單片式複合透鏡最佳單元組件設計

第三章繞射/折射複合透鏡最佳單元組件研究

3.2 單片式複合透鏡最佳單元組件設計

在了解複合透鏡的消色差特性之後，我將試著找出對於不同的F 數，單片式複合透鏡最佳化組合的結果。因為F數將直接影響著接收

訊號端的輻照度，

) (

diameter D

length focal

F = f 。由F數的定義中，可以看

到F數越小，輻照度就越高。所以我將分別針對F數=3.5、2.8、2.3、

2.0、1.8 找出最佳的複合解。

首先探討如何判斷是否為最佳解，判斷的依據有兩個，一是利用

光斑圖(Spot diagram)來判斷，理想的光斑是無限小的一點，但在實際光學系統中是不可能達成的，而光斑將會達到某極限(稱繞射極限)，在這種情況下光斑大小稱為愛里斑(Airy Disk)，所以如果設計出來的光斑在愛里斑的大小之內，那麼就可以判斷為在繞射極限內的解，也就可以判定為最佳解。在程式設計上，可以利用 Zemax 來計算愛里斑，如圖 3.4 所示，在設定之後即可在左下角看到愛里斑的值。

圖 3.4 Zemax 中愛里斑的設定

另一判斷方法是利用調制傳遞函數 (Modulation Transfer Function，MTF)，MTF 是光學系統成像品質好壞的重要指標之一。它

的定義為像對比度與物對比度之比，由MTF( )υ 的分佈情況，便可反映出某一光學成像系統的品質。當空間頻率υ逐漸增大時，MTF值會愈來愈小，表示光柵空間頻率越高的像的對比度越來越低。通常會訂一個標準，如MTF值小於 0.2 時，光學系統已經就很難以解析這樣的對比度，其所對應的空間頻率υ便稱為此光學成像系統的解析度極限。

而在 Zemax 中也可以計算出繞射極限的 MTF，如圖 3.5 所示。

圖 3.5 Zemax 中 MTF 繞射極限的設定

有了這兩個判據之後，接著就開始針對 F 數為 3.5 的複合透鏡來做設計，採用的材質為 PMMA，而其中一面加上了繞射面，焦距為 6mm，

孔徑大小為 1.7143mm，複合鏡的厚度約為 2mm，最後的設計結果如圖 3.6~圖 3.8 所示：

圖 3.6 F 數為 3.5 時的 2D 結構圖

圖 3.7 F 數為 3.5 時的光斑圖

圖 3.8 F 數為 3.5 時的 MTF

由圖 3.7 中可以看到半視場角約在 12.5 度時，均方根半徑(RMS Radius)都在愛里斑均方根半徑 5.034μm 以內，所以以光斑圖來做為標準的時候，F 數為 3.5 時所能達到最佳的結果約在半視場角 12.5 度以內。在圖 3.8 中，可以看到當半視場角超過 16 度時，MTF 在空間頻率 50 /mm 時，就會低於 0.2，則光學系統就很難分辨此對比度。如果增加高視場角的權重(weight)，則 MTF 在空間頻率 50 /mm 時高於 0.2 的半視場角就可以提高到 20 度，如圖 3.9 所示。

lps

圖 3.9 F 數為 3.5 時的增加高視場角權重的 MTF

如此可以整理出在 F 數為 3.5 時的最佳解表格。

列於表格表(3.1)。

單片式複合透鏡(焦距為 6mm)

F 數 3.5 2.8 2.3 2 1.8 孔徑(mm) 1.7143 2.143 2.6087 3 3.3333 RMS spot size 在繞射極限內

的半視場角

12.5^。 9^。 7^。 6^。 4^。

MTF>0.2 時的半視場角 20^。 18^。 17^。 16.5^。 15.5^。表 3.1 單片式複合透鏡(焦距為 6mm)的最佳單元組件表格

表(3.2)為焦距為 12mm 時的最佳解。由 F 數公式可以知道，因為焦距增加到兩倍，所以孔徑值也必須增加到兩倍，如此在繞射極限內以及 MTF>0.2 的角度都將降低一些。

單片式複合透鏡(焦距 12mm)

F 數 3.5 2.8 2.3 2 1.8 孔徑(mm) 3.4286 4.286 5.2174 6 6.6666 RMS spot size 在繞射極限內

的半視場角度

10^。 7.5^。 6^。 5^。 3^。

MTF>0.2 時的半視場角度 18.5^。 17^。 15^。 14.5^。 13^。表 3.2 單片式複合透鏡(焦距為 12mm)的最佳單元組件表格

我們可以看到當孔徑值越大的時候，均方根光斑半徑在繞射極限內的

1 -0.0279 -1.04E-02 -7.00E-03 1.09E-02 2 -0.01822 -1.17E-02 -6.70E-03 1.09E-02 3 -0.0494 1.26E-02 -4.80E-03 7.00E-04 表 3.3 F 數為 3.5 單片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

1 -0.0138 -3.88E-03 -2.24E-03 1.52E-03 2 -0.0143 -3.93E-03 -2.25E-03 1.52E-03 3 -0.0242 2.63E-03 -6.46E-04 2.60E-05 表 3.4 F 數為 2.8 單片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

曲面 A4 A6 A8 A10 1 -0.012 -1.90E-03 -1.70E-03 6.52E-04 2 -0.0117 -1.97E-03 -1.69E-03 6.53E-04 3 -0.008 2.00E-04 2.50E-05 -1.90E-05

1 -0.00964 -6.91E-04 -7.80E-05 -1.90E-05 2 -0.00964 -6.92E-04 -7.80E-05 -1.90E-05 3 -0.00838 1.42E-04 -1.50E-05 -5.00E-06 表 3.6 F 數為 2.0 單片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

1 -0.006937 -1.50E-03 -1.10E-04 1.00E-04 2 -0.006937 -1.50E-03 -1.11E-04 1.00E-04 3 -0.006276 7.77E-04 1.79E-04 -1.80E-04 表 3.7 F 數為 1.8 單片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

表(3.3~7)中的非球面係數可以由第二章中(2.19)式計算出和弛垂函數的關係。

3.3 雙片式複合透鏡最佳單元設計

由於單片式的複合透鏡在孔徑比較大的時候，達到繞射極限內的半視場角太小。下面我們來將增加一片玻璃材質，希望能夠以增加一表面來增加在孔徑比較大時達到繞射極限的角度。

一開始也是針對 F 數為 3.5 來做設計，設計的焦距仍為 6mm，孔徑大小為 1.7143mm，材料第一片為玻璃 SF1，厚度約為 1.8mm，第二片為塑膠材料 Pmma，厚度約為 2mm，繞射面加在最後一面之上。圖 3.11~13 為設計之結果：

圖 3.11 兩片式複合透鏡在 F 數為 3.5 時的結構圖

圖 3.12 兩片式複合透鏡在 F 數為 3.5 時的光斑圖

圖 3.13 兩片式複合透鏡在 F 數為 3.5 時的 MTF

由圖(3.12)中可以看到半視場角約在 16 度時，RMS Radius 都在愛里斑以內。以光斑圖來做為標準的時候，F 數為 3.5 時所能達到最佳結果約在半視場角 16 度以內。在圖 3.13 中，可以看到當半視場角超過 16 度時，MTF 在空間頻率 50 line pair/mm 時，就會低於 0.2。如果

增加高視場角的權重，則 MTF 在空間頻率 50 line pair/mm 時高於 0.2 的半視場角就可以提高到 26 度，如圖 3.14 所示。

圖 3.14 兩片式複合透鏡 F 數為 3.5 時的增加高視場角權重時的 MTF

接著我也分別整理出焦距為 6mm 以及 12mm 時，和不同 F 數的情況，

列於表(3.8)和(3.9)中：

兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)

F 數 3.5 2.8 2.3 2 1.8 孔徑(mm) 1.7143 2.143 2.6087 3 3.3333 RMS spot size 在繞射極限內

的半視場角度

16^。 13^。 11^。 8^。 5.5^。

MTF>0.2 時的半視場角度 25.5^。 23.5^。 20^。 19^。 18.5^。表 3.8 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的最佳單元組件表格

兩片式複合透鏡(焦距為

1 -4.80E-03 -4.07E-03 2.44E-03 -5.21E-03 2 -5.40E-03 -2.26E-01 2.32E-01 -7.33E-03 3 1.73E-03 3.64E-03 1.53E-03 -1.90E-04 4 1.71E-03 3.59E-03 1.54E-03 -1.94E-04 表 3.10 F 數為 3.5 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

F#=2.8

1 -6.73E-03 1.12E-03 -8.33E-04 1.88E-04 2 -1.83E-02 1.49E-02 -9.84E-03 1.28E-03 3 3.36E-04 1.12E-03 1.77E-03 5.20E-05 4 4.81E-03 1.14E-03 1.87E-04 5.20E-05 表 3.11 F 數為 2.8 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

1 -5.90E-03 1.36E-03 -6.49E-04 1.00E-04 2 -1.45E-02 1.10E-02 -4.49E-03 7.66E-04 3 -1.43E-04 3.16E-04 3.21E-04 1.95E-04 4 -1.28E-03 3.16E-04 3.19E-04 1.87E-04 表 3.12 F 數為 2.3 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

曲面 A4 A6 A8 A10 1 -6.16E-03 2.42E-03 -9.27E-04 1.25E-04 2 -2.44E-02 2.18E-02 -8.14E-03 1.36E-03 3 -4.74E-04 3.78E-04 1.93E-04 6.50E-05 4 -6.96E-03 3.26E-04 1.96E-04 6.20E-05 表 3.13 F 數為 2.0 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

F#=1.8

曲面 Radius Glass Diameter K 1 -7.42 SF1 3.333 -1.11E+15 2 -2.24 PMMA 3.333 -1.36E+14 3 -4.25 DOE 3.333 2.14E+00 4 -4.24 3.333 2.12E+00

曲面 A4 A6 A8 A10

1 -5.91E-03 3.30E-03 -1.16E-03 1.41E-04 2 -2.69E-02 2.90E-02 -9.83E-03 1.26E-03 3 -7.88E-04 1.23E-04 1.70E-04 4.20E-04 4 -7.89E-04 1.10E-04 1.72E-04 4.30E-04 表 3.14 F 數為 1.8 兩片式複合透鏡(焦距為 6mm)的系統參數

表(3.10~14)中的非球面係數可以由第二章中(2.19)式計算出和弛垂函數的關係。

第四章十倍光學變焦系統分析及設計

4.1 引言：

變焦光學系統是指利用系統中若干鏡組的移動，使系統焦距產生改變，焦距改變使物像之間倍率產生變化。變焦系統在變焦過程中，焦距在一定範圍內以不同的速度不間斷的進行改變，能像和物體位置不變的情況下，獲得連續變焦，產生畫面縮放的效果。此畫面縮放的效果，在使用上帶來了許多的便利，目前已普遍使用在數位相機、照相手機、攝影機等許多光學系統上。因此，變焦系統的設計是現代光學系統中一個重要課題。

4.2 兩群透鏡光學變焦系統：

變焦光學系統的高斯設計，是利用薄透鏡以及近軸公式，依據系統規格要求，安排合適的鏡組數目與各鏡組焦距，並求解變焦時各鏡組間距，以及合理的滑動鏡組軌跡曲線。在設計上，先針對結構較簡單的兩群透鏡的光學系統來做分析。而在之後不論三群或四群的變焦系統，都可以將其中兩群視為組合鏡組，利用組合鏡組中的兩群透鏡移動來達到變焦的結果，所以在論文中先分析兩群透鏡的光學系統，

再將此兩群視為組合透鏡應用到十倍光學變焦系統中。

4.2.1 符號定義：

探討薄透鏡之透鏡方程 Gauss 公式如下(假設 =n₁ n₃=1)：

Φ1 Φ2

l1 d1 l₂'

圖 4.2 兩群透鏡之有限物距變焦系統

其中為物像距離，與為透鏡 1 與透鏡 2 之焦距，此為已知固定不動，

T12 F₁ F₂

M1與M₂分別為透鏡 1 與透鏡 2 的放大倍率，此為變動之值。當變焦時，改變代入(4.5)式可得_l₁ M₁，再將其代入(4.10)式可得

M2，最後將所得的這些值代入(4.6)至(4.9)式，即可計算得出所要的相關係數值如d₁與_l^′₂。

4.3 四群鏡組的十倍光學變焦系統

在本論文中，設計了一個由四群透鏡(正負正正)所組成的光學變焦系統。在設計中如果沒有加上一些限制條件，系統會存在許多組解，所以在設計上，加上了一限制條件，此限制條件為第一群和第四群為固定鏡組，組合鏡組由第二和第三群所構成，以下將探討此系統結構。

φ2 φ3

組合鏡組兩主平面間的距離：

φ1、φ₂、φ₃、φ₄後就可以得到的值。將(4.14)式帶入到(4.11)式，可以 10:1，F1=39.7435mm、F2=-7.50043mm、F3=14.3799mm

、F4=55.3522mm

第五章繞射/折射複合元件應用在十倍光學變焦鏡鏡組的設計

5.1 引言：

由上一章節的描述，可以知道光學變焦的理論，接下來本章節將利用第三章中所建立的繞射/折射複合元件最佳化的結果，應用到數位相機的 10 倍光學變焦鏡頭的設計，來觀察複合元件應用到光學系統中是否可以達到之前最佳化所達到的結果。而在數位相機和傳統相機的比較上，數位相機需要較小的 F 數，較短的焦距和較長的後焦距，這些在設計的時候必須要注意到。

5.2 初始架構：

採用上一章最後一範例的理論模擬，來設計一個使用在數位相機系統的 10 倍光學變焦鏡組，最大的視場角約為 50 度，焦距為

5.048mm~50mm，F 數為 2.8~3.6，感測器端採用 1/4 吋的 CCD。期望能夠在第三章的基礎上設計出一個比市面上所使用的片數較少且系統複雜度較小及重量較輕的鏡組。由於光學鏡頭高斯結構的安排是光學系統設計的基礎，高斯設計的好壞，往往直接影響系統的成像品質。由於四群 10 倍光學變焦系統存在著許多組的解，所以一開始，

我參考了美國專利 USP9157494 的系統參數值。

第一群第二群第三群第四群

stop 望遠

圖 5.1 專利 USP61574942 薄透鏡光線追跡圖

廣角

d¹ d² d³ d⁴ d⁵

中間

EFL f^G1 f^G2 f^G3 f^G4 d¹ d² d³ d⁴ d⁵

廣角

5.048 7.753 25.057 5.752 4.44 13.483

中間

17 19.674 13.136 2.77 2.808 18.096

望遠

39.7435 -7.50043 14.3799 55.3522

28.651 4.159 3.867 3.437 16.371

表 5.1 專利 USP61574942 系統參數值單位(mm)

在此專利中，和第四章中一樣是採用四群(正負正正)的架構，但在專利中是滑動第二、三、四群，並固定第一群及光闌的方式，和我在第四章中分析的架構並不完全相同。在理論上可以發現如此架構會產生多種變化的滑動軌跡，這不利於我們分析系統的初始架構，所以我僅參考了其中第一至第四群的焦距，以及系統各個組態的焦距，來做為本論文系統中各群透鏡焦距的初始值。接著再利用第四章中的理論，固定第一和第四群透鏡以及光闌的位置，用第二第三群透鏡來做為變焦鏡組，如此可以得到系統的初始值，將初始值帶入到光學軟體 Zemax中並優化後，得到如表 5.2 之值。薄透鏡光線追跡圖如圖 5.2 所示。其中因為第四群已經改變為固定鏡組，所以在表 5.2 中d⁵的值是固定的。

stop 望遠第四群第三群

第二群第一群

d¹ d² d³ d⁴ d⁵

中間

廣角

圖 5.2 薄透鏡光線追跡圖

EFL f^G1 f^G2 f^G3 f^G4 d¹ d² d³ d⁴ d⁵

39.7435 -7.50043 14.3799 55.3522

28.227 4.699 3.529 6.258

15.529

3. F 數太小 2. 折射率若太低，則光線無法達到系統所需的偏折

1. 收光角度太大

圖 5.3 設計時所遭遇到的問題

5.3.1 複合元件用於第一群透鏡：

在將複合元件應用到初始系統之前，我先加入一低通濾波片，它的作用是提高系統成像整體分辨率把無貢獻的高頻部分過濾掉，使光學系統的調制傳遞函數曲線(MTF)呈現出如圖 5.4 所示的狀態。低通

在文檔中繞射/折射複合透鏡最佳單元組件研究 (頁 32-0)

第三章 繞射/折射複合透鏡最佳單元組件研究