第二章 背景介紹
2.2 反轉不對稱產生的自旋軌域耦合
在空間對稱的半導體中，電子的波函數滿足空間對稱性(parity symmetry)，代 表當 k -> -k，其能量 E+(k) = E+(-k)。另外，當電子的波函數滿足時間反轉對稱
表 2.1 Extended Kane model 所計算的能帶對稱性[15]。
(2-3)
> -k 且自旋方向相反，及 E+(k)=E-(-k)，當一個系統同時擁有空間及時間對稱時，
同時反轉空間及時間給我們 E+(k)=E-(k)，電子的波函數一定是雙數簡併的[15]。
為了要打破自旋簡併，空間和時間的對稱性中至少要有一個對稱性被打破，加入 磁場可以打破時間對稱性，使自旋的簡併被分離，半導體中該現象被稱為Zeeman 效應。當空間上的對稱性被打破時(及擁有反轉不對稱時)，自旋的簡併則可透過 自旋軌域耦合而分離，這樣的現像被稱為零場分裂。由於這時仍有時間對稱性，
在k=0 時 E+(0)=E-(0)仍然成立，因此自旋軌域耦合只能在 k 不為 0 時使自旋簡併 分裂。
由於反轉不對稱造成的零場分裂大小與該材料的 Δ0密切相關[17]，因此 Δ0
的數據可以預測該材料中反轉不對稱造成自旋軌域耦合的效應的強弱，通常原子 核越重的材料Δ0越大，自旋軌域耦合的效應也因此更明顯。
這一節將描述最常見的兩種打破空間對稱的成因，2.2.1 描述在晶格不具有 反轉對稱中心時(如 Zinc-Blende 晶格)，晶格的反轉不對稱(又稱為塊材反轉不對 稱，BIA)所造成的自旋軌域耦合，2.2.2 和 2.2.3 則分別描述電子、電洞在不同種 材料在空間上不對稱時，能帶差異(band offset)造成的反轉不對稱，稱為結構反轉 不對稱(SIA)。結構反轉不對稱存在於準二維的量子井或是異質結構中，而塊材 反轉不對稱則存在於不對稱晶格的塊材、準二維量子井、和異質結構中；2.2.4 描 述SIA 受外加閘極偏壓的影響，2.2.5 描述自旋軌域耦合下載子自旋的行為。
2.2.1 塊材反轉不對稱(BIA)
由於 III-V 族半導體的晶格結構是 Zinc-Blende 結構，III-V 族材料中並沒有 反轉對稱中心，因此沒有空間對稱性，而這種空間不對稱(稱為 BIA)所造成的自 旋軌域耦合又Dresselhaus 自旋軌域耦合[14]。在 IV 族元素中，原子核的排列成
圖 2.1 GaAs 塊材中在重電洞和輕電洞能帶中因為 BIA 而造成的零場分裂[18]。
鑽石結構，鑽石結構具有滑動平面(glide plain)和螺軸(screw axis)，因此 IV 族元 素的塊材中仍有空間對稱性，也就不存在 Dresselhaus 項。由於本論文的內容著 重於IV 族的鍺和鍺矽半導體，BIA 造成的自旋軌域耦合不是本論文研究的範疇。
2.2.2 結構反轉不對稱(SIA)
SIA 造成的自旋軌域耦合又稱為 Rashba 自旋軌域耦合。如圖 2.2A 所示，在 準二維量子井中，載子的波函數受到一個不對稱造成的電場加上兩個因為介面能 帶差異所造成的似達爾塔函數(delta-like)的電場。根據 Rashba 項，電子在導電帶 中的自選軌域耦合決定於材料參數𝑟416𝑐6𝑐和價電帶電場𝜀𝑧 [15]：
𝐸±(𝑘||) =< 𝜇𝑐 > 𝑘||2±< 𝑟416𝑐6𝑐𝜀𝑧> 𝑘|| .
其中𝑟416𝑐6𝑐和< 𝑟416𝑐6𝑐𝜀𝑧 >都有時被稱為 Rashba 係數，以下分別以 α1和 β1代表，
而自旋的分裂 ΔE 可以表示為 βk。雖然對於一個侷限狀態(bound state)而言電場 的平均值永遠是零(Ehrenfest 定理)，即<𝜀𝑐>=0，但由於𝜀𝑐和𝜀𝑣的能帶差異不同，
電子波函數的價電帶電場平均<𝜀𝑣>不等於零，因此能夠受到𝜀𝑣造成的自旋軌域耦 合。如圖2.2B 所示，價電帶受到 SIA 自旋軌域耦合而在能量上分裂成兩個子能 帶E+和E-，由於兩個子能帶的能量-波向量關係不同，兩個子能帶所含有的載子 濃度也不同，這樣的載子濃度差異可以透過 Shubnikov-de Haas 震盪實驗來量測 (2.4 節)。
(A)
圖 2.2 (A)準二維量子井中的電位及電場分布示意圖和(B)自旋軌域耦合作用 下的電子能量-波向量圖(E-k diagram) [15]。
(B)
(2-4)
電洞的自旋軌域耦合則較複雜，在電場𝜀𝑧下，電洞的哈密頓算子的矩陣表示
比於α1< 𝜀𝑧>，因此 ΔE 正比於載子濃度 p2D。電洞則與電子不同，電洞的Rashba 參數𝑟418𝑣8𝑣與LH-HH 分裂有關，而 LH-HH 分裂也跟電場有關，使得𝑟418𝑣8𝑣正比於 𝜀𝑧的-4/3 次方，因此電洞濃度 p2D的對於 β3=< 𝑟418𝑣8𝑣𝜀𝑧 >影響較小，甚至有負向 的影響[19]，該現象可由哈密頓算子解釋，由於兩個 HH 之間並沒有直接偶合的 項，當HH 和 LH 能量分裂變大時，兩 HH 之間的偶合也因此變弱。
2.2.5 自旋軌域耦合對自旋的作用
在磁場的作用下，載子的自旋會延著磁場的方向進動，這樣的進動稱為 Lamour 進動。由於自旋軌域耦合使得兩自旋子能帶分裂，其效應可以等效於一
圖 2.4 不同閘極偏壓下的能帶示意圖，透過在閘極 Vg 施加電壓，量 子井內的電場可以被調控，進而改變自旋軌域耦合的強弱[20]。
圖 2.3 透過閘極控制自旋軌域耦合的強弱示意圖[1]。
個磁場(BSO)的作用，自旋軌域耦合也會使自旋進動，這樣的進動一圈所行進的距
這樣的現象被稱為Dyakonov–Perel (DP)自旋鬆弛(圖 2.5)，是二維電子/電洞中主 導的自旋鬆弛機制。DP 自旋鬆弛導致的自旋鬆弛所花的時間為[1]：