[1] 神奇的伽瑪函數, 靳志輝著, 高等教育出版社, 2018。
7.4.2 高斯積分
這一小節的主要目的是要認識 高斯積分(Gaussian integral):
Z ∞
−∞
e−x2dx, 我們除了要證明高斯積分收斂, 還要進一步求出瑕積分的值。
例 2. 證明: 高斯積分R∞
−∞e−x2dx收斂。
證明: 先將瑕積分拆解成 Z ∞
−∞
e−x2dx = Z 0
−∞
e−x2dx + Z ∞
0
e−x2dx = I + II, 令y= −x,則 dy = −dx,當 x= 0, 則 y= 0; 當 x→ −∞,則y→ ∞,於是
I = Z x=0
x=−∞
e−x2dx = Z y=0
y=∞
e−y2· (−1) dy =
Z y=∞
y=0
e−y2dy =
Z x=∞
x=0
e−x2dx,
最後一式成立是因為 啞吧變數(dummy variable) 所致, 所以 I 可以完全表示成 II 的樣子, 因此兩 積分同時收斂或發散。 以下驗證II 的收斂性: 因為
Z ∞
0
e−x2dx = Z 1
0
e−x2dx + Z ∞
1
e−x2dx, 當x∈ [1, ∞) 有不等式0 ≤ e−x2 ≤ e−x, 而且
Z ∞
1
e−xdx = lim
t→∞
Z t 1
e−xdx = lim
t→∞
h
− e−xi
t 1= lim
t→∞ −e−t+ e−1 = 1 e 收斂, 故由比較判別法 (Comparison Test) 得知: R∞
1 e−x2dx收斂, 而 R1
0 e−x2dx是定積分, 因此 R∞
0 e−x2dx與 R∞
−∞e−x2dx都收斂。
接下來要討論高斯積分的值。 在此之前我們先回顧積分的理論: 關於函數 e−x2, 它的反導函數是
「積不出來」 的; 也就是說, 由於函數 e−x2 是連續函數, 其反導函數 F(x) = R e−x2dx 存在, 但是 F(x)無法表示成基本初等函數經過有限步驟的四則運算與合成組成。 所以欲求高斯積分R∞
−∞e−x2dx 的值, 需要利用其它方法處理。
各位可能會在微積分的課程中學到高斯積分的結果, 那時候微積分老師會用多變數重積分理論的 方式, 建立直角坐標與極坐標的二次積分轉換關係以及瑕積分理論求得。 從這個觀點來看雖然可以很 快得到結果, 但是那種方法其實需要對於瑕積分的收斂性還有無限區域的變數變換之間進行解釋, 對 於一個數學嚴謹度要求較高的人來說不免覺得有些不安心。
另一方面, 因為到目前為止我們尚未提及任何多變數微積分的理論, 所以在此試圖直接用單變數 微積分的方法討論高斯積分。 當然, 相較於利用重積分法討論高斯積分, 以下介紹各位會看到用單變 數法論述高斯積分的篇幅較長, 但是這並非壞事, 因為我們可以從中看到很多以前不曾想過或不曾留 意的現象, 像是三角積分與多項式以及有理函數積分之間的關聯, 還有定積分的值對於三角函數的次 方取極限之後的結果, 另外也用到凸函數的理論, 這些都是可以重新整合過去曾經學過的數學,而且由 此可以仔細體會數學之美。
在介紹高斯積分之前, 我們先對三角積分進行一些討論。
例 3. 設 m為非負整數, 試求定積分 Im=Rπ2
0 sinmxdx的遞迴關係式(recurrence formula)。 解.
(A) 當 m= 0, 則I0=R0π2 1 dx = π
2。 (B) 當 m= 1, 則I1=Rπ2
0 sin x dx = [− cos x]|
π 2
0 = 1。
(C) 當 m≥ 2, m ∈ N,由分部積分公式 (Integration by Parts)得到 Im = −
Z π
2
0
sinm−1xd cos x = h
− sinm−1xcos xi
π 2
0 + Z π
2
0
cos x d sinm−1x
= (m − 1) Z π
2
0
sinm−2xcos2xdx = (m − 1) Z π
2
0
sinm−2x(1 − sin2x) dx
= (m − 1) (Im−2− Im) , 所以 Im = m−1m Im−2。
這裡列出次方分別是奇數與偶數時的結果: I2n+1 = 2n
2n + 1 ·2n − 2
2n − 1· · · 4 5 ·2
3 與 I2n = 2n − 1
2n ·2n − 3
2n − 2 · · · 3 4 ·1
2·π
2。 (1) 在遞迴關係式 Im = m−1m Im−2 中, 我們可以立刻得到 lim
m→∞
Im−2
Im = lim
m→∞
m
m−1 = 1, 這是關於 奇數次方積分的比值或者是偶數次方積分的比值之極限探討。 至於相臨兩項 (奇數次方的積分與偶數 次方的積分) 的比值極限又為何呢? 甚至, 有什麼方法可以描述 I2n+1 或 I2n−2 當 n 趨近於無限大 的行為呢? 以下將說明這個結果。
例 4. 關於定積分 Im=Rπ2
0 sinmxdx有以下結果: (A) 極限 lim
n→∞
I2n
I2n+1 = 1。 (B) 極限 lim
n→∞
√n I2n+1 = √2π 以及 lim
n→∞
√n I2n−2 = √2π。
證明:
(A) 因為對所有 n∈ N 以及任何x∈ [0,π
2]都有 0 ≤ sin2n+1x≤ sin2nx≤ sin2n−1x, 因此積分 後則有
0 ≤ I2n+1 ≤ I2n ≤ I2n−1 ⇒ 1 ≤ I2n
I2n+1 ≤ I2n−1
I2n+1 = 2n + 1 2n , 因為 lim
n→∞
2n+1
2n = lim
n→∞
2+n1
2 = 22 = 1 且 lim
n→∞1 = 1,由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知:
n→∞lim
I2n
I2n+1 = 1。
(B) 由 (1)式可知 I2nI2n+1= 1
2n+1·π2, 所以 n I2n+12 = n
2n + 1·π
2 ·I2n+1 I2n ⇒√
n I2n+1 =
r n
2n + 1 ·π
2 ·I2n+1 I2n , 取極限之後則有
n→∞lim
√n I2n+1 = lim
n→∞
r n
2n + 1 ·π
2 ·I2n+1
I2n =r 1 2 ·π
2 · 1 =
√π 2 。 至於另一個極限討論如下:
n→∞lim
√n I2n−2 = lim
n→∞
√n I2n+1· I2n
I2n+1 ·I2n−2 I2n =
√π
2 · 1 · 1 =
√π 2 。
現在針對奇數次方與偶數次方分別進行不同的變數變換:
(奇) 對於 I2n+1 =R0π2 sin2n+1tdt, 令x = cos t, 則 dx = − sin t dt, 積分上限 x= 0, 積分下限 x= 1, 則
I2n+1 = Z π
2
0
sin2n+1tdt = − Z π
2
0 (1 − cos2t)n· (− sin t) dt = Z 1
0 (1 − x2)ndx。 (偶) 對於 I2n−2 = R0π2 sin2n−2tdt, 令 x = cot t = cos t
sin t, 則 1 + x2 = csc2t = 1
sin2t, 即 sin2t = 1+x1 2, 而 dx = − csc2tdt = −sin12xdt, 積分上限 x = 0, 積分下限當 t → 0 時 x→ ∞,則
I2n−2= Z π
2
0
sin2n−2tdt = − Z π
2
0
(sin2t)n·
− 1
sin2t
dt =
Z ∞
0
1
(1 + x2)ndx。
在經過前面的鋪陳之後, 我們現在可以求得高斯積分的值了。
例 5 (高斯積分, Gaussian Integral). 證明: Z ∞
−∞
e−x2dx = 2 Z ∞
0
e−x2dx =√ π。 證明:
(A) 首先證明不等式:
1 − x2 ≤ e−x2 ≤ 1 1 + x2。
(A1) 考慮 f(x) = e−x, 因為 f′′(x) = e−x >0, 所以 f(x) 是凸函數(convex function),於 是函數f(x)的圖形會在任一點切線的上方。 而函數f(x)的圖形在點(0, 1)的切線方程 式為y− 1 = f′(0)(x − 0) = −x, 即y= 1 − x,所以對所有x∈ R 都有e−x ≥ 1 − x。 將x 替換成 x2 則有e−x2 ≥ 1 − x2。
(A2) 考慮 g(x) = ex, 因為g′′(x) = ex>0,所以 g(x)是凸函數(convex function),於是函 數g(x)的圖形會在任一點切線的上方。 而函數 g(x)的圖形在點(0, 1) 的切線方程式為 y− 1 = g′(0)(x − 0) = x, 即 y = 1 + x, 所以對所有 x ∈ R 都有 ex ≥ 1 + x, 得到 e−x≤ 1+x1 。 最後, 將 x 替換成 x2 則有 e−x2 ≤ 1
1+x2。 (B) 以下證明: 對於n∈ N,
Z ∞
0
e−x2dx =√ n
Z ∞
0
e−nx2dx。 考慮變數變換 y= √1nx, 則 dy = √1
ndx。 當 x= 0, 則y = 0; 當x→ ∞,則 y→ ∞,於是 Z ∞
0
e−x2dx = Z ∞
0
e−ny2 ·√
ndy =√ n
Z ∞
0
e−ny2dy =√ n
Z ∞
0
e−nx2dx, 最後一等式是基於啞巴變數所致。
(C) 由 (A)和(B)可得
√n Z 1
0 1 − x2n
dx ≤ Z ∞
0
e−x2dx ≤√ n
Z ∞
0
1
(1 + x2)ndx, 即 √n I2n+1 ≤R∞
0 e−x2dx ≤ √n I2n−2。 因為 lim
n→∞
√n I2n+1 = √2π, 且 lim
n→∞
√n I2n−2 =
√π
2 , 由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知 R∞
0 e−x2dx = √2π。 因此R∞
−∞e−x2dx =√ π。
高斯積分在高等數學上的應用非常廣泛, 這裡我們先從函數開始討論。 所謂 高斯函數 (Gaussian function),它是從函數 f1(x) = e−x22 出發, 逐步進行平移與伸縮後的結果:
f4(x) = ae−12
x−c b
2
。
這裡 a, b, c 皆為常數, 在實際應用上會關心的是 a >0, b > 0, c ∈ R的情況。 從函數 f1(x) = e−x22 轉換成 f4(x) = ae−
1 2
x−c b
2
的過程, 我們可以這麼看待:
(A) 令 f1(x) = e−x22, 考慮 f2(x) = f1(1bx) = e−
在機率與統計的研究中會考慮 常態分佈函數(normal distribution function):
N(x) = 1
瑕積分值為1的用意是常態分佈函數會是標準的 機率密度函數 (probability density function), 各位在機率或統計課會學到這個函數和統計資料上常態分佈之間的關聯。 除了機率與統計的應用外,