三维游戏引擎中的几何基础
4.1 向量及其运算
4.1 向量及其运算
4.1.1 向量的定义
向量（Vector）也称为矢量，简单来说，就是在给定的坐标系（Coordinate System）中描述位 置或方向的一组数。在 3D 图形学中，这个坐标系往往是笛卡儿坐标系（Cartesian Coordinates），
比如，一个向量可以用(4,5,3)来表示，如图 4-1 所示。向量不同于标量，标量仅有大小，而向量 既有大小又有方向。具体在 3D 图形学中，向量可以用来表示粒子的速度、加速度和光线方向等 既有大小又有方向的量。总之，向量为在三维空间中表示方向提供了方便。
Y
X (5,3)
Y
X
Z 2D 坐标系
中的向量 3D 坐标系
中的向量 (4,5,3)
图 4-1 2D 向量和 3D 向量
在 D3DX 库中，用 D3DXVECTOR3 来表示 3D 空间中的三维向量，它是从 D3DVECTOR 继 承过来的，D3DVECTOR 结构体定义如以下代码所示：
typedef struct D3DVECTOR { float x, y, z;
} D3DVECTOR, *LPD3DVECTOR;
D3DVECTOR 含 有 3 个 浮 点 型 变 量 ， 分 别 表 示 三 维 向 量 的 一 个 分 量 。 D3DX 库 中 对 D3DVECTOR 的派生类 D3DXVECTOR3 的定义如下：
typedef struct D3DXVECTOR3 : public D3DVECTOR {
public:
// 构造函数
D3DXVECTOR3() {};
D3DXVECTOR3( CONST FLOAT * );
D3DXVECTOR3( CONST D3DVECTOR& );
D3DXVECTOR3( CONST D3DXFLOAT16 * );
D3DXVECTOR3( FLOAT x, FLOAT y, FLOAT z );
// 类型转换函数 operator FLOAT* ();
operator CONST FLOAT* () const;
// 赋值操作符
D3DXVECTOR3& operator += ( CONST D3DXVECTOR3& );
D3DXVECTOR3& operator -= ( CONST D3DXVECTOR3& );
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三维游戏
引 擎 设 计 技术 及 其 应用
D3DXVECTOR3& operator *= ( FLOAT );
D3DXVECTOR3& operator /= ( FLOAT );
// 一元操作符
D3DXVECTOR3 operator + () const;
D3DXVECTOR3 operator - () const;
// 二元操作符
D3DXVECTOR3 operator + ( CONST D3DXVECTOR3& ) const;
D3DXVECTOR3 operator - ( CONST D3DXVECTOR3& ) const;
D3DXVECTOR3 operator * ( FLOAT ) const;
D3DXVECTOR3 operator / ( FLOAT ) const;
// 友元函数操作符
friend D3DXVECTOR3 operator * ( FLOAT, CONST struct D3DXVECTOR3& );
// 比较两个向量是否相等操作符
BOOL operator == ( CONST D3DXVECTOR3& ) const;
BOOL operator != ( CONST D3DXVECTOR3& ) const;
} D3DXVECTOR3, *LPD3DXVECTOR3;
可以看出，与 D3DVECTOR 相比，D3DXVECTOR3 仅仅扩展了许多操作符和函数，便于向 量与数、向量与向量之间的数学运算。如果你的 C++学得很好，大概已经看出这些操作符有什么 用途了；如果你一头雾水，没有关系，这里将简要讲述上述函数的作用。
前 5 个构造函数允许你从 FLOAT 数组、16 位 FLOAT 数组、D3DVECTOR 向量等创建一个 D3DXVECTOR3 对象。然后是两个类型转换函数，它允许将一个 D3DXVECTOR3 对象直接转换 成一个 FLOAT 指针，指向该对象的第一个变量 x。然后重载了 4 个赋值操作符，它们允许你像 操作内置数据类型那样操作 D3DXVECTOR3 对象，请看以下代码：
D3DXVECTOR3 vec1(1,2,3);
D3DXVECTOR3 vec2(vec1);
D3DXVECTOR3 vec3;
vec3 = vec1 + vec2;
执行完毕后，vec2 的大小等于(1,2,3)，vec3 的大小等于(2,4,6)。
然后定义了两个单目运算符，分别为取正“+”和取负操作“-”。请看代码：
D3DXVECTOR3 vec4 = - vec2;
执行完毕，vec4 的大小为(-1,-2,-3)。
然后定义了 4 个双目运算符，其中加运算符和减运算符允许两个 D3DXVECTOR3 类型向量 相加（减），返回一个 D3DXVECTOR3 类型，运算规则为分别将两个向量对应的分量相加（减）。
乘运算符和除运算符允许一个 D3DXVECTOR3 向量和一个 FLOAT 类型相乘（除），运算规则为 将向量中的每个分量乘（除）以那个 FLOAT 数据，返回一个 D3DXVECTOR3 类型。
上面定义的乘法运算符只允许将一个 D3DXVECTOR3 类型和一个 FLOAT 数据相乘，若是想 将一个 FLOAT 数据和一个 D3DXVECTOR3 类型相乘，怎么办呢？这时使用上述的*运算符是错 误的，必须另外定义一个友元函数操作符，它含有两个参数；第一个是 FLOAT 数据，第二个是 D3DXVECTOR3 类型向量。
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4 下面给出代码说明作为友元函数操作符的“*”与属于类本身的二元操作符之间的区别：
D3DXVECTOR3 vec1(1,2,3);
D3DXVECTOR3 vec2 = vec1 * 2; // 调用属于类本身的二元操作符 D3DXVECTOR3 vec3 = 2 * vec1; // 调用友元函数操作符
最后两个操作符实现判断两个 D3DXVECTOR3 向量是否相等的功能。这两个操作符都只含 有一个 D3DXVECTOR3 参数。只有在每个分量都相等的情况下，才能说明某两个向量是相等的。
下面给出代码说明：
D3DXVECTOR3 vec1(1,2,3);
D3DXVECTOR3 vec2(vec1);
D3DXVECTOR3 vec3(1,2,4);
ASSERT(vec1 == vec2);
ASSERT(vec1 != vec3);
本节仅介绍了 D3DXVECTOR3 类（虽然定义为结构体，但 C++中的结构体与类已经没有很 大区别了）的用法，D3DX 数学库中还定义了 D3DXVECTOR2 和 D3DXVECTOR4 向量类，分别 是二维向量和四维向量，其用法和 D3DXVECTOR3 都很相似，在此就不详细介绍了。
4.1.2 向量的数学运算及在 D3D 中的实现
上一节讲述向量类 D3DXVECTOR3 时，已经介绍了一些简单的向量数学运算，它们都是通 过定义在类内部的数学操作符实现的。本节将介绍 D3DX 实现的用于向量数学运算的函数，分别 为求向量长度、归一化、点积、叉积等。
1．向量的长度与归一化
使用向量时，经常遇到的一个问题是计算一个向量的长度。向量的长度在数学上也称为范数
（Norm）。从几何上表示，向量的长度是从向量原点到向量终点之间的距离。要计算一个向量的 长度，应用以下公式即可：
2 2 2
| |
v
| . |v x
| . |x y
| . |v z
（4-1）D3DX 库为计算向量长度专门提供了一个函数，其原型为：
FLOAT D3DXVec3Length(
CONST D3DXVECTOR3 * pV );
pV 指向所要求的三维向量，函数返回值即为向量的长度。
知道向量的长度后，即可对其进行归一化（Normalize）处理了，归一化即对向量进行缩放，
使其长度为 1.0，并且方向保持不变。对一个向量求归一化，可以使用以下公式：
2 2 2
ˆ | | | . | | . | | . |
v v
v v v x v y v z
（4-2）
D3DX 库为对向量进行归一化也提供了一个函数，其原型为：
D3DXVECTOR3 * D3DXVec3Normalize(
D3DXVECTOR3 * pOut, CONST D3DXVECTOR3 * pV );
pV 指向要输入的待归一化处理的向量，归一化之后的向量保存在 pOut 指向的对象中。该函
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数还返回一个 D3DXVECTOR3 指针值，该指针值和 pOut 的最终值相等，这样做的好处是该函数 可以作为其他函数的参数。
FLOAT D3DXVec3Dot(
CONST D3DXVECTOR3 * pV1, CONST D3DXVECTOR3 * pV2 );
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