圖 3-1-4 圖 3-1-5
圖 3-1-6 圖 3-1-7
由於本研究者任教的學校屬於高級職業學校暨綜合高中，所以有機械科的學 生利用上面的原理，在實習課的時間自己動手做出類似的教具，如下圖 3-1-8～
圖 3-1-9，結果做出了令大家驚豔的作品，也讓學生對此單元更有興趣。
圖 3-1-8
圖 3-1-9
約 330~275B.C.），阿基米德（Archimedes,287~212B.C.），阿波羅尼斯等人都有很 多的著作。阿基米德曾利用『窮盡法』計算出拋物線與直線圍成的弧形面積，並 求得橢圓的面積，而阿波羅尼斯更完成了八卷關於圓錐曲線研究的著作。圓錐曲 線的純幾何式研究，到阿波羅尼斯時代，可說到達顛峰狀態。
在阿波羅尼斯的著作中，他利用一個圓錐面與不同斜度的截平面截出了橢
圓、拋物線與雙曲線，而且也確定了雙曲線是兩支曲線的概念，三種曲線的命名 是由他最早提出的。在八卷著作中，阿波羅尼斯對切線與平行弦的中點軌跡都有
詳細的介紹，他也得到橢圓和雙曲線的焦半徑性質，那就是：「橢圓上任一點到
兩焦點的距離和為一定值」以及「雙曲線上任一點到兩焦點的距離差的絕對值是 一定值」。
阿波羅尼斯更探索了橢圓與雙曲線的光學性質，但對於圓錐曲線的焦點、準 線與離心率的研究，卻在阿波羅尼斯之後約西元三世紀左右，由幾何學家帕布斯
（Pappus）所提出來的。圓錐曲線的綜合幾何法研究，到此時已經相當完備了。
直到十六、十七世紀後，由於解析幾何的引入，以及實際問題的需要，圓錐曲線 的研究，在燃起新的熱潮，利用軌跡的概念，重新探討圓錐曲線與錐線的性質。
3-3 圓錐曲線分類
3-3-2 圓錐截痕種類
針對拋物線，橢圓，雙曲線三種截痕，下面做一些簡單的證明。
3-3-4 橢圓的幾何性質
3-3-5 雙曲線的幾何性質
3-4 在Cabri-3D軟體下之動態模擬
由前兩節可知道，圓錐曲線截痕這部分，除了有其歷史發展的重要性之外，牽涉 的數學也是高中生較容易感到困惑的，市面上也出售了很多教具，但對於傳統用 黑板教學，這章節常常把黑板畫了滿滿的圖，寫了很多證明，學生還是一臉困惑 樣。
Cabri-3D 這個數學軟體改變了使用傳統黑板上課的窘況，它具備幾個模型教 具沒有的優點，可以投影大螢幕讓所有學生同時觀察，動態呈現可以從各個不同 角度觀察，也可局部強調重點幾何元件如點、線或面等等。在 Cabri-3D 環境下，
實作圓錐截痕素材如下圖3-4-1～圖3-4-3：
（1）拋物線
圖3-4-1 以Cabri 3D動態模擬拋物線
（2）橢圓
圖3-4-2 以Cabri 3D動態模擬橢圓
（3）雙曲線
圖3-4-3以Cabri 3D動態模擬雙曲線
也可以用同一個畫面來陳述三個圖形
圖3-4-4 以Cabri 3D動態模擬圓錐曲線
圖中有兩個可以動點P,Q，其中P點隨意動可以觀察出雙曲線和橢圓的差別其 實是在角度，至於拋物線，比較困難的是要截出拋物線，切面角度必須要和角錐 角度互餘才可，由於Cabri 3D在製圖功能上沒有鎖定角度的功能，所量的角度也 是近似值，要調整到角度一致，不好手動調整，只能以數學方法利用平行做出相 同角度，所以上圖中Q點就是已經調整好角度的平面動點，移動Q點可知道，只 要角度一致，都是拋物線。
圖3-4-5 GSP做圓 圖3-4-6 GSP做橢圓
圖3-4-7 GSP做拋物線 圖3-4-8 GSP做雙曲線 在早期還沒開發立體軟體時，有一些數學先驅利用GSP模擬3D做出圓錐截痕範 例，如上面圖3-4-5～圖3-4-8，其實已經做的很好了，但還是跳脫不出〝 模擬〞
的框框，利用Cabri 3D做，可以做出立體模型，更可旋轉，切換角度觀看，在配 合課本或搭配講義上課，改善傳統上課模式，也突破以往的多媒體教學。
3-5 製作之流程
二. 步驟（二）部分
(1) 做出兩圓(球)的外公切線，製造 R+r 的虛圓
(作外公切線的平行線，可利用對應的功能，做出 R+r 的虛圓)
圖 3-5-2 Cabri 3D 製作過程(2) (2) 找出內公切線：仿照上述做法，可找出內功切線
圖 3-5-3 Cabri 3D 製作過程步驟(3)
三. 步驟（三）部分
(1) 利用內公切線，及其垂線，做出兩球內公切平面。
圖 3-5-4 Cabri 3D 製作過程步驟(4)
(2) 兩球內公切平面與圓錐體交集為橢圓。
圖 3-5-5 Cabri 3D 製作過程步驟(5)
(3) 內公切平面與兩球體的切點當橢圓兩焦點。
圖 3-5-6 Cabri 3D 製作過程步驟(6) (4) 橢圓上任取一動點，到兩焦點距離之和為固定值。
圖 3-5-7 Cabri 3D 製作過程步驟(7)
第四章 高中數學教材動態呈現示例
本章有五節 4-1 前言 4-2 平面幾何範例 4-3 空間幾何範例 4-4 各級考試範例 4-5 結論與建議
4-1 前言
本章主要探討高中數學中幾何的部分，針對高中數學第二冊第二章三角函數來說 明，利用現在電腦輔助教學套裝軟體（GSP, Cabri 3D, GeoGebra）交互呈現各版 本的題目，搭配課本內容，亦即提供不同的想法給老師及學生，讓上課更有趣，
4-2 平面幾何範例
（甲）以 Cabri 3D 呈現
圖 4-2-1 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-2-2 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-2-3 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-2-4 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-2-5 範例一以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-2-6 範例一以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例二
（甲）以 Cabri 3D 呈現
4-2-7 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
4-2-8 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
4-2-9 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
4-2-10 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-2-11 範例二以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-2-12 範例二以 GeoGebra 動態模擬呈現
Cabri 3D〆
4-3 空間幾何範例
（甲）以 Cabri 3D
圖 4-3-1 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-2 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-3 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-4 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-5 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-6 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
（乙） 以 GSP
圖 4-3-7 範例一以 GSP 動態模擬呈現
（丙） 以 GeoGbra
圖 4-3-8 範例一以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例二
(甲)以 cabri 3D 呈現
圖 4-3-9 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-10 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-11 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-12 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-13 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-14 範例二以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
(乙)以 GSP 表示
圖 4-3-15 範例二以 GSP 動態模擬呈現 (丙)以 GeoGebra
圖 4-3-16 範例二以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例三
（甲）以 cabri 3D 呈現
圖 4-3-17 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-18 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-19 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-20 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-21 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-22 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-3-23 範例三以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-3-24 範例三以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例四
（甲）以 cabri 3D 呈現
圖 4-3-25 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-26 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-27 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-28 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-29 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-30 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-3-31 範例四以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-3-32 範例四以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例五
（甲）以 cabri 3D 呈現
圖 4-3-33 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-34 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-35 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-36 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-37 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-38 範例五以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-3-39 範例五以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-3-40 範例五以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例六
（甲）以 cabri 3D 呈現
圖 4-3-41 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-3-42 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
圖 4-3-43 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(3)
圖 4-3-44 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(4)
圖 4-3-45 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(5)
圖 4-3-46 範例六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(6)
（乙）以 GSP 表示
圖 4-3-47 範例六以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 GeoGebra
圖 4-3-48 範例六以 GeoGebra 動態模擬呈現
心得比較〆
4-4 各級考試範例
範例一
在 A,B 兩支旗竿底端連線段中的某一點測出 A 旗竿頂端的仰角為 29 度，B 旗竿 頂端的仰角為 15 度。在底端連線段中的另一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 26 度，
B 旗竿頂端的仰角為 19 度。則 A 旗竿高度和 B 旗竿高度的比值約為〇
（98 指考數學甲）
(甲) 以 Cabri 3D
圖 4-4-1 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-4-2 範例一以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2) (乙) 以 GSP
圖 4-4-3 範例一以 GSP 動態模擬呈現
(丙) 以 GeoGebra
圖 4-4-4 範例一以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例二
某 機 場 基 於 飛 航 安 全 考 量，限 制 機 場 附 近 建 築 物 從 機 場 中 心 地 面 到 建 築 物 頂 樓 的 仰 角 不 得 超 過 8。 某 建 築 公 司 打 算 在 離 機 場 中 心 3 公 里 且 地 表 高 度 和 機 場 中 心 一 樣 高 的 地 方 蓋 一 棟 平 均 每 樓 層 高 5 公 尺 的 大 樓 。 在 符 合 機 場 的 限 制 規 定 下 ， 該 大 樓 在 地 面 以 上 最 多 可 以 蓋 _ _ _ _ _ _ 層 樓 。
〔 參 考 數 據 〆 sin8 0.1392, cos8 0.9903, tan8 0.1405 〕 （95 指考數學乙）
( 甲 ) 以 C a b r i 3 D
圖4-4-5 範例二以Cabri 3D動態模擬呈現(1)
圖4-4-6 範例二以Cabri 3D動態模擬呈現(2)
( 乙 ) 以 G S P
圖4-4-7 範例二以GSP動態模擬呈現
( 丙 ) 以 G e oG e br a
圖 4-4-8 範例二以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例三
小明玩戰爭網路遊戲，在螢幕上有一坐標平面，飛機 P 以等速直線前進，在坐標
（-12,4）的位置被發現，經過 1 秒後到達坐標（-10,4），再經 1 秒後，小明從原 點選一方向發射一飛彈 R，假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同，而且 R 剛好 擊中 P。試求 R 擊中 P 時的坐標（a,b）為_____________。 （94 指考數學乙）
(甲) 以 Cabri 3D
圖 4-4-9 範例三以 Cabri 3D 動態模擬呈現
(乙) 以 G S P
圖 4-4-10 範例三以 GSP 動態模擬呈現 (丙) 以 G e o G e b r a
圖 4-4-11 範例三以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例四
一飛機在大雄的正北方,見此飛機平行地面等速向東飛行,其仰角為 60 度,又飛機 向東飛行 600 公尺後,在原地觀測飛機仰角成為 45 度,試問飛機的高度為幾公尺〇 （97 年北區模擬試題）
（甲） 以 Cabri 3D
圖 4-4-12 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-4-13 範例四以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
（乙） 以 GSP
圖 4-4-14 範例四以 GSP 動態模擬呈現
（丙）以 Geogebra
圖 4-4-15 範例四以 GeoGebra 動態模擬呈現
範例五
一個中空的立方體被切去一個角，出現了一個三角形的洞，各邊的尺寸如圖所示
（以米為單位）。原立方體所剩下的外表面的面積（以米2為單位）是多少〇 （AMC,1988 年 中 17，初 22）
範例六
一個中空的立方體被切去一個角，出現了一個三角形的洞，各邊的尺寸如圖所示
（以米為單位）。原立方體所剩下的體積（以米3為單位）是多少〇
（AMC,1988 年 中 17，初 22）
因為上述例題五例題六題目一樣，但問的內容不一致，所以製作動態教材時一樣
（甲） 以 Cabri 3D
圖 4-4-16 範例五、六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(1)
圖 4-4-17 範例五、六以 Cabri 3D 動態模擬呈現(2)
（乙）以 Geogebra
圖 4-4-18 範例五、六以 GeoGebra 動態模擬呈現