上一節我們分析了高一學生在「一元二次不等式的解題測驗」中全部 21 個 小題的答題錯誤類型，經整理、歸納、統計後，發現學生在某些一元二次不等式 題目上犯錯情形相當嚴重，或是某些題目的錯誤具有相同屬性，本文稱這些錯誤 類型為「主要錯誤類型」。在此將討論這些主要的錯誤類型及其錯誤的產生原因，
對於一些零星或者偶發性的錯誤將不多加著墨。由於錯誤類型與原因沒有必然的 一對一關係，且錯誤原因常是錯綜複雜非單一原因所造成的，因此本研究將盡可 能釐清學生錯誤原因之處，進而研擬出一套有效的補救教學措施。
一、高一學生解一元二次不等式的主要錯誤類型 (一) 任意開方
學生在下列一元二次不等式的試題有如下的表現：
1. 在試題二、2. 解不等式 x2 >6的解題中，總數 118 位學生有多達 50 位 作答的答案為x>± 6或是x> 6
2. 在試題二、5. 解不等式 9x2 + x6 +1>0的解題中，也有 51 位學生的答 案為(3x+1)2 > ⇒0 3x+ > ⇒1 0
3
−1
>
x
3. 在試題二、6. 解不等式 4x2 − x4 +1≤0的解題中，有 47 位學生的作答答 案為(2x−1)2 ≤ ⇒0
2
≤1
x (或 2
<1 x )
4. 在試題二、10. 解不等式 (2x−3)2 <9的解題中，有 35 位學生在其解題 的過程曾寫出下列式子「(2x−3)2 <9⇒2x−3<3」或是
「(2x−3)2 <9⇒2x− 3<±3」
5. 在試題二、3. 解不等式 −3x2 +5x≥0的解題中，有 8 位學生其作答的過
程曾寫出下−3x2 +5x≥0⇒
36 ) 25 6
(x−5 2 ≤ ⇒ 5 5 6 6
x− ≤ (或 5
± ) 6
⇒ x≤0 (或 5 0≤ ≤ ) x 3
6. 在試題二、4. 解不等式 x2 − x2 −2>0的解題中，有 18 位學生其作答的 答案為x2 − x2 −2>0⇒(x−1)2 > ⇒3 (x−1)> 3 (或x− > ±1 3)
⇒ x> +1 3 (或x> ±1 3)
7. 在試題二、7. 解不等式 x2 − x2 +4<0的解題中，有 11 位學生其作答的 答案為x2 − x2 +4<0⇒(x−1)2 +3<0⇒ x<1+ 3i
8. 在試題二、8. 解不等式 x2 +3x+4>2x2 +5x+1的解題中，有 2 位學生 在作答的過程曾列出如下的式子x2 +3x+4>2x2 +5x+1⇒
2 2 3 0
x + x− < ⇒(x+1)2 <4⇒ (x+1)<±2
9. 三、4.「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(四)，求不等式ax2 +bx+c>0的解 x 之範圍為？」在此題的解題中，有 5 位學生作答的情形為
⇒
>
+1) 0 2
( x 2 1
x> − 2
4
2
圖(四)
分析學生在上面 9 個試題的解題過程，發現有相當多的學生解一元二次 不等式時，常使用「任意開方」----未考慮不等式兩邊的正負，而任意將不等 式兩邊開方，絲毫沒有考慮其是否合乎不等式運算邏輯，也因為這個「任意 開方」的錯誤概念導致其解題發生錯誤。
( 1
− ,0)2
從上節的錯誤類型分析及學生訪談中，我們發現這類錯誤有些是來自於
或乘以負數的運算時，忽略了不等式的符號必須變號，也就是犯了「變號錯 誤」。根據上節學生的錯誤答案及訪談中，得知「變號處理錯誤」的原因，
有些來自於學生對不等式的運算不熟悉，更甚者是學生將先前的知識對一元 二次不等式作「錯誤的類推」，認為解不等式和解方程式一樣，只是改個符 號罷了，也因此造成變號處理錯誤。
(三) 任意平方
在二、9. 解不等式 3x2 − x− 3>0的解題中，發現有 17 位學生作答 的過程為 3x2 − x− 3>0⇒3x4 − x2 −3>0。顯然學生在此題的解題上受
到係數 3 的影響，為了去除根號而將其平方，因而採取「任意平方」---未 考慮是否合乎運算邏輯，而任意將不等式的每一項均平方，也因為這個錯誤 概念導致其解題發生錯誤。
從第一節的討論中得知，學生在處理含有根號的不等式時，往往受到先 前既有的觀念影響，亦即「要去除根號必須平方」。因此當學生在解不等式 時碰到式子中有某一項具有根號時，常任意平方而不管如此的運算是否合乎 邏輯，在式子中濫用「a b c+ + > ⇔0 a2+b2+c2 > 」。這也是起因於學生對0 不等式的運算邏輯不清楚，而且將先前平方的觀念對不等式作「錯誤的類 推」。
(四) 產生虛數比大小的謬誤
在二、7. 解不等式x2 − x2 +4<0的解題中，有 26 位學生的答案為 i
x
i 1 3
3
1− < < + 。分析其解題過程，發現學生在解此一元二次不等式時，
也把它當成解方程式來操作，先解x2 − x2 +4=0得兩根為 x=1+ 3i或 i
3
1− ，然後得解為1− 3i<x<1+ 3i。
從上可明顯地看出學生犯了「虛數比大小的謬誤」，且根據上節的錯誤類型 分析及訪談中，發現這種錯誤的產生實因學生受到老師教學口訣、及不當記
憶公式的影響。
細究其原因，我們認為學生可能是因為不當利用教科書中所列的公式而 產生錯誤。當談及解一元二次不等式時，有些版本的教科書會列出以下兩個 公式：
(a) α,β 為實數且α < ，則不等式 (β x−α)(x−β)< 的解為0 α < x<β 。 (b) α,β 為實數且α < ，則不等式 (β x−α)(x−β)> 的解為0 x>β或
α
<
x 。
因此，許多學生就記憶上述兩個公式來解一元二次不等式。且根據研究 者和辦公室裡的同仁討論得知，許多老師為了幫助學生記憶或增快其解題速 度，往往會編製如下口訣：「解一元二次不等式時，就先解一元二次方程式，
得一元二次方程式兩根後，小於 0 的不等式其解在兩根之間，大於 0 的不等 式其解在兩根外。」但是，往往許多學生只記得公式或口訣，至於如何使用 或在什麼情況可以用，什麼情況不能用，常常搞不清楚，造成解題錯誤。
(五) 將領導係數恆當成正數 以下為學生的作答情形:
1. 在二、3. 解不等式 −3x2 +5x≥0的解題中，有 30 位學生其作答的過程 為−3x2 +5x≥0⇒ x(− x3 +5)≥0⇒ x or
3
≥5 x≤0或 3
> 5
x or x<0，完全 不考慮此時二次項的係數為負數。
2. 在三、2.「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(二)，求不等式ax2 +bx+c≤0的 解 x 之範圍為？」
6
4
2
(-3,0) (1 2,0)
圖(二)
在此題的解題中，有高達 48 位學生，直接由圖形找出不等式的解，而將答
案寫為 2
3≤ ≤ 1
− x 或
2 3< < 1
− x 。這些學生似乎沒注意到此時不等式二次項 係數為負數。從上可明顯地看出學生犯了「將領導係數恆當成正數」的錯 誤，而這樣的錯誤類型往往起因於學生死背一元二次不等式的解題公式。
此錯誤類型雖與上述的「產生虛數比大小的謬誤」錯誤類型不同，但 深究其原因發覺皆是受到老師教學口訣、及不當記憶公式的影響。這造成 許多學生在解題時憑著公式或口訣胡亂作答，同時也產生了一些令老師們 始料未及的錯誤。
(六) 過度使用「無解」的概念
在二、7.解不等式 x2 − x2 +4<0的解題中，發現有 16 位學生在作答的 過程寫著：因為產生虛數，如x2 − x2 +4<0 ⇒
2 12 2± −
=
x ，所以答案為
無解。顯然學生在解一元二次不等式時，常將其視為在國中時期解一元二次 方程式一般，只要一元二次方程式的兩根為虛數時，即認為此一元二次不等 式必為無解。
從上節學生的錯誤類型分析及訪談中，發現這種過度使用「無解」概念 的錯誤類型，實因受到國中時解一元二次方程式產生無解時的影響。學生在 國中時期對於一元二次方程式ax2 +bx+c=0，曾建立如此的概念：當
0
2 − ac4 <
b 時，一元二次方程式ax2 +bx+c=0無解。而學生在解一元二次 不等式時又常當成一元二次方程式一般來處理，也造成將一元二次方程式
2 +bx+c=0
ax 無解的情況錯誤類推至解一元二次不等式。
(七) 不會由二次函數圖形直接看出一元二次不等式的解 以下四題為與二次函數圖形密切相關的題目：
1. 三、1. 「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(一)，求不等式ax2 +bx+c>0的解 x 之範圍為？」
-2
-4 圖(一)
2. 三、2.「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(二)，求不等式ax2 +bx+c≤0的解 x 之範圍為？」
6
4
2
圖(二)
3. 三、3.「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(三)，求不等式ax2 +bx+c≤0的解 x 之範圍為？」
4
2
圖(三)
4. 在三、4.「y=ax2 +bx+c的圖形為圖(四)，求不等式ax2 +bx+c>0的解 x 之範圍為？」
(3, 0) (-1, 0)
(-3, 0)
(1 2, 0)
(0,1)
4
2
圖(四)
以上 4 題是有關「給定二次函數圖形去找出一元二次不等式解」的試 題，且是多數老師們認為屬於簡單且不需經過計算就可直接寫答案的問題。
分析學生答錯的情形(如下表 4-2-2)，發覺學生面對這種問題，有些學生不知 如何下手而空白，因此空白率不低。至於在作答的學生中，有相當多比例的 學生仍習慣選擇以代數操作的方法來解題，試圖由二次函數圖形與x軸交 點，找出該二次函數y=ax2 +bx+c的係數 a、b、c，然後再求出不等式的 解，因計算過程複雜，導致答案容易出錯。此外，當二次函數圖形與x軸無 交點或僅有一交點時，學生將不容易求出y=ax2 +bx+c的係數 a、b、c，
面對這類型的問題也就顯得束手無策，這也是三、3. 及三、4.小題空白率特 別高的原因。
歸納學生的犯錯主因在於許多學生無法由二次函數圖形看出一元二次 不 等 式 的 解 。 學 生 不 知 道 將 ax2+bx c+ > ( 或0 ax2+bx c+ ≤ ) 轉 化 成0
2 0
y=ax +bx c+ > (或y=ax2 +bx c+ ≤ )來看，即無法將變數0 x和一元二次 不等式值，對應成函數關係，因此不能由二次函數圖形中看出一元二次不等 式的解，即無法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正確的聯結。
【表 4-2-2】第三大題答題空白人數與代數法解題人數
題目 空白人數 選擇從圖形上的點解題作答人數/選擇從圖 形上的點解題答錯人數
三、1 6 47/22 三、2 18 26/23
( 1
− ,0)2
三、3 31 14/12
們不知道用二次函數 y=ax2 +bx+c的圖形來判斷二次式ax2+bx+c恆為 正數或恆為負數的充要條件，無法將一元二次不等式和二次函數的圖形作正 確的聯結只是記憶公式及規則來解題或隨意湊個算式了事，而沒有理解其所 學的教材背後所隱藏的概念。
(九) 認為不等式的解只包含整數的情形
在一、4.「若 x 為實數、滿足x2 − x4 −5<0的 x 有多少個解？」的解題 中，有 51 位學生其作答的答案為−1<x<5，x=0、1、2、3、4 五個解。
由學生答題的過程中，發現大多數的學生都能求出不等式x2 − x4 −5<0的 解為−1<x<5，卻認為介於−1<x<5的實數只有x=0、1、2、3、4 五個整 數，深究原因得知學生先備知識缺乏以致於對於實數和整數的定義混淆不 清，所以當題目問「滿足該不等式時的x，有多少個解？」時就有取整數的 趨向，總認為答案必為有限個，常以x為整數作答。
二、一元二次不等式主要錯誤類型的產生原因
綜上所述，學生在各主要錯誤類型其產生的原因可歸納為下面幾點：
(一) 將先前學習過的知識作錯誤的類推
學生的學習會受到以前的學習經驗所影響，常將以前學過的規則使用在 新的情境中，如果以前學過的材料與現在的學習內容原則、條件和限制不相 同時，便會發生錯誤。本研究發現學生在解一元二次不等式時即常出現如此 的情形，因此詳細的情形說明如下：
學生的學習會受到以前的學習經驗所影響，常將以前學過的規則使用在 新的情境中，如果以前學過的材料與現在的學習內容原則、條件和限制不相 同時，便會發生錯誤。本研究發現學生在解一元二次不等式時即常出現如此 的情形，因此詳細的情形說明如下：