課文A： 圖形的縮放
在我們國小的時候曾經學過的放大縮小圖，就是利用放大或縮小的方 式將圖形的大小改變但是形狀不變。例如在影印的時候，可以利用影印機 將圖形作放大或縮小。接下來的課文中，縮小1
2倍統一稱為縮放1
2倍、放 大 2 倍稱為縮放 2 倍。
將四邊形 OABC 進行縮放，那麼縮放前後的頂點、邊長及角會有什麼 關係呢？
討論 1.「頂點」
以 O 點為縮放中心，將四邊形 OABC 縮放 3 倍的圖形如下：
首先，將 A、B、C 與 O 點的距離分別縮放 3 倍的對應點畫出來，分 別標為 A'、B'、C'。
接下來，將OA、 A B 、B C 、OC連線，四邊形 OA'B'C'就是以 O 點為縮放中心，將四邊形 OABC 縮放 3 倍的圖形。
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討論 2.「邊長」
討論 1 的圖中， A B 是 AB 的對應邊，他們之間有什麼關係呢？
如上圖，OA：OA=OB：OB=1：3，因此 AB // A B 。 所以， AB ： A B =OB：OB=1：3。也就是 A B =3 AB 。
從上面的討論可以得知：「將一個線段圖形縮放 k 倍時，長度亦為原來 的 k 倍。」
討論 3.「角」
討論 1 的圖中，∠A'B'C'是∠ABC 的對應角，他們之間有什麼關係呢？
如上圖，A B //AB，∠ABO 與∠A'B'O 為同位角，所以∠ABO=∠A'B'O；
又 B C // BC ，∠OBC 與∠OB'C'為同位角，所以∠OBC=∠OB'C'。
∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠A'B'O+∠OB'C'=∠A'B'C'
也就是∠ABC 以 O 點為縮放中心縮放 3 倍所得到的∠A'B'C'，會滿足
∠A'B'C'=∠ABC。
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例題一：下列各題中，請以 O 為縮放中心，畫出四邊形 ABCD 縮放 3 倍的 圖，並比較兩小題所畫出來的縮放圖，它們對應角的角度是否相同？
(1)
(2)
比較後會發現第(1)小題的縮放圖會與第(2)小題的縮放圖一樣。事實上，
不管縮放中心的位置在哪裡，不會影響圖形縮放前後的角度大小及邊長的 比例關係。而且從討論2 與討論 3 可以知道：「一個圖形縮放成 r 倍時，對 應邊長都會是原來圖形的 r 倍，而且對應角的度數會與原圖形相等。」
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重點提問
1.在下面畫出以 O 點為縮放中心，將△ABC 縮放1
3倍的圖形△A'B'C'：
2.根據上面的課文，請說明以一點將圖形進行縮放後，對應點的位置會有 什麼關係，並利用提問 1 的例子加以說明。
3.根據上面的課文，請說明以一點將圖形進行縮放後，對應邊會有什麼關 係，並利用提問 1 的例子加以說明。
4.根據上面的課文，請說明以一點將圖形進行縮放後，對應角會有什麼關 係，並利用提問 1 的例子加以說明。
5.根據上面的課文，圖形的縮放有什麼性質，並利用提問 1 的例子加以說 明。
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․隨堂練習：
1.畫出以 O 點為縮放中心，將圖形縮放1
3倍的圖形：
2. 下列各小題中，畫出以 A 點為縮放中心，將圖形縮放 2 倍的圖形：
(1)
(2)
3.下圖中，△A'B'C'是以 O 點為縮放中心，將△ABC 縮放的三角形，AB =6、
AC =5、 A B =24、∠CAB=30° ，求：
(1)△A'B'C'是△ABC 幾倍的縮放圖？
(2) A C =？
(3)∠C'A'B'=？
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課文B： 相似形的性質
我們利用縮放來定義相似圖形：「如果有兩個平面圖形，其中一個圖 形經過縮放後，與另外一個圖形全等，我們就稱這兩個圖形相似。」
例如下圖中的四邊形 ABCD，經由縮放後所得到四邊形 A'B'C'D'，與 四邊形 EFGH 全等，我們就稱「四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 相似」，可 以記為「四邊形 ABCD～四邊形 EFGH」，其中以符號「～」來表示相似關 係，讀作「相似於」。
縮放圖形的對應角相等、對應邊成比例。所以相似多邊形會有以下性 質：「當兩個多邊形相似時，其對應角會相等而且對應邊會成比例」。
一般而言，「四邊形 ABCD～四邊形 EFGH」只表示兩圖形相似，不一 定表示 A、B、C、D 的對應點分別為 E、F、G、H，但要應用相似形的性 質，需知道對應點分別為何，因此本教材是依照對應的順序來表示。下面 就利用相似性質來做練習！
縮放 r 倍
全 相 等
似
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例題一：如圖，四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，若∠C=120°、 AB =2、
BC =3、EF=6，請問∠G=？ FG =？
◎解題思維：利用兩個多邊形相似，對應角會相等而且對應邊會成比例。
解：
∠G 是∠C 的對應角，所以∠G=∠C=120°。
EF是 AB 的對應邊、 FG 是 BC 的對應邊，
所以 AB ：EF=BC ： FG ，
2 ： 6 = 3 ：FG 2×FG =3×6
得 FG =9。
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重點提問
下圖中，△A'B'C'為△ABC 以 O 點縮放1
3倍的三角形，
△DEF 是與△A'B'C'全等的三角形。
(1)在上面的圖形中，請說明哪兩個三角形是相似的，並說明原因。
(2)根據上面的課文中，相似形的性質有什麼，並利用提問 1 的例子加以說 明。
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․隨堂練習：
1.如圖，△ABC～△DEF，若∠B=45°、AB =5、
BC =3、EF=12，請問∠E=？ DE =？
2.已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，若四邊形 EFGH 的周長為 108，
而且 AB ： BC ：CD： DA=5：3：2：2，求四邊形 EFGH 各邊邊長。
3.已知△ABC～△DEF，而且∠A：∠B：∠C=1：3：5，求△DEF 各個 內角度數。
4.如圖，長方形 ABCD～長方形 EFGH，
若EF=4、FG =6，若AB 比EF多 2，則 BC 比 FG 多多少？
更多例題
https://youtu.be/zGHyc93oQw4
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課文C： 相似形的判別性質
有兩個多邊形相似時，其對應角會相等且對應邊會成比例。如果有兩 個多邊形的對應角相等且對應邊成比例，這兩個多邊形會相似嗎？
下圖中，四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 對應角相等、對應邊成比例：
∠A=∠E、∠B=∠F、∠C=∠G、∠D=∠H EF FG GH HE 3
AB BC CD DA
以 A 點為縮放中心，將四邊形 ABCD 縮放 3 倍。
如圖，四邊形 AB'C'D'與四邊形 EFGH 對應邊等長、對應角相等，所 以四邊形 AB'C'D'與四邊形 EFGH 全等。故四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 相似。
也就是說：「如果兩個圖形對應角相等、對應邊成比例，則這兩個圖 形就會相似」。接下來就利用圖形的對應角和對應邊來判別兩個圖形是否 相似！
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例題一：請依據各題當中的條件判別兩個圖形是否相似：
(1) (2)
(3)
解：(1)
四邊形 ABCD 和四邊形 EFGH 為兩個正方形，
這兩個正方形的每個角都是直角，所以對應角必定相等。
而正方形 ABCD 的每邊皆為 1、正方形 EFGH 的每邊皆為 2，所以對應 邊也有成比例。
故正方形 ABCD 與正方形 EFGH 相似。
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(2)
四邊形 ABCD 和四邊形 EFGH 為兩個長方形，
這兩個長方形的每個角都是直角，所以對應角必定相等。
兩個長方形寬的比=1：2，但是長的比= 2：3；
所以兩個長方形的對應邊沒有成比例。
故長方形 ABCD 與長方形 EFGH 不相似。
(3)
四邊形 ABCD 和四邊形 EFGH 為兩個菱形，
菱形 ABCD 的每邊皆為 1、菱形 EFGH 的每邊皆為 1.5，
所以對應邊成比例。
但是這兩個菱形的對應角明顯不相等。
故菱形 ABCD 與菱形 EFGH 不相似。
從例題一的(2)(3)小題得知，要同時具備對應邊成比例與對應角相等兩 個條件，才互為相似形。
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重點提問
1. 下圖中，四邊形 ABCD 與四邊形 EFGH 對應角相等而且對應邊成比例，
請試著以 A 為縮放中心畫出四邊形 ABCD 的縮放圖四邊形 AB'C'D'，而且 四邊形 AB'C'D'與四邊形 EFGH 全等。
2.根據上面的課文中，請說明可以如何判別兩個圖形是否相似形，並利用 提問 1 的例子加以說明。
3.根據上面的課文中，請判斷以下 4 個敘述是否正確，並解釋原因。
( )(1)任意兩個正方形都會相似。 因為
( )(2)任意兩個長方形都會相似。 因為
( )(3)任意兩個菱形都會相似。 因為
( )(4)任意兩個平行四邊形都會相似。因為
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․隨堂練習：
1.下列各個矩形當中，哪一個矩形與矩形甲相似？
(甲)
(乙) (丙)
(丁) (戊)
2.如下圖，判斷兩個五邊形是否相似，並解釋原因。
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3.如下圖，已知FG // DE ，則五邊形 ABCDE 與五邊形 ABFGE 是否相似？
為什麼？
4.如下圖，正六邊形 ABCDEF 與六邊形 GHIJKL 是否相似？為什麼？
還是不太懂，請看下面影片 (1)概念
https://youtu.be/WME3GoBVH
(2)更多例題
https://youtu.be/a2opSw9am_U
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也就是△ABC 經過縮放後會與△DEF 全等，所以△ABC~△DEF。
由上可知，SAS 相似性質：「如果知道兩個三角形的兩組對應邊成比 例及所夾的對應角相等，那麼這兩個三角形就會相似」。
接下來就可以利用 SAS 相似性質來練習一些題目！