圓的切線段長：

(2)【法二】：

CP^{__________＼}為垂直L 的法向量，可利用點向式求出切線 L。

具體求法如下：

若_{CP ( , )a b}

＼ __________

，則可設L 為 ax by k  ，再將 P 點代入即可求出 k。

2. 過圓外一點求切線（兩解）：

設切線L 的斜率為 m，再利用點斜式寫出 L。

利用「d C L( , ) 」，解出切線斜率 m： r

①若m 有求出兩相異解，則利用點斜式可求出 L 的兩解。

②若 m 恰有一解，則另一切線為 m 不存在的直線，即另一解 為「過P 的鉛直線」。

3. 圓的切線段長：

(1)定義：

過圓外一點P 作圓的兩切線切圓於 A、B 兩點，則稱 PA ( PB ) 為P 對該圓的「切線段長」。

(2)【法一】：

設圓心為C、半徑長為 r，則過 P 的切線段長

2 2

PA PB  PC r 。 (3)【法二】：

設P x y ， ( , )_{0 0}

①若圓方程式為(x h )² (y k )² r²（其中r0），則切線段長

2 2 2

0 0

( ) ( )

PA PB  x h  y k r 。

②若圓方程式為x²y² dx ey   ，則切線段長 f 0

2 2

0 0 0 0

PA PB  x y dx ey  。 f 補充

求 過 點P(3,1)且 與 圓(x1)² (y2)²  相5 切的直線方程式。

由於P 代入圓的標準式的左式得

2 2

(3 1)  (1 2)  等於右式，故 P 在圓5 上為切點。

設圓心為C(1,2)、切線為L。

因CP^{__________＼} (3 1,1 2) (2, 1)    為垂直切線L

的一法向量，因此可設L 的方程式為 2x y k  。

將P 代入可得 k=5，故 L： 2x y  。 5

求過圓(x6)²(y4)² 25上一點 P( 3,8) 的切線L 的方程式。

設圓心為C( 6,4) 。

因 CP^{__________＼}    



( 3) ( 6),8 4



(3,4) 為 垂 直

切線L 的一法向量，因此可設 L 的方程式 為3x4y k 。

將P 代入可得k   9 32 23 ， 故L： 3x4y23。

類題 9

求過圓x² y²6x8y 上一點 (1,1)0 P 的切線L 的方程式。

4x3y 1 過圓上一點求切線、點斜式y y ₀ m x x(  ₀)或點向式ax by ax  ₀by₀

教師演示 9 進 階 題 學生練習 9

求過P(7,5)且與圓(x2)² y² 10相切的直

求過點P(2, 2) 且與圓(x1)²(y2)²  相1

求斜率為 且與圓1 x²y²4x8y18 0 相切的直線方程式。

圓方程式可化為(x2)²(y4)²  。 2 設圓心為C(2, 4) 、半徑長r 2、 切線為L。

因切線斜率為 ，故可設 L 為 y1    ，x k 即x y k   。 0

由d C L( , ) 可得r

2 2

2 ( 4) 1 1 2

  k

  ， 化簡可得   ，即2 k 2    2 k 2， 因此  或 0。 k 4

故切線方程式為x y   或4 0 x y  。0

求斜率為4

3 且與圓x² y²12x4y36 0 相切的直線方程式。

圓方程式可化為(x6)²(y2)²  。 4 設圓心為C(6,2)、半徑長_{r 4 2}、 切線為L。

因切線斜率為4

3，故可設L 為 4

y 3x k ， 即4x3y3k  。 0

由d C L( , ) 可得r

2 2

4(6) 3(2) 3 4 ( 3) 2

  k

   ，

化簡可得18 3 k 10，即_{18 3 k  10}， 因此3k   或8 28。

故切線方程式為4x3y  或8 0 4x3y28 0 。

類題 12

求斜率為3 且與圓x² y²2x6y  相切的直線方程式。 1 0

3x y 3 10 0 圓的切線、點斜式y y ₀ m x x(  ₀)

教師演示 12 進 階 題 學生練習 12

已知坐標平面上一圓方程式為

求點P(4,6)到圓(x1)²(y2)²  的切線9 段長。

設圓心為 (1,2)C 、半徑長r 9 3 、 切線為L、切點為 A 和 B。

如圖，_{PC (4 1)} ²_{ (6 2)}² _5， 故切線段長

2 2 52 32 4

PA PC AC

      。

＜另解＞

切線段長 (4 1) ² (6 2)² 9 4。

求點(7, 4) 到圓(x5)²(y6)²  的切線3 段長。

切線段長 (7 5) ²  ( 4 6)² 3 5。

類題 14

求點(3,4) 到圓(x5)²(y2)² 19的切線段長。

9 圓的切線段長

教師演示 14 進 階 題 學生練習 14

(1) 求 點 (3,4) 到 圓 x² y²2x4y  的1 0 切線段長。

(2)求點 (0,1) 到圓2x²2y² 3x4y 3 0 的切線段長。

(1)切線段長

2 2

3 4 2 3 4 4 1 6

        。 (2)圓的一般式為

2 2 3 3

2 0

2 2

x y  x y  。 切線段長

2 2 3 3 9

0 1 0 2 1

2 2 2

        3 3 2

2 2

  。

(1)求點 (8, 3) 到圓x² y²12x2y33 0 的切線段長。

(2) 求點 (1, 1) 到圓3x²3y²4x5y 6 0 的切線段長。

(1)切線段長

2 2

8 ( 3) 12 8 2 ( 3) 33 2

          。 (2)圓的一般式為

2 2 4 5

3 3 2 0

x y  x y  。 切線段長

2 2 4 5

1 ( 1) 1 ( 1) 2 3

3 3

          。

類題 15

(1)求點 (10,4) 到圓x²y²8x6y24 0 的切線段長。

(2)求點 (2, 7) 到圓2(x1)²2(y3)²  的切線段長。 1

(1)6 (2)7 2 2 圓的切線段長

教師演示 15 進 階 題 學生練習 15

設坐標平面上一圓的方程式為(x3)² (y1)² 36，其圓心為C。過該圓外一點 (5,7)P 作圓 的兩切線，分別切圓於A、B 兩點。求：

(1)四邊形PACB 的面積 (2) AB 長 (3)△PAB 的外接圓方程式。

由圓標準式知圓心C( 3,1) 、AC BC 36 6 ， 故_{PC [5 ( 3)] } ²_{ (7 1)}² _10。

因此PA PB  PC²AC²  10²6² 8。 (1)四邊形PACB 的面積

( PAC 2

  的面積) 1

2 PA AC 2 48

 

    

  。

(2)△PAC 中，1 1

2PA AC  2 PC AD ，因此可得 8 6 48 10 10 AD   ，

故 48

2 5 AB AD  。

(3)由於PAC PBC90，故四邊形PACB 為圓內接四邊形（∵對角互補）。

因此P、A、C、B 四點共圓，故△PAB 的外接圓即直角三角形△PAC 的外接圓，

所以PC為該圓的直徑。

因此該外接圓的圓心為 ^{5 ( 3) 7 1,}

 

^{1, 4}

2 2

  

  

 

  、半徑長為1

2PC ， 5 故圓方程式為(x1)²(y4)² 25。

圓的切線段長

教師演示 16 深 究 題

學生練習 16

設坐標平面上一圓的方程式為(x2)²(y2)² 64，其圓心為C。過該圓外一點 (10,4)P 作 圓的兩切線，分別切圓於A、B 兩點。求：

(1)四邊形PACB 的面積 (2) AB 長 (3)四邊形 PACB 的外接圓方程式。

由圓標準式知圓心 (2, 2)C  、AC BC  64 8 ， 故_{PC (10 2)} ²_{  [4 ( 2)]}² _10。

因此PA PB  PC²AC²  10²8² 6。 (1)四邊形PACB 的面積

( PAC 2

  的面積) 1

2 PA AC 2 48

 

    

  。

(2)△PAC 中，1 1

2PA AC  2 PC AD ， 因此可得 6 8 48

10 10

AD   ，故 48

2 5 AB AD  。

(3)由於PAC PBC90，故四邊形PACB 為圓內接四邊形（∵對角互補）。

因此P、A、C、B 四點共圓，故四邊形 PACB 的外接圓即直角三角形△PAC 的外接圓，

所以PC為該圓的直徑。

因此該外接圓的圓心為 10 2 4 ( 2)

 

, 6,1

2 2

  

  

 

  、半徑長為1

2PC ， 5 故圓方程式為(x6)² (y1)² 25。

類題 16

過圓_(x2)²_(y2)² _25外一點P(7,10)作圓的兩切線，分別切圓於A、B 兩點。求：

(1)四邊形PACB 的面積 (2) AB 長 (3)△PAB 的外接圓方程式。

(1)60 (2)120 13 (3)

2

9 2 169

( 4)

2 4

x y

     

 

 

自我 評量 _評量

自我

1. 已知圓方程式為x²y²4x8y12 0 ，則點 (2, 1)P  )與圓的位置關係為 P 在 ^圓內

（「圓外」、「圓上」或「圓內」）。

2. 坐標平面上，已知點 (7, 7)A  、圓x² y²8x6y56 0 。設 P 為圓上一點， PA的最大值 為M、最小值為 m，則數對 ( , )M m  (14,4) 。

3. 在圓(x7)²(y5)² 25上離A(1, 3) 最近的點 B 坐標為 (4,1) 、最遠的點 C 坐標為 (10,9) 。

4. 已知一圓方程式x²y² 4x2y20 0 ，則：

(1)該圓與L₁: 3x4y  的交點數為8 0 2 。 (2)該圓與L₂: 24x7y70 0 的交點數為 1 。 (3)該圓與L₃: 2y  的交點數為9 0 0 。

5. 設圓x²y²10x 與直線 : 30 L x4y k  有交點，則 k 的範圍為0 10 k 40 。 6. 圓x²y²4x2y k  與直線 20 x y   不相交，則 k 的範圍為5 0 15 k 5 。 7. 設P 為圓(x3)²(y6)² 72上的點，L x: 5 12y  為一直線，則 P 到 L 的最大距離4 0

為 6 2 7 、最小距離為 0 。

8. 已知直線 :L x y   與圓3 0 (x3)²(y4)² 64交於A、B 兩點，則AB 長為 2 14 。 9. 過點 (1, 1)P  且與圓x² y²14x10y26 0 相切的切線方程式為 4x3y7 。 10. 過點 (5,3)P 且與圓(x1)²(y2)²  相切的切線斜率為1 8

0 15

m 或 。

11. 過P(–1, –8)且與圓(x4)²(y3)² 10相切的直線方程式為 3x y 5 或 x3y23 。

12. 求斜率為 3

 且與圓4 x²y²8x6y16 0 相切的直線方程式為 3x4y15 0 。 13. 已知平面上一圓的方程式為x² y²4x6y  。求： 3 0

(1)平行x3y  且與圓相切的直線方程式為5 0 x3y 3 0 或 x3y17 0 。 (2)垂直x3y  且與圓相切的直線方程式為5 0 3x y 19 0 或 3x y  1 0 。 14. (1)點 (5,1) 到圓(x1)²(y3)²  的切線段長為7 5 。

(2)點 (4, 2) 到圓x² y²3x5y  的切線段長為6 0 6 。 (3)點 ( 1,2) 到圓4x²4y²8x12y  的切線段長為3 0 7

2 。

自我 評量

15. 設坐標平面上一圓的方程式為x²y² 20，其圓心為 C。過該圓外一點 (8,6)P 作圓的兩切 線，分別切圓於A、B 兩點。則：

(1)四邊形PACB 的面積為 40 。 (2) AB 長為 8 。

(3)△PAB 的外接圓方程式為 (x4)² (y3)² 25 。

( Ａ ) 1. 斜 角 為135 且 過 點 (1,2) 的 直 線 方 程 式 為 (A) x y   (B)3 0 x y   1 0 (C)x2y  (D) 25 0 x y  。 0

( Ｄ ) 2. 設斜率為 3

 的直線，其斜角為 。則4 cos  (A)3

5 (B)4

5 (C) 3

 (D)5 4

 。 5 ( Ｃ ) 3. 過點 (5,4) 且斜率為 2

 的直線方程式為 (A) 33 x2y23 0 (B) 3x2y  7 0 (C) 2x3y22 0 (D) 2x3y  。 2 0

( Ｂ ) 4. x截距為 且斜率為7 5

3的直線方程式為 (A) 5x3y35 0 (B) 5x3y35 0 (C) 5

3 7

y x (D) 5 3 7

y x 。 ( Ｃ ) 5. 直線 3x 3y  的斜率為 (A)5 0 1

3 (B) 1

 3 (C) 3 (D) 3。 ( Ｂ ) 6. 若 ( ,4)A a 、 _1,¹⁶

B a  3 、^{C a}



^{2 ,6}



^{在同一直線上，則實數a之值為 (A)1 (B)3}₂

(C)2 (D)5 2。

( Ｃ ) 7. 設L 為過 (1, 2)A 、B(4,6)兩點的直線，則點P(2,7)到直線L 的距離為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。

( Ａ ) 8. 已知直線L 的斜率為 15

 8 ，且點(1, 2) 到 L 的距離為 1。若 L 的x截距大於0，則L 的方程式為 (A)15x8y16 0 (B)15x8y31 0 (C)8x15y22 0 (D)8x15y38 0 。

( Ｄ ) 9. 平面上四直線L₁: 4x3y 、7 L₂: 4x3y  、8 0 L₃: 3x4y16 0 、

4: 3 4 9 0

L x y  所圍出的四邊形面積為 (A)8 (B)10 (C)12 (D)15。

( Ｂ ) 10. 下 列 何 者 為 直 線L₁: 2x3y  和1 0 L₂: 6x4y  的 交 角 平 分 線 方 程 式 ？ 5 0 (A) 2x2y  (B)103 0 x10y  (C)87 0 x7y  (D) 46 0 x y   。 4 0 ( Ａ ) 11. 設L 為坐標平面上的一直線，其兩截距相等且均不為 0。若 L 過點 ( 2,1) ，則L 與兩

坐標軸所圍出的三角形面積為 (A)1

2 (B) 2

2 (C) 3

2 (D)3 2。 ( Ｄ ) 12. 設 (2, 4)A  、 (8,6)B 為坐標平面上兩點，則_AB的垂直平分線方程式為

(A) 5x3y22 0 (B) 3x5y14 0 (C)5x3y22 0 (D) 3x5y20 0 。

( Ａ ) 13. 設 (2,4)A 對直線x y 12 0 的對稱點為 B ，則 B 點坐標為 (A) (16, 10) (B) (16,10) (C) (4,2) (D) (4, 2) 。

( Ｃ ) 14. 設 (3,1)A 、B(5, 2) ，已知 AB 與直線 : 2L x5y  相交於一點 P ，則4 0 AP BP 之值 最接近哪個整數？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。

( Ｄ ) 15. 以 (1,3)A 為圓心且與直線L: 24x7y  相切的圓方程式為 5 0

(A)x²y² x 3y  (B)6 0 x² y² x 3y  (C)6 0 x² y²2x6y  6 0 (D)x²y²2x6y  。 6 0

( Ｂ ) 16. 以A( 3,8) 、B(7, 2) 為直徑兩端點的圓方程式為 (A)(x3)²(y2)² 50 (B)(x2)²(y3)² 50 (C)(x3)²(y2)² 20 (D)(x2)²(y3)² 20。 ( Ｂ ) 17. 過A(2, 3) 、 ( 5,4)B  兩點且圓心在_x軸上的圓方程式為 (A)(x2)² y²  13

(B)(x2)² y² 25 (C)(x3)²y² 50 (D)

2

3 2

2 50

x y

    

 

  。

( Ａ ) 18. 設k為實數，已知x² y²8x2ky10k  為一圓，則0 k的範圍為 (A)k  2或 8

k  (B)k 或8 k 2 (C)  8 k 2 (D)  2 k 8。

( Ｄ ) 19. 坐標平面上，已知點 (16,0)A 、圓x² y²16x14y97 0 。設 P 為圓上一點，

PA 的 最 大 值 為 M 、 最 小 值 為 m ， 則 數 對( , )M m  (A) (25,17) (B) (26,18) (C) (27,19) (D) (29,21) 。

( Ｃ ) 20. 設 (2, 2)A  、圓(x8)²(y6)² 25，下列敘述何者正確？ (A)A 在圓內 (B)圓 上離A 最近的點為 (4,1) (C)圓上離 A 最遠的點為 (11,10) (D)原點在圓內。

( Ｃ ) 21. 設圓(x3)²(y1)² 20與直線L x: 2y k  有交點，則0 k的範圍為 (A)  11 k 9 (B)k  或11 k 9 (C)  11 k 9 (D)k   或11 k 9。

( Ａ ) 22. 圓 x² y²4x6y k 0 與 直 線 3x4y 4 0 不 相 交 ， 則 _k 的 範 圍 為 (A)9 k 13 (B)k9 (C)k9 (D)k  或13 k9。

( Ｄ ) 23. 設P 為圓(x4)²(y5)² 12上的點，L x: 5 12y  為一直線。下列敘述何者1 0 正確？ (A)圓與L 不相交 (B)半徑長為3 2 (C)P 到 L 的最小距離為2 3 3 (D)P 到 L 的最大距離為2 3 3 。

( Ｂ ) 24. 已知直線 :L x y 13 0 與圓(x1)²(y2)² 100交於A 、 B 兩點，則 AB 長為

( Ａ ) 25. 過點 ( 6,8)P  且與圓x²y²6x14y48 0 相切的切線方程式為

(A) 3x y 26 0 (B) 3x y 10 0 (C)x3y18 0 (D)x3y30 0 。 ( Ｄ ) 26. 過點P(3, 2) 且與圓(x7)²(y1)²  相切的切線斜率可能為何？ (A)1 15

 8 (B) 3

 (C)4 3

4 (D) 8 15。

( Ｂ ) 27. 垂直 2x3y  且與圓7 0 x²y²4x6y 相切的直線方程式為 0

(A) 2x3y13 0 (B) 3x2y13 0 (C) 2x3y25 0 或 2x3y  1 0 (D) 3x2y25 0 或 3x2y  。 1 0

( Ｂ ) 28. 點 (3,1) 到圓2x²2y² 4x6y  的切線段長為 (A)2 (B)5 0 ^{3 2}

2 (C)3 (D)^{3 5}

2 。

( Ｃ ) 29. 設坐標平面上一圓的方程式為(x2)² (y4)² 225，其圓心為_C。過該圓外一點 (9,20)

P 作圓的兩切線，分別切圓於A 、 B 兩點。則 AB 長為 (A)16 (B)20 (C)24 (D)28。

( Ｄ ) 30. 設坐標平面上一圓的方程式為(x7)²(y2)² 72，其圓心為_C，過該圓外一點 ( 1,6)

P  作圓的兩切線，分別切圓於A 、 B 兩點。則△ PAB 的外接圓方程式為 (A)(x1)²(y6)² 12 (B)(x1)² (y6)² 20 (C)(x3)² (y4)² 12 (D)(x3)²(y4)² 20。

在文檔中 直線與圓 (頁 41-56)