單元三 特殊四邊形

課文A： 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質

這邊要介紹箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質。

第一個要介紹的是箏形，在前面多邊形的單元當中曾經 介紹過箏形就是兩雙鄰邊分別等長的四邊形，因為會長得跟 風箏很像，所以稱為「箏形」或叫作「鳶形」。

在前面線對稱的單元當中有提到箏形就是一種線對稱圖形，

如圖中的箏形 ABCD，如果沿著 AC 對摺，會使 B 點疊合在 D 點 上， AB 和 AD 疊合， CB 和 CD 疊合，也就是 AC 是箏形 ABCD 的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC 會垂直平分 BD 。

換句話說，箏形的兩條對角線互相垂直，但是其中一條對角線會平分 另外一條對角線。來練習一些有關箏形題目！

例題一：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10， BC = CD =17，O 為 AC 和 BD 的交點，如果 BD =16，則：

(1)AC =？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

A

B

C

D

60

61

例題二：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD， BC = CD ， AC =21， BD =24，

O 為兩對角線AC 和 BD 的交點。

如果 AB = AD =13，則：

(1)箏形 ABCD 的周長=？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

◎解題思維：

要計算箏形 ABCD 的周長，必須求出箏形的四邊長，已經知道了其中 兩邊 AB = AD =13，所以剩下要求 BC 跟 CD ，而 BC = CD ，所以只要求出 其中一邊就可以了！

解：(1)箏形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，也就是 BO OD 。 又因為 BD =24，所以 BO OD =12。

直角△AOB 中，根據畢氏定理可列出等式：

2 2 2

OA OB AB ⇒OA²12² 13²⇒

2 169 144

OA   ⇒ OA=5 OC = AC− OA=21−5=16 根據畢氏定理列出式子：

2 2 2

BC OC OB

⇒BC² 16²12²⇒BC²400

⇒ BC =20

箏形 ABCD 的周長=13+20+20+13=66

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(2) 接下來要計算箏形 ABCD 的面積。

箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：

△ABD 面積=1

2× BD × AO =1

2×24×5=60。

△CBD 面積=1

2× BD × OC =1

2×24×16=192。

箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積=60+192=252

第二個要介紹的是菱形，四邊等長的四邊形稱為「菱形」。

在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「如 果四邊形有兩組對邊等長，那麼這四邊形必為平行四邊形」。 既然我們知道菱形的四邊會等長，那麼菱形就一定有兩組 等長的對邊，換句話說，菱形是平行四邊形的一種。

在前面線對稱的單元當中有提到菱形也是一種線對稱圖形，

如圖中的菱形 ABCD，如果沿著對角線 AC 對摺，會使 B 點疊合 在 D 點上， AB 和 AD 疊合，CB 和 CD 疊合，也就是 AC 是菱形 ABCD 的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC 會垂直平分 BD。

同理， BD 也會垂直平分 AC 。也就是說，菱形的兩條對角線互 相垂直平分。

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讓我們來練習有關菱形的題目！

例題三：如圖菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC 和 BD 的交點，

AC =10， BD =24。

(1)菱形 ABCD 周長=？

(2)菱形 ABCD 面積=？

解：因為四邊形 ABCD 是一個菱形，所以 兩條對角線 AC 、 BD 互相垂直平分。

AC =10，所以 AO OC =5；

BD =24，所以BO OD =12。

因為 AC 、 BD 互相垂直，所以△AOB 為直角三角形。

根據畢氏定理可以列式：AB² AO²OB²

2 2 2

5 12

AB   =25+144=169 AB =13

菱形四邊都一樣長，所以菱形 ABCD 周長=13×4=52。

(2)要計算菱形 ABCD 面積，可以分成兩個三角形△ABD、△CBD，

菱形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積

=24 5 2

 24 5 2

 +=60+60=120。

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第三個要介紹的是矩形，四個內角都是直角的四邊形就是「矩形」。

在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「四邊形的兩組對 角相等，則此四邊形為平行四邊形」。既然我們知道矩形的四個內角都是 90°，那麼矩形的對角相等就一定會相等，所以矩形為平行四邊形的一種。

那矩形的對角線有什麼性質呢？

下圖四邊形 ABCD 為一個長方形，而 AC 、BD 是兩條對角線，O 點是 AC 和 BD 的交點。

既然矩形是平行四邊形的一種，所以矩形也會有平行四邊形的性質，

就是對角線會互相平分， OA OC 、 OB OD 。

除此之外，我們知道矩形四個內角都是直角而且兩雙對邊會等長。

分別連接對角線 AC 、對角線 BD ：

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因為對邊 AB = DC 、共同邊 BC = BC 、內角∠B=∠C=90°，根據 SAS 全等性質，△ABC≅△DCB。

AC 和 DB 是對應邊，所以 AC = DB 。 AC 、 BD 就是矩形的兩條對角 線，也就是說矩形的兩條對角線會互相平分且等長。

讓我們來練習有關矩形的題目！

例題四：矩形 ABCD 的周長為 14，且兩對角線和為 10，求矩形面積為何？

◎解題思維：矩形面積=長×寬，要算出面積需要長和寬。

解：矩形 ABCD 的對角線會平分且等長，

而兩對角線和為 10，所以 AC = BD =5。

矩形 ABCD 的周長為 14，所以長+寬=7。

因為矩形的內角都是 90°，所以△ABC 為一個直角三角形：

令 AB =x，則 BC =7−x， AC =5

根據畢氏定理列出式子：AB²BC² AC²

 

²

2 2

7 5

x  x 

 

2 2 2

49 14 5

x   xx  相加整理

2x214x4925 等號右邊的 25 移項到等號左邊

66

2x214x240 等號兩邊同除以 2

2 7 12 0

x  x  利用十字交乘法：



^x3



^{x 4}



⁰

x=3 或 4

若 AB =3，則 BC =7−3=4；若 AB =4，則 BC =7−4=3。

所以矩形 ABCD 長若是 4、寬會是 3，面積=3×4=12。

第四個要介紹的是正方形，四邊會等長而且四個內角都是 直角的四邊形就是「正方形」。

因為正方形的四邊會等長，所以正方形就是菱形的一種；又因為正方 形的四個內角都是直角，所以正方形也是矩形的一種。

那正方形的對角線有什麼性質呢？右圖為四邊形 ABCD 為一 個正方形，而 AC、BD 是兩條對角線，O 點是 AC 和 BD 的交點。

因為正方形就是菱形的一種，所以正方形對角線就會具有菱形 對角線的性質，菱形的兩條對角線會互相垂直平分，所以正方形的 對角線也會互相垂直平分。

又因為正方形就是矩形的一種，所以正方形對角線就會具有矩

形對角線的性質，矩形的兩條對角線會互相平分且等長，所以正方形的對 角線也會互相平分且等長，也就是 OA OC = OB OD ，而且 AC 垂直 BD 。

正方形的對角線性質：等長且垂直平分！讓我們來練習有關正方形的 題目！

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例題五：如圖正方形 ABCD 的邊長為 4 2 ，P 為兩對角線 AC 和 BD 的交 點，若 Q 為 AP 線上的一點，QP ： AP =3：4，

(1) QP =？

(2) DQ =？

(3)△CDQ 面積=？

解：(1)因為 QP ： AP =3：4，所以 QP =3

4AP 。

又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且等長，所以 AP 會是 對角線 AC 的一半。

也就是先求出對角線 AC ，就可以求出 AP ，然後就可以求出 QP 。 正方形 ABCD 的邊長為 4 2 ，△ABC 為直角三角形：

根據畢氏定理列式：AC² AB²BC²

   

^{2 2}

2 4 2 4 2

AC   =32+32=64 AC =8

AP 會是對角線 AC 的一半， AP =1

2 AC =1

2×8=4 QP =3

4AP =3/4×4=3

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(2)要求 DQ ，找有關的直角三角形△DPQ：

△DPQ 中， QP =3；又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且 等長，所以 DP = AP =4。

根據畢氏定理列式：DQ² QP²PD²

2 32 42

DQ   =9+16=25 DQ =5

(3)要求△CDQ 面積：

因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且 等長，所以PC= DP =4。

QC = QP +PC=3+4=7。

△CDQ 面積=1

2× QC × DP =1

2×7×4=14。

重點提問

1.根據上面的課文，請寫出下列各個特殊四邊形的定義。

(1)箏形：

(2)菱形：

(3)矩形：

(4)正方形：

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2.請在下面的方格中，畫出箏形、菱形、矩形、正方形各一個。

3.根據上面的課文，請說明箏形的性質，並利用提問 2 所畫出箏形做說明。

4.根據上面的課文，請說明菱形的性質，並利用提問 2 所畫的菱形做說明。

5.根據上面的課文，請說明矩形的性質，並利用提問 2 所畫的矩形做說明。

6.根據上面的課文，請說明正方形的性質，並利用提問 2 所畫的正方形做 說明。

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7.下列有一些關於四邊形的性質：

(A)兩雙對邊相等 (B)兩組對角相等 (C)四邊等長

(D)四個內角都是 90° (E)兩雙對邊分別平行 (F)兩對角線互相垂直 (G)兩對角線互相平分 (H)兩對角線等長

請將下面這些四邊形所含有的性質代號填入問題中：

(1)任意平行四邊形有哪些性質？

(2)任意箏形有哪些性質？

(3)任意菱形有哪些性質？

(4)任意矩形有哪些性質？

(5)任意正方形有哪些性質？

8.若有一個四邊形的對角線互相垂直，請證明這個四邊形的面積為

「^{兩條對角線相乘}

2 」，並舉一個例子做說明。

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․隨堂練習：

1.如圖，箏形 ABCD 中， AB =AD=15，BC=CD =13，O 為 AC 和 BD 的交 點，如果 BD =24，則：

(1)AC =？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

2.如圖，箏形 ABCD 中， AB =AD=10，BC=CD ， AC =21， BD =16，O 為兩對角線 AC 和 BD 的交點。求：

(1)箏形 ABCD 的周長=？

(2)箏形 ABCD 的面積=？

3.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線AC 和 BD 的交點，AC =18，BD =24。

求：

(1)菱形 ABCD 面積=？

(2)菱形 ABCD 周長=？

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4.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線AC 和 BD 的交點， AC =14，菱形 ABCD 周長=100。求：

(1) BD =？

(2)菱形 ABCD 面積=？

5.矩形 ABCD 的周長為 28，且兩對角線和為 20，求矩形面積為何？

6.如圖正方形 ABCD 中，P 為兩對角線AC 和 BD 的交點，Q、R 為 AP 線上 的一點， QP =6， AQ =2，RC=4。

求△DQR 面積=？

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7.如圖正方形 ABCD 的邊長為3 2 ，P 為兩對角線 AC 和 BD 的交點，若 Q 為 AP 線上的一點， CQ ： QP =1：2，

(1) QP =？

(2) DQ =？

(3)△ADQ 面積=？

還是不太懂，請看下面影片 箏形

https://youtu.be/3g2iaYyW_2A

菱形

https://youtu.be/9r-di6lgO9A

矩形

https://youtu.be/HBl4L48-I8c

正方形

https://youtu.be/GJHUipn5ydU

綜合

https://youtu.be/TGhx0fh70KA

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課文B： 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形

第一個先來看箏形的判別性質，課文 A 有提到：「箏形的其中 一條對角線會垂直平分另外一條對角線」。那如果有一個四邊形 ABCD，其中的一條對角線AC 會垂直平分另外一條對角線 BD ，這 個四邊形 ABCD 會是箏形嗎？

要看四邊形是不是箏形就是驗證看看這個四邊形是不是有兩 雙分別等長的鄰邊。因為 AC 垂直平分 BD ，所以將四邊形 ABCD 沿著 AC 對摺的話，B 點就會與 D 點疊合，而 AC 是對稱軸。AB =AD，

CB = CD ，故四邊形 ABCD 就是一個箏形。

由此可知：「一個四邊形中，有一條對角線垂直平分另一條對角線時，

則這個四邊形就是箏形。」

第二個要來看菱形的判別性質，課文 A 有提到：「菱形的兩條 對角線互相垂直平分」。那麼是否可以利用四邊形的對角線來判斷 此四邊形是不是菱形呢？如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線

AC、BD 會互相垂直平分，而這個四邊形 ABCD 會是一個菱形嗎？

兩條對角線 AC 、 BD 交於 O 點，兩條對角線 AC 、 BD 會互相垂直平 分，所以 AO OC 、 BO OD ，而且∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD 都是 90°，根據 SAS 全等性質，因此△AOB、△COB、△COD、△AOD 四個三 角形會全等三角形。所以可以得知 AB = CB = CD = AD ，也就是四邊等長，

四邊形 ABCD 是一個菱形。

由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直且平分，則這 個四邊形就是菱形。」

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由∠1+∠2+∠3+∠4=180°。得 a+a+b+b=180，即 a+b=90 得∠ABC=∠2+∠3=90°。

同理，∠BCD=90°、∠CDA=90°、∠DAB=90°，所以四邊形 ABCD 為 一個矩形。

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77

重點提問

1.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是箏形，並解釋其原因。

2.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是菱形，並解釋其原因。

3.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是矩形，並解釋其原因。

4.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是正方形，並解釋其原因。

在文檔中 目 錄 (頁 59-93)