可數的無限

若一集合不是有限集合, 則稱為無限 (infinite, 無窮) 集合. 由性質 5.4 知, 一個 有限集合, 不會跟它的真子集有對射關係, 這給出檢測一集合是否無限的方法:

若一集合與其真子集有對射關係, 則該集合為無限集合.

性質 5.8. N 是無限集合.

證明.

定義對射 f :N → N \ {1} : f(n) = n + 1, 得證.







習題 5.20. 若 B ⊆ A 且 B ↔ N, 則 A 為無限集合.







習題 5.21. 若 A 無限, 而 B ⊂ A 是有限集合, 則 A \ B 6= Ø

後面將說明 N 是「最小」的無限集合, 扮演類似 n 典型集合的角色. Cantor 的 貢獻就在於用對射來刻畫集合的大小, 並發現無限的不同等級.⁸

定義 5.6. 若 A ↔ N, 則稱 A 為可數無限集合 (countable infinity) , 可數無 限集合的基數記為 ω. 一無限集合若非可數, 則稱為不可數無限 (uncountable infinity) . 另有限集合和可數無限集合稱為可數集合 (countable) .







習題 5.22. 若 A, B 為兩集合，定義 A ∼ B 為存在 A ↔ B。證明這是一個 集合之間的等價關係。

注意. 這個等價關係定義了一般集合的基數，亦即 A ↔ B ⇔ |A| = |B|.

示例. 所有正偶數所成的集合是可數無限. Z 是可數無限. N × N 是可數無限.

每種特殊情況都要找特殊方法來證明存在對射顯然太麻煩. 底下證明一些好用 的性質. 和性質 5.5 類似, 我們也有刻畫可數集合的方法.

性質 5.9. 底下三個敘述是等價的, 1. A 可數.

2. 可找到 f :N ↠ A 3. 可找到 g : A ↣ N

證明和性質 5.5 很類似, 但是在 3.⇒ 1. 時, 需要證明下面的性質:

性質 5.10. 若 A ⊂ N 且 A 無限, 則 A 是可數無限.

證明.

我們想要造出函數 f :N ↔ A, 造法是用歸納法遞迴的造出來.

i = 1: f (1) = min(A).

i = 2: f (2) = min(A\ {f(1)}). 因為由習題 5.21 , A \ {f(1)} 6= Ø.

· · · 依此類推.

i = k: 假設 f (1), f (2),· · · , f(k) 皆已定義.

8提醒讀者, 在有限集合時點數和對射是同一個概念, 也就是從 1 數到 n 與和 n 存在對射是同 一件事, 但是在無限時, 這兩種想法就分道揚鑣了: 分別稱為序數 (ordinal number) 和基數.

i = k + 1: f (k + 1) = min(A\ {f(1), f(2), · · · , f(k)}).

注意到 f 是一個遞增函數 (習題) , 也就是 m > n⇒ f(m) > f(n). 因此 f :N ↣ A , 於是只需要證明 f : N ↠ A.

任取 a ∈ A ⊂ N, 令 D = A ∩ a 則 D 為一有限集合, 令 d = |D|. 由於 D 的 元素是 A 最小的 d 個元素. 由 f 的構造方式知 f (d) = a, 證完.







習題 5.23. 證明上述 f 是遞增函數.

示例. N × N 和 Z 是可數無限 (重訪) . 正有理數 Q⁺ 也是可數無限.

N × N : 利用 (m, n) 7→ 2^m· 3ⁿ可得到 N × N ↣ N.

Z : 利用 (m, n) 7→ m − n 可得到 N ↔ N × N ↠ Z.

Q⁺ : 利用 (m, n)7→ ^m_n 可得到 N ↔ N × N ↠ Q⁺.

性質 5.11. 若 A₁, A2,· · · , An 都是可數集合, 則 A₁× A2× · · · × An 可數.

證明.

利用映射 (m₁, m₂,· · · , mk)7→ 2^m1·3^m2· · · p^m_k^k可得到N × N × · · · × N ↣ N.

由此知 N × N × · · · × N 為可數無限. 其中 pk 為第 k 個質數.

現令 f_i : N ↠ Ai. 利用 (m₁, m₂,· · · , mk) 7→ (f1(m₁), f₂(m₂),· · · , fk(m_k)) 可得到 N ↔ N × N × · · · × N ↠ A1× A2× · · · × An.







習題 5.24. 可以用類似方法證明 N × N × · · · × N × · · · 可數嗎？

性質 5.12. 若 A₁, A₂,· · · , An· · · 都是可數集合, 則 A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An∪ · · · 也是可數集合.

證明.

令 f_i :N ↠ Ai, 利用 (i, j)7→ fi(j) 可證得

N ↔ N × N ↠ A1 ∪ A2∪ · · · ∪ An· · ·







習題 5.25. Q 是可數無限.







習題 5.26. I 可數. 若 A _α, α∈ I 皆可數, 則 S

α∈IAα 也是可數集合.

定義 5.7. (代數數, algebraic number) 令 m₀, m1, m2,· · · , mn∈ Z, mn6= 0, 則 整係數多項式

mnxⁿ+ mn−1xⁿ⁻¹+· · · + m1x + m0 = 0 的根稱為代數數.

定義 5.8. (超越數, transcendental number) 非代數數的數稱為超越數.

n = 1 時的代數數就是有理數 Q, 這是一個可數無限集合. 高中生所學過的無理 數大部分是代數數, 如平方根數、立方根數（why?）, 但 π 是超越數（見後續課 程）.

示例. 代數數所成的集合是可數無限.

1. 將多項式 m_nxⁿ+ m_n−1xⁿ⁻¹+· · · + m1x + m₀ = 0 的根所成的集合記為 A_{(mn,··· ,m1,m0)}, 其中 m₀, m1,· · · , mn∈ Z, mn6= 0, 這當然是可數集合. 注 意 A_{(mn,··· ,m1,m0)} 的足碼 (m_n,· · · , m1, m₀)∈ (Z \ {0}) × Z × · · · × Z. 令 I = (Z \ {0}) × Z × · · · × Z, 則 I 可數.

2. 令 A_n 為 1. 中之代數數所成的集合. 因為

A_n= [

(mn,··· ,m1,m0)∈I

A_{(mn,··· ,m1,m0)}

由習題 5.26 知 A_n 為可數集合.

3. 令 A 為代數數所成的集合. 因為 A = S

n∈NAn, 故 A 是可數無限.







習題 5.27. 定義 N^N₀ ={(m1,· · · , mn, 0, 0,· · · ) | mi ∈ N}. 證明 N^N₀ 可數.

(提示: 證明N^N0 = S

n∈N{(m1,· · · , mn, 0, 0,· · · ) | mi ∈ N}.) 注意. N^N₀ ⊂ N^N=N × N × · · · × N × · · · .