部份出現在光學波導的限 制上，傳統積體光學波導的製程是以利用擴散、鍍膜、蝕刻等技術在基材上製造 一較高折射率波導，利用其與基材間的全反射進行導光。因為此波導區與基材的
折射率差一般很小(n=0.1~0.001)，這種波導對光的束縛能力相對很微弱，因此即 此在僅有5o的彎曲下，一般光場也會有超過一半的輻射損失。光波難以彎曲，意 味著光學元件積體化的困難。為了解決這個問題有各式各樣的波導模型與模擬被 提出，但在實驗上，以傳統方法為主體的光學波導仍難以達成10o以上的彎曲，
要進行90o的彎曲更為不可能的事情。但近年來對光子晶體的研究與發展，出現 了一個新的解決辦法，如前節對光子能隙波導的特性所述，在光能隙材料中，光 場若以各不同的入射角度進入皆無法傳遞出去，因此可以以一瑕疵通道作為波 導，光場僅能在此通道波導中前進，因此可進行大角度的彎曲，這種波導在積體 化光學元件中是非常重要的，可以大量減少體積，達成輕、薄、短、小的要求。
2-5 半導體雷射基本概念
半導體雷射基本原理
傳統P-I-N 邊射形半導體雷射，電子經由電極注入，流至主動層(active layer) 與電洞結合，產生自發性發光(Spontaneous emission)，此光子再藉由兩端自然斷 裂面所形成的共振腔來回反射震盪傳播。在其傳播的過程中，光子又會激發電子
傳統P-I-N 邊射形半導體雷射，電子經由電極注入，流至主動層(active layer) 與電洞結合，產生自發性發光(Spontaneous emission)，此光子再藉由兩端自然斷 裂面所形成的共振腔來回反射震盪傳播。在其傳播的過程中，光子又會激發電子