四、可約構形與演算法的設計

圖 定向

DG

有向圖

分配律

DG

f 圖多項式

( ) , ( )

even DG odd DG

ε ε

歐拉有向子圖

列表著色定理 ( )D_G

ε

≠ 係數 0

1 2

1d 2d ⁿ

nd

x x x 特殊項

奇偶性

( ) ( )_G

even DG odd D ε ≠ ε

i i 1 A d≥ + 顏色列表

1 2 充分條件

( , , , ) 0

DG n

f α α  α ≠ 列

表 著 色

對 應

有向圖

歐 拉 定 向

四、可約構形與演算法的設計

給定圖G 與列表數量函數 : ( )_G V G → ，當G 的結構很龐大時，判定G 是否為可_G-列 表著色為一個有難度的問題。因此我們試圖透過簡化圖形的規模，降低列表著色的難度，希 望能夠設計一個演算法，將問題化繁為簡，進一步能完成列表著色。

可約構形reducible configuration

對於圖G ，將列表數量函數特別記為 : ( )_G V G → ，在考慮G 是否為可_G-列表著色的 前提下，若H 為G 的子圖，對v V H∈ ( )，為了迴避v 在 ( ) \ ( )V G V H 中相鄰的點未來所使用的 顏色，則我們將v 原本有的列表數量_G(v)減去

(

d v d v_G( )− _H( )

)

。因此對於v V H∈ ( )，我們設計

新的顏色數量函數_{G H,} : ( )V H → ，其定義為『_{G H,} ( )v =_G( )v −

(

d v d v_G( )− _H( )

)

』。此外對於 新的顏色數量函數_{G H,} ，若H 為可_{G H,} -列表著色，則稱H 搭配函數_{G H,} 為G 的『可約構形

（reducible configuration ）』，並將此構形記為『

(

H , _{G H},

)

』。

例如：給定下圖G ，令 : ( )_G V G → ，其中

4, 1 3, 2,3,4,5 ( ) 2, 6,7,8

1, 9.

G i

i v i

i i

 =

 =

=  =

 =





當 ；

當 ；

當 ；

當

。令子圖H 的頂點為

1, ,2 3 4

{ , ( ) v v }

V H = v v ， 邊 為 E( ) {H = v_{1 2}v v v v v, _{2 3}, _{3 4},v₄v₁}。 對 任 意 v V H_i∈ ( ) ， 定 義

( )

, ( ) ( ) ( ) ( )

G H vi = G vi − d vG i −d vH i

  ，可知_{G H,} ( )v =_i 2，i =1,2,3,4。因為H 是可G H, -列 表著色，所以

(

H , _{G H},

)

為G 的一個可約構形。

v1 v₂ v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

H

G

v1 v₂ v3

v4H

{_, _} {_, _}

{_, _} {_, _}

v5

v6

v7

v8

v9

' G

{_, _}

{_, _, _}

{_, _}

{_, _}

{_}

+

圖G 的一個可約構形

(

H , _{G H},

)

除了與子圖H 的結構有關以外，對點v V H∈ ( )而言，亦跟 點v 分別在G 與 H 的『度數差 ( )d v d v_G − _H( )』，以及『函數_G( )v 的值』有密切關係。以下引理 將用來說明我們如何利用可約構形來化簡圖形：

Lemma 4：利用可約構形化簡圖形

給定圖_G與列表數量函數 ，令_G H為_G的子圖，且

(

H , _{G H},

)

為_G的可約構形，令_G刪除_H 之後的剩餘圖形為_G'。若_G'為可_G-列表著色，則G亦為可_G-列表著色。

【證明】：

給 定 任 意_G -列表L V G →: ( ) 2^ u V G∈ ( ) ， 皆 滿 足 L u( ) = _G( )u 。 令 '

G G H= − 為圖_{G H G'}為可_G- L -列表著色

': ( ')

c V G →  c u'( )∈L u( ) u V G∈ ( ')。考慮任意點v V H∈ ( )

{ }

*( ) ( ) \ '( ) : ( ') _G( )

L v =L v c u u∈V G 且u∈N v 。因為集合

{

c^{'( ) :}u u ∈V G^{( ')}且u N v∈ G^{( )}

}

( ) ( )

G H

d v d v− 且 L v( ) = _G( )v ， 所 以 L^*( )v ≥ _G( )v −

(

d v_G( )−d_H( )v

)

=_{G H}, ( )v 。 因 為

(

H , _{G H},

)

為_G的可約構形，所以H 為可_{G H,} -列表著色，由此可知H 存在一個L -列表著色^*

*: ( )

c V H →  使得c v L v^*( )∈ ^*( )，其中v V H∈ ( )。整合著色函數c 與' c^*，定義c V G →  ，: ( )

其中 ( ) _*'( ) , ( ') ( ) , ( ).

c v v V G c v c v v V H

 ∈

=  ∈

當 ；

當 ，可知c 為圖G 的 L -列表著色，故G 亦為可G-列表著色。■

對於圖G，給定列表數量函數_G: ( )V G → ，考慮_G的可約構形

(

H , _{G H},

)

，可知任意 ( )

v V H∈ ，其中函數_{G H,} 定義為_{G H}, ( )v =_G( )v −

(

d v d v_G( )− _H( )

)

。由於可約構形中的各點度數 是重要的資訊，對於可約構形

(

H , _{G H},

)

，令v V H∈ ( )，我們欲討論_G( )v 與d v 所需滿足的_G( ) 條件。若_G的一個定向D 滿足_G ε_even( )D_G ≠ ε_odd( )D_G ，則特別稱此定向D 為『歐拉定向』。_G 我們將設計一套方法，可以建構一系列的可約構形。以下特別介紹其中兩種建構類型。

給定圖G與列表數量函數_G: ( )V G → 。令H為_G的子圖，若_H存在歐拉定向D ，根_H 據 Theorem 4 的結論 3，欲使H 為可_{G H,} -列表著色，其充分條件為『對任意v V H∈ ( )，

, ( ) _H( ) 1

G H v d v≥ D⁺ +

 恆成立』。由此可知『_v在_G中的度數_{d vG( )}』與『_v的列表數量_{G( )v} 』將 能 決 定

(

H , _{G H},

)

是 否 能 成 為 圖 _G 的 可 約 構 形 。 然 而 _{G H,} ( )v d v≥ _D⁺_H( ) 1+ ⇔

( )

( ) ( ) ( ) _H( ) 1

G v − d v d vG − H ≥dD⁺ v +

 ⇔ d v_G( )−_G( )v ≤d v d_H( )− _D⁺_H( ) 1v − =d_D⁻_H( ) 1v − 。這意味著

『d v_G( )− _G( )v 』的值能成為

(

H , _{G H},

)

為_G的可約構形的充分條件。以下我們將依照上述的 概念，設計兩種建構可約構形的方法。

令圖H 與圖 K 分別存在歐拉定向D 與_H D 。令_K v V H1∈ ( )，u V K₁∈ ( )，將v 與₁ u 合併為同1

一點，合併後的點記為v ，將所得的新圖形特別記為『₁ H₍₁₎』。令_K'為圖_K刪除點_u1後的剩 餘 圖 形 。 我 們 定 義 圖 _H(1) 的 點 集 合 為 _{V H( (1))}=_{V H( )}∪_{V K( ')} ， 邊 集 合 為

{ }

(1) 1 1

( ) ( ) ( ') : ( )

E H =E H ∪E K ∪ v r ur∈E K 。

(1) H

H v1 + u1 K H ： v1 K

對於圖_H(1)，各點的度數為 ₍₁₎

1

1 1 1

( ) \{ } (

( ) , ( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

) .

'

H

H K

H K

d v v

d

v V H

v d v v

d v d u v V

v K



= 

∈

+ =



∈ 當

； 當

； 當

。以下我們將建立充

分條件，使得

(

H (1), _{G H}, (1)

)

為圖_G的一個可約構形。

Theorem 5：建構可約構形-I

上述討論可知對任意v V H∈ ( ₍₁₎)， 列 表 數 量 函 數

H(2) 的 一 個 歐 拉 定 向 ， 其 中 D₍₂₎ 的 各 點 外 度 數 為

上述的列表著色演算法，其概念如同在解方程式時，若能利用因式分解，簡化方程式的

在文檔中 列表著色可約構形之建構法 (頁 24-30)