抽 象
6.5 作用域
6.6.2 另一个经典案例：二分查找
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这是前述定义的直接实现，只是别忘了函数调用factorial(n)和factorial(n – 1)是不同的 实体。
再来看一个示例。假设你要计算幂，就像内置函数pow和运算符**所做的那样。要定义一 个数字的整数次幂，有多种方式，但先来看一个简单的定义：power(x, n)（x的n次幂）是将数 字x自乘n - 1次的结果，即将n个x相乘的结果。换而言之，power(2, 3)是2自乘两次的结果，
即2 × 2 × 2 = 8。
这实现起来很容易。
def power(x, n):
result = 1 for i in range(n):
result *= x return result
这是一个非常简单的小型函数，但也可将定义修改成递归式的。
对于任何数字x，power(x, 0)都为1。
n>0时，power(x, n)为power(x, n-1)与x的乘积。
如你所见，这种定义提供的结果与更简单的迭代定义完全相同。理解定义是最难的，而实现 起来很容易。
def power(x, n):
if n == 0:
return 1 else:
return x * power(x, n - 1)
我再次将定义从较为正规的文字描述转换成了编程语言（Python）。
提示 如果函数或算法复杂难懂，在实现前用自己的话进行明确的定义将大有裨益。以这种“准 编程语言”编写的程序通常称为伪代码。
那么使用递归有何意义呢？难道不能转而使用循环吗？答案是肯定的，而且在大多数情况 下，使用循环的效率可能更高。然而，在很多情况下，使用递归的可读性更高，且有时要高得多，
在你理解了函数的递归式定义时尤其如此。另外，虽然你完全能够避免编写递归函数，但作为程 序员，你必须能够读懂其他人编写的递归算法和函数。
6.6.2 另一个经典案例：二分查找
下面来看看最后一个递归示例——二分查找算法。
你可能熟悉猜心游戏。这个游戏要求猜对对方心里想的是什么，且整个猜测过程提出的“是 否”问题不能超过20个。为充分利用每个问题，你力图让每个问题的答案将可能的范围减半。例 如，如果你知道对方心里想的是一个人，可能问：“你心里想的是个女人吗？”除非你有很强的 第六感，不然不会一开始就问：“你心里想的是John Cleese吗？”对喜欢数字的人来说，这个游
戏的另一个版本是猜数。例如，对方心里想着一个1～100的数字，你必须猜出是哪个。当然，猜 100次肯定猜对，但最少需要猜多少次呢？
实际上只需猜7次。首先问：“这个数字大于50吗？”如果答案是肯定的，再问：“这个数字 大于75吗？”不断将可能的区间减半，直到猜对为止。你无需过多地思考就能成功。
这种策略适用于众多其他不同的情形。一个常见的问题是：指定的数字是否包含在已排序的 序列中？如果包含，在什么位置？为解决这个问题，可采取同样的策略：“这个数字是否在序列 中央的右边？”如果答案是否定的，再问：“它是否在序列的第二个四分之一区间内（左半部分 的右边）？”依此类推。明确数字所处区间的上限和下限，并且每一个问题都将区间分成两半。
这里的关键是，这种算法自然而然地引出了递归式定义和实现。先来回顾一下定义，确保你 知道该如何做。
如果上限和下限相同，就说明它们都指向数字所在的位置，因此将这个数字返回。
否则，找出区间的中间位置（上限和下限的平均值），再确定数字在左半部分还是右半部 分。然后在继续在数字所在的那部分中查找。
在这个递归案例中，关键在于元素是经过排序的。找出中间的元素后，只需将其与要查找的 数字进行比较即可。如果要查找的数字更大，肯定在右边；如果更小，它必然在左边。递归部分 为“继续在数字所在的那部分中查找”，因为查找方式与定义所指定的完全相同。（请注意，这种 查找算法返回数字应该在的位置。如果这个数字不在序列中，那么这个位置上的自然是另一个数 字。）
现在可以实现二分查找了。
def search(sequence, number, lower, upper):
if lower == upper:
assert number == sequence[upper]
return upper else:
middle = (lower + upper) // 2 if number > sequence[middle]:
return search(sequence, number, middle + 1, upper) else:
return search(sequence, number, lower, middle)
这些代码所做的与定义完全一致：如果lower == upper，就返回upper，即上限。请注意，你 假设（断言）找到的确实是要找的数字（number == sequence[upper]）。如果还未达到基线条件，
就找出中间位置，确定数字在它左边还是右边，再使用新的上限和下限递归地调用search。为方 便调用，还可将上限和下限设置为可选的。为此，只需给参数lower和upper指定默认值，并在函 数开头添加如下条件语句：
def search(sequence, number, lower=0, upper=None):
if upper is None: upper = len(sequence) - 1 ...
现在，如果你没有提供上限和下限，它们将分别设置为序列的第一个位置和最后一个位置。
下面来看看这是否可行。
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>>> seq.sort()
>>> seq
[4, 8, 34, 67, 95, 100, 123]
>>> search(seq, 34) 2
>>> search(seq, 100) 5
然而，为何要如此麻烦呢？首先，你可使用列表方法index来查找。其次，即便你要自己实 现这种功能，也可创建一个循环，让它从序列开头开始迭代，直至找到指定的数字。
确实，使用index挺好，但使用简单循环可能效率低下。前面说过，要在100个数字中找到指 定的数字，只需问7次；但使用循环时，在最糟的情况下需要问100次。你可能觉得“没什么大不 了的”。但如果列表包含100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个元素（对Python列表来 说，这样的长度可能不现实），使用循环也将需要问这么多次，情况开始变得“很大”了。然而，
Python提供了一些有助于进行这种函数式编程的函数：map、filter和reduce。在较新的 Python版本中，函数map和filter的用途并不大，应该使用列表推导来替代它们。你可使用map 将序列的所有元素传递给函数。
>>> list(map(str, range(10))) # 与[str(i) for i in range(10)]等价 ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9']
你可使用filter根据布尔函数的返回值来对元素进行过滤。
>>> def func(x):
... return x.isalnum() ...
>>> seq = ["foo", "x41", "?!", "***"]
>>> list(filter(func, seq)) ['foo', 'x41']
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① 事实上，在可观察到的宇宙中，包含的粒子数大约为1087个。要找出其中的一个粒子，只需问大约290次！
就这个示例而言，如果转而使用列表推导，就无需创建前述自定义函数。
>>> [x for x in seq if x.isalnum()]
['foo', 'x41']
实际上，Python提供了一种名为lambda表达式①的功能，让你能够创建内嵌的简单函数
（主要供map、filter和reduce使用）。
>>> filter(lambda x: x.isalnum(), seq) ['foo', 'x41']
然而，使用列表推导的可读性不是更高吗？
要使用列表推导来替换函数reduce不那么容易，而这个函数提供的功能即便能用到，也 用得不多。它使用指定的函数将序列的前两个元素合二为一，再将结果与第3个元素合二为 一，依此类推，直到处理完整个序列并得到一个结果。例如，如果你要将序列中的所有数相 加，可结合使用reduce和lambda x, y: x+y②。
>>> numbers = [72, 101, 108, 108, 111, 44, 32, 119, 111, 114, 108, 100, 33]
>>> from functools import reduce
>>> reduce(lambda x, y: x + y, numbers) 1161
当然，就这个示例而言，还不如使用内置函数sum。
6.7 小结
本章介绍了抽象的基本知识以及函数。
抽象：抽象是隐藏不必要细节的艺术。通过定义处理细节的函数，可让程序更抽象。
函数定义：函数是使用def语句定义的。函数由语句块组成，它们从外部接受值（参数），
并可能返回一个或多个值（计算结果）。
参数：函数通过参数（调用函数时被设置的变量）接收所需的信息。在Python中，参数有 两类：位置参数和关键字参数。通过给参数指定默认值，可使其变成可选的。
作用域：变量存储在作用域（也叫命名空间）中。在Python中，作用域分两大类：全局作 用域和局部作用域。作用域可以嵌套。
递归：函数可调用自身，这称为递归。可使用递归完成的任何任务都可使用循环来完成，
但有时使用递归函数的可读性更高。
函数式编程：Python提供了一些函数式编程工具，其中包括lambda表达式以及函数map、 filter和reduce。
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① lambda来源于希腊字母，在数学中用于表示匿名函数。
② 实际上，可不使用这个lambda函数，而是导入模块operator中的函数add（这个模块包含对应于每个内置运算符的 函数）。与使用自定义函数相比，使用模块operator中的函数总是效率更高。
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15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.7.1 本章介绍的新函数
函 数 描 述
map(func, seq[, seq, ...]) 对序列中的所有元素执行函数
filter(func, seq) 返回一个列表，其中包含对其执行函数时结果为真的所有元素
reduce(func, seq[, initial]) 等价于 func(func(func(seq[0], seq[1]), seq[2]), ...)
sum(seq) 返回 seq 中所有元素的和
apply(func[, args[, kwargs]]) 调用函数（还提供要传递给函数的参数）
6.7.2 预告
下一章将介绍面向对象编程，让你能够进一步提高程序的抽象程度。你将学习如何创建自 定义类型（类），并将其与Python提供的类型（如字符串、列表和字典）一起使用，这让你能 够编写出质量更高的程序。阅读完下一章后，你将能够编写出大型程序，同时不会在源代码中 迷失方向。