腦的運算中沒有辦法記憶這麼大的數，因此無法輕易得知Poisson Binomial 分布
的機率質量函數。
因此，退而求其次，我們尋找一個隨機變數去逼近Poisson Binomial 分布，
而這個隨機變數的機率質量函數是容易計算的。至今已經有人使用單一 poisson 去逼近，也有人使用單一 Binomial 去逼近，而在 Peköz, Röllin, Čekanavičius, and Shwartz(2009)指出使用單一 Binomial 去逼近Poisson Binomial 分布，結果會比使 用單一 poisson 幾乎都好。因此本篇論文也是針對 Binomial 分布繼續做延伸，跟 之前不同的地方在於，之前都是使用單一 Binomial 方法，而本篇論文使用的是兩
為了比較這些逼近方法的優劣，必須先定義所使用的距離測度。
(2)單一Binomial 兩個參數法(Barbour et al.(1992b, p.190)提出) ( , )
(3)單一Binomial 三個參數法(Peköz, Röllin, Čekanavičius, and Shwartz(2009)提出) ( , )
第二章 主要方法
(2)兩個Binomial 之和-三個參數法
接著是將n*變為整數 n 的過程。
需要注意的是，此程式是在 Microsoft visual studio 環境下編寫且呼叫 R，所 以必須安裝這兩個軟體才能順利執行。Microsoft visual studio 有些函數會跟其他 版本的 C 程式有些差異，建議在 Microsoft visual studio 環境下執行。
在此程式一開始須要先提供 R 執行檔的路徑位置。
第三章 程式架構
(2)計算確切 W 分布
此程式共比較了五種方法，單一 Binomial 一個參數法、單一 Binomial 兩個 參數法、單一 Binomial 三個參數法、兩個 Binomial 之和-兩個參數法以及兩個
Binomial 之和-三個參數法，最後將這五種方法所生成的dTV,dloc畫圖比較，在此 程式第六十行可以自行輸入想要哪一種圖 1. dTV 2. dloc。
接下來藉由這些圖表，可以明顯的發現兩個 Binomial 之和方法會比單一 Binomial 方法優異，除了這個結論以外尚可看出一些現象，下面第四章將會一個 一個的清楚說明。
第四章 圖表分析
p1 0.045455 0.090909 0.136364 0.181818 0.227273 0.272727 0.318182 0.363636 0.409091 0.454545 dTV1 0.003946 0.008186 0.012861 0.017845 0.023848 0.030434 0.039068 0.049112 0.059364 0.073962 dloc1 0.002612 0.004043 0.005335 0.00664 0.008684 0.010383 0.012643 0.015875 0.018936 0.02354
j1 0 3 4 6 7 8 10 11 12 14
單BIN2par
n2* 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885 22.86885
n2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
p2 0.061983 0.123967 0.18595 0.247934 0.309917 0.371901 0.433884 0.495868 0.557851 0.619835 dTV2 0.000592 0.001225 0.001977 0.003052 0.004175 0.005651 0.007582 0.010176 0.01374 0.018442 dloc2 0.000368 0.0006 0.000856 0.001164 0.001536 0.002045 0.002641 0.003646 0.004631 0.006962
j2 0 3 5 6 8 9 11 12 14 15
單BIN3par
n3* 23.03957 23.20856 23.36916 23.51074 23.61658 23.66045 23.60171 23.37834 22.89879 22.03695
n3 23 23 23 23 23 23 23 23 22 22
s3* 0.000683 0.006221 0.024069 0.065924 0.150042 0.304825 0.574214 1.025435 1.758782 2.91621
s3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2
p3 0.059289 0.118577 0.177866 0.237154 0.296443 0.355731 0.41502 0.43083 0.512397 0.528926 dTV3 0.000197 0.000437 0.000785 0.001343 0.002036 0.002915 0.004368 0.001841 0.008257 0.004888 dloc3 0.000134 0.00024 0.00035 0.000539 0.000789 0.001075 0.00139 0.000494 0.002763 0.001672
j3 1 2 3 5 6 7 8 13 13 16
雙BIN2par
p41 0.020072 0.040144 0.060216 0.080288 0.10036 0.120432 0.140504 0.160576 0.180648 0.20072 p42 0.070837 0.141674 0.212511 0.283348 0.354185 0.425022 0.49586 0.566697 0.637534 0.708371 dTV4 0.000003 0.000012 0.000028 0.000058 0.000103 0.000181 0.000306 0.000484 0.000786 0.001281 dloc4 0.000002 0.000004 0.000012 0.000023 0.000036 0.000064 0.000108 0.000168 0.000259 0.000463
j4 1 2 5 6 7 9 10 11 13 14
雙BIN3par
n5* 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
n5 14 14 15 14 14 15 14 14 14 14
p51 0.018319 0.036639 0.060216 0.073278 0.091597 0.120432 0.128236 0.146556 0.164875 0.183195 p52 0.069198 0.138395 0.212511 0.276791 0.345989 0.425022 0.484384 0.553582 0.62278 0.691977 dTV5 0.000014 0.000042 0.000028 0.000161 0.000253 0.000181 0.000575 0.000859 0.001252 0.001829 dloc5 0.000012 0.000025 0.000012 0.000065 0.000091 0.000064 0.00018 0.000268 0.000391 0.000597
j5 1 2 5 4 5 9 11 12 10 15
表 4.2 為第一種Uniform a b( , )分布，第二類預設b1
表 4.2 Uniform a( ,1) 單BIN1par
p1 0.545455 0.590909 0.636364 0.681818 0.727273 0.772727 0.818182 0.863636 0.909091 0.954545 dTV1 0.073963 0.059364 0.049112 0.039068 0.030434 0.023848 0.017845 0.012861 0.008186 0.003946 dloc1 0.02354 0.018936 0.015875 0.012643 0.010383 0.008684 0.00664 0.005335 0.004043 0.002612
j1 16 18 19 20 22 23 24 26 27 30
單BIN2par
n2* 24.65996 26.0993 27.22764 28.09228 28.73974 29.21201 29.54504 29.76858 29.90674 29.9788
n2 24 26 27 28 28 29 29 29 29 29
p2 0.681818 0.681818 0.707071 0.730519 0.779221 0.799373 0.846395 0.893417 0.940439 0.987461 dTV2 0.021354 0.015325 0.014362 0.012559 0.024804 0.012326 0.026148 0.050133 0.095724 0.346934 dloc2 0.007947 0.004853 0.005092 0.004135 0.009325 0.004567 0.010739 0.021323 0.058044 0.337999
j2 18 20 21 22 23 25 25 26 28 29
單BIN3par
n3* 22.03695 22.89879 23.37834 23.60171 23.66045 23.61658 23.51074 23.36916 23.20856 23.03957
n3 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23
s3* 5.046841 5.342425 5.596223 5.82408 6.03473 6.233381 6.423333 6.606776 6.785222 6.95975
s3 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
p3 0.516529 0.578512 0.612648 0.671937 0.687747 0.747036 0.806324 0.865613 0.924901 0.98419 dTV3 0.002677 0.0131 0.010226 0.022483 0.014639 0.023657 0.03577 0.056575 0.09887 0.347208 dloc3 0.000863 0.00421 0.003439 0.007816 0.004999 0.008484 0.014802 0.024898 0.058643 0.33758
j3 16 18 20 21 22 24 25 26 28 29
雙BIN2par
p41 0.291629 0.362466 0.433303 0.50414 0.574978 0.645815 0.716652 0.787489 0.858326 0.929163 p42 0.79928 0.819352 0.839424 0.859496 0.879568 0.89964 0.919712 0.939784 0.959856 0.979928 dTV4 0.00128 0.000785 0.000485 0.000306 0.000181 0.000103 0.000058 0.000028 0.000012 0.000003 dloc4 0.000463 0.000259 0.000168 0.000108 0.000064 0.000036 0.000023 0.000012 0.000004 0.000002
j4 16 17 19 20 21 23 24 25 28 29
雙BIN3par
n5* 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
n5 15 14 15 14 15 14 14 14 15 14
p51 0.291629 0.346694 0.433303 0.491873 0.574978 0.637052 0.709642 0.782231 0.858326 0.92741 p52 0.79928 0.804598 0.839424 0.84802 0.879568 0.891443 0.913155 0.934866 0.959856 0.978289 dTV5 0.00128 0.001185 0.000485 0.000512 0.000181 0.00021 0.00013 0.00007 0.000012 0.000012 dloc5 0.000463 0.00037 0.000168 0.000169 0.000064 0.000075 0.00005 0.000028 0.000004 0.000009
j5 16 18 19 21 21 24 25 26 28 29
表 4.3 為第一種Uniform a b( , )分布，第三類預設中心點0.5
dTV1 0.000645 0.002591 0.005871 0.010537 0.016668 0.024375 0.033796 0.045108 0.058537 0.074359 dloc1 0.000193 0.000777 0.001764 0.003178 0.005054 0.007441 0.010404 0.014031 0.018439 0.023787
j1 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
單BIN2par
n2* 29.92289 29.6939 29.31996 28.81198 28.18417 27.45304 26.63642 25.75254 24.81914 23.85289
n2 29 29 29 28 28 27 26 25 24 23
p2 0.517241 0.517241 0.517241 0.535714 0.535714 0.555556 0.576923 0.6 0.625 0.652174 dTV2 0.007933 0.006053 0.003024 0.008002 0.003607 0.006481 0.009694 0.013094 0.016819 0.02108 dloc2 0.00232 0.001736 0.000927 0.002451 0.00113 0.002084 0.003246 0.004495 0.005923 0.007673
j2 15 15 16 16 17 16 16 16 16 16
單BIN3par
n3* 29.92269 29.69075 29.30419 28.763 28.06718 27.21674 26.21168 25.05199 23.73767 22.26873
n3 29 29 29 28 28 27 26 25 23 22
s3* 0.038656 0.154625 0.347907 0.618502 0.966409 1.391629 1.894162 2.474007 3.131165 3.865636
s3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 3
p3 0.517241 0.517241 0.517241 0.535714 0.535714 0.518519 0.538462 0.52 0.521739 0.545455 dTV3 0.007933 0.006053 0.003024 0.008002 0.003607 0.002265 0.004258 0.002406 0.006754 0.005593 dloc3 0.00232 0.001736 0.000927 0.002451 0.00113 0.000741 0.001445 0.000736 0.002058 0.002049
j3 15 15 16 16 17 17 17 18 16 17
雙BIN2par
p41 0.474617 0.449235 0.423852 0.39847 0.373087 0.347705 0.322322 0.29694 0.271557 0.246175 p42 0.525383 0.550765 0.576148 0.60153 0.626913 0.652295 0.677678 0.70306 0.728443 0.753825 dTV4 0.000004 0.000005 0.000009 0.000019 0.000049 0.000108 0.000219 0.000411 0.000737 0.001278 dloc4 0 0.000001 0.000002 0.000006 0.000016 0.000036 0.000074 0.000141 0.000259 0.000461
j4 11 19 11 15 15 15 15 15 15 15
雙BIN3par
n5* 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
n5 15 15 14 15 14 15 14 14 15 15
p51 0.474617 0.449235 0.418595 0.39847 0.364325 0.347705 0.310055 0.28292 0.271557 0.246175 p52 0.525383 0.550765 0.57123 0.60153 0.618716 0.652295 0.666202 0.689945 0.728443 0.753825 dTV5 0.000004 0.000005 0.000026 0.000019 0.000129 0.000108 0.000419 0.000696 0.000737 0.001278 dloc5 0 0.000001 0.000007 0.000006 0.000035 0.000036 0.000126 0.000219 0.000259 0.000461
j5 11 19 13 15 16 15 16 16 15 15
表 4.4 為第二種Truncated Normal u sd( , 2)分布，預設 sd 0.05
表 4.4 Truncated Normal u( , 0.05 )2 單BIN1par
p1 0.094315 0.181833 0.272727 0.363636 0.454545 0.545455 0.636364 0.727273 0.818167 0.905685 dTV1 0.005428 0.003443 0.002527 0.002219 0.00204 0.00204 0.002219 0.002527 0.003443 0.005428 dloc1 0.002691 0.001254 0.000849 0.000686 0.000604 0.000604 0.000686 0.000849 0.001254 0.002691
j1 3 6 8 11 14 16 19 22 24 27
單BIN2par
n2* 24.96292 28.2627 29.20161 29.54561 29.7076 29.79634 29.8501 29.8851 29.90919 29.9345
n2 24 28 29 29 29 29 29 29 29 29
p2 0.117893 0.194821 0.282131 0.376175 0.470219 0.564264 0.658308 0.752351 0.84638 0.936916 dTV2 0.001184 0.000563 0.000676 0.002675 0.005123 0.008318 0.012977 0.02155 0.03854 0.095001 dloc2 0.000558 0.000202 0.000228 0.000806 0.001535 0.002503 0.003956 0.007159 0.015671 0.052312
j2 3 6 9 11 14 17 20 22 25 28
單BIN3par
n3* 25.30308 28.5296 29.37869 29.6526 29.7458 29.7458 29.6526 29.37869 28.5296 25.30308
n3 25 28 29 29 29 29 29 29 28 25
s3* 0.005552 0.015934 0.031116 0.054626 0.093181 0.161018 0.292772 0.590199 1.454465 4.691373
s3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4
p3 0.113178 0.194821 0.282131 0.376175 0.470219 0.564264 0.658308 0.752351 0.840893 0.926822 dTV3 0.000306 0.000563 0.000676 0.002675 0.005123 0.008318 0.012977 0.02155 0.0401 0.097614 dloc3 0.000169 0.000202 0.000228 0.000806 0.001535 0.002503 0.003956 0.007159 0.016213 0.052514
j3 2 6 9 11 14 17 20 22 25 28
雙BIN2par
p41 0.051948 0.136751 0.227631 0.31854 0.409449 0.500359 0.591268 0.682177 0.773085 0.863319 p42 0.136681 0.226915 0.317823 0.408732 0.499641 0.590551 0.68146 0.772369 0.863249 0.948052 dTV4 0.000026 0.000005 0.000003 0.000004 0.000003 0.000003 0.000004 0.000003 0.000005 0.000026 dloc4 0.000014 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000014
j4 2 6 8 12 19 11 18 22 24 28
雙BIN3par
n5* 16.04725 15.00574 15 15 15 15 15 15 14.99426 13.95276
n5 16 15 15 14 15 14 14 14 14 13
p51 0.054685 0.136751 0.227631 0.315427 0.409449 0.497246 0.588155 0.679064 0.769972 0.857237 p52 0.139606 0.226915 0.317823 0.405819 0.499641 0.587638 0.678547 0.769456 0.860337 0.942734 dTV5 0.00001 0.000005 0.000003 0.000007 0.000003 0.000007 0.000007 0.000007 0.000011 0.000019 dloc5 0.000004 0.000001 0.000001 0.000002 0.000001 0.000001 0.000002 0.000002 0.000004 0.000008
j5 4 6 8 12 19 14 21 23 25 28
表 4.5 為第二種Truncated Normal u sd( , 2)分布，預設 sd 0.1
表 4.5 Truncated Normal u( , 0.1 )2 單BIN1par
p1 0.121341 0.188629 0.273412 0.363666 0.454546 0.545454 0.636334 0.726588 0.811371 0.878659 dTV1 0.01225 0.011841 0.010057 0.008986 0.008244 0.008244 0.008986 0.010057 0.011841 0.01225 dloc1 0.005486 0.004538 0.003398 0.002794 0.002459 0.002459 0.002794 0.003398 0.004538 0.005486
j1 4 6 8 11 14 16 19 22 24 26
單BIN2par
n2* 22.29754 24.96292 27.09185 28.2627 28.86363 29.20162 29.40955 29.55083 29.67635 29.80366
n2 22 24 27 28 28 29 29 29 29 29
p2 0.165465 0.235787 0.303791 0.389642 0.487013 0.564263 0.658277 0.751643 0.839349 0.908958 dTV2 0.000891 0.002901 0.001152 0.001736 0.006865 0.002739 0.007018 0.014129 0.029097 0.062593 dloc2 0.000396 0.001046 0.000353 0.000569 0.002082 0.000871 0.002261 0.004738 0.011863 0.031043
j2 5 6 10 12 14 18 20 23 25 27
單BIN3par
n3* 22.92029 25.61069 27.63979 28.62355 28.98409 28.98409 28.62355 27.63979 25.61069 22.92029
n3 22 25 27 28 28 28 28 27 25 22
s3* 0.023628 0.057904 0.119836 0.216478 0.372401 0.643514 1.159973 2.240379 4.331407 7.056084
s3 0 0 0 0 0 0 1 2 4 7
p3 0.165465 0.226355 0.303791 0.389642 0.487013 0.584415 0.646072 0.733246 0.813645 0.87999 dTV3 0.000891 0.001031 0.001152 0.001736 0.006865 0.013969 0.010737 0.019636 0.036163 0.068283 dloc3 0.000396 0.000384 0.000353 0.000569 0.002082 0.004285 0.003278 0.006591 0.014073 0.033354
j3 5 5 10 12 14 17 20 22 25 27
雙BIN2par
p41 0.050024 0.103897 0.183833 0.273502 0.364355 0.455264 0.54617 0.637009 0.726638 0.807342 p42 0.192658 0.273362 0.362991 0.45383 0.544736 0.635645 0.726498 0.816167 0.896103 0.949976 dTV4 0.000247 0.000096 0.000035 0.000024 0.000022 0.000022 0.000024 0.000035 0.000096 0.000247 dloc4 0.000114 0.000037 0.000012 0.000008 0.000007 0.000007 0.000008 0.000012 0.000037 0.000114
j4 3 4 9 11 14 16 19 21 26 27
雙BIN3par
n5* 18.05782 16.04725 15.12776 15.00574 15.00011 14.99989 14.99426 14.87225 13.95276 11.94218
n5 18 16 15 15 15 14 14 14 13 11
p51 0.063111 0.109369 0.183833 0.273502 0.364355 0.449037 0.539945 0.630824 0.714475 0.78493 p52 0.208686 0.279213 0.362991 0.45383 0.544736 0.62982 0.720675 0.810382 0.885467 0.932923 dTV5 0.000042 0.000042 0.000035 0.000024 0.000022 0.000047 0.00005 0.000054 0.000073 0.000072 dloc5 0.00002 0.000016 0.000012 0.000008 0.000007 0.000013 0.000015 0.000017 0.000027 0.000032
j5 2 6 9 11 14 14 20 22 25 27
表 4.6 為第二種Truncated Normal u sd( , 2)分布，預設 sd 0.3
表 4.6 Truncated Normal u( , 0.3 )2 單BIN1par
p1 0.268564 0.310507 0.358802 0.41268 0.47043 0.52957 0.58732 0.641198 0.689493 0.731436 dTV1 0.043908 0.047242 0.052251 0.053512 0.056575 0.056575 0.053512 0.052251 0.047242 0.043908 dloc1 0.01549 0.015773 0.016857 0.016906 0.01778 0.01778 0.016906 0.016857 0.015773 0.01549
j1 8 9 11 12 14 16 18 19 21 22
單BIN2par
n2* 20.78375 21.55283 22.43036 23.39591 24.4076 25.40635 26.33048 27.13279 27.791 28.3077
n2 20 21 22 23 24 25 26 27 27 28
p2 0.402846 0.443582 0.489276 0.538278 0.588037 0.635484 0.677677 0.712442 0.766103 0.783681 dTV2 0.008133 0.008012 0.009133 0.010145 0.01165 0.01325 0.013905 0.01313 0.026189 0.017005 dloc2 0.002938 0.002942 0.002983 0.003525 0.003997 0.004281 0.004773 0.004568 0.009823 0.006371
j2 9 11 12 14 16 18 19 21 22 23
單BIN3par
n3* 22.05838 22.6591 23.20198 23.61798 23.84447 23.84447 23.61798 23.20198 22.6591 22.05838
n3 22 22 23 23 23 23 23 23 22 22
s3* 0.607597 0.903104 1.327856 1.906104 2.641957 3.51357 4.475913 5.470168 6.437797 7.334025
s3 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7
p3 0.366224 0.423419 0.424525 0.4948 0.526648 0.560309 0.592156 0.618954 0.66749 0.679231 dTV3 0.010453 0.00791 0.003237 0.005433 0.008842 0.010989 0.010914 0.006969 0.018786 0.006087 dloc3 0.003736 0.00278 0.001207 0.001943 0.002923 0.003575 0.003477 0.002271 0.006452 0.002133
j3 8 8 10 14 15 17 18 20 21 23
雙BIN2par
p41 0.089725 0.116117 0.150365 0.193425 0.245249 0.304389 0.368065 0.432761 0.495102 0.552596 p42 0.447404 0.504898 0.567239 0.631935 0.695611 0.754751 0.806575 0.849635 0.883883 0.910275 dTV4 0.002615 0.002548 0.002236 0.001622 0.001051 0.001051 0.001622 0.002236 0.002548 0.002615 dloc4 0.000832 0.000789 0.000702 0.000515 0.000342 0.000342 0.000515 0.000702 0.000789 0.000832
j4 6 8 9 10 15 15 20 21 22 24
雙BIN3par
n5* 19.31145 18.58161 17.71298 16.70329 15.58214 14.41786 13.29671 12.28702 11.41839 10.68856
n5 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
p51 0.132488 0.151788 0.176529 0.207586 0.245249 0.288842 0.336592 0.385916 0.434014 0.478519 p52 0.503605 0.548586 0.597159 0.647074 0.695611 0.740207 0.779053 0.811386 0.837402 0.857894 dTV5 0.000635 0.000818 0.000982 0.001059 0.001051 0.001007 0.000914 0.00083 0.000747 0.000692 dloc5 0.000221 0.00029 0.000301 0.000361 0.000342 0.000345 0.000322 0.000287 0.000273 0.000261
j5 9 10 11 13 15 16 18 19 21 22
圖 4.1 為第一種Uniform a b( , )分布，第一類預設a0的dTV圖
圖 4.1 Uniform(0, )b dTV
圖 4.2 為第一種Uniform a b( , )分布，第二類預設b1的dTV圖
圖 4.2 Uniform a( ,1)dTV
圖 4.3 為第一種Uniform a b( , )分布，第三類預設中心點=0.5 的dTV圖
圖 4.3 Uniform a b( , )dTV
圖 4.4 為第二種Truncated Normal u sd( , ^ 2)分布，預設sd0.05的dTV圖
圖 4.4 Truncated Normal u( , 0.05 )2 dTV
圖 4.5 為第二種Truncated Normal u sd( , 2)分布，預設 sd 0.1的dTV圖
圖 4.5 Truncated Normal u( , 0.1 )2 dTV
圖 4.6 為第二種Truncated Normal u sd( , ^ 2)分布，預設 sd0.3的dTV圖
圖 4.6 Truncated Normal u( , 0.3 )2 d
圖 4.7 為第一種Uniform a b( , )分布，第一類預設a0的dloc圖
圖 4.7 Uniform(0, )b dloc
圖 4.8 為第一種Uniform a b( , )分布，第二類預設b1的dloc圖
圖 4.8 Uniform a( ,1)dloc
圖 4.9 為第一種Uniform a b( , )分布，第三類預設中心點=0.5 的dloc圖
圖 4.9 Uniform a b( , )dloc
圖 4.10 為第二種Truncated Normal u sd( , ^ 2)分布，預設 sd0.05的dloc圖
圖 4.10 Truncated Normal u( , 0.05 )2 d
圖 4.11 為第二種Truncated Normal u sd( , ^ 2)分布，預設 sd0.1的dloc圖
圖 4.11 Truncated Normal u( , 0.1 )2 dloc
圖 4.12 為第二種Truncated Normal u sd( , ^ 2)分布，預設 sd0.3的dloc圖
圖 4.12 Truncated Normal u( , 0.3 )2 dloc
表格上參數說明，以各種方法分成五類。
(1)單 BIN1par(單一Binomial 一個參數法)底下的參數。
p1 ：此法的機率值
(2)單 BIN2par(單一Binomial 兩個參數法)底下的參數。
n2* ：經由動差方程式解出的n*(實數) n2 ：利用高斯符號將n*轉為整數 p2 ：此法的機率值
(3)單 BIN3par(單一Binomial 三個參數法)底下的參數。
n3* ：經由動差方程式解出的n*(實數) n3 ：利用高斯符號將n*轉為整數 s3* ：經由動差方程式解出的s*(實數) s3 ：利用高斯符號將s*轉為整數 p3 ：此法的機率值
(4)雙 BIN2par(兩個 Binomial 之和-兩個參數法)底下的參數。
p41 ：第一個 Binomial 的機率值 p42 ：第二個 Binomial 的機率值
(5)雙 BIN3par(兩個 Binomial 之和-三個參數法)底下的參數。
n5* ：經由動差方程式解出的n*(實數) 單一Binomial 三個參數法誤差會快速的增加。原因是單一Binomial 兩個參數法 中的 n 和單一Binomial 三個參數法中的n 和 s 會使得定義域減縮。舉例，W 的定 義域是從 0 ~ 30，這時如果單一Binomial 兩個參數法中的n28，這會造成我們 放棄去逼近P W( 29)以及P W( 30)，所以當P W( 29)+ (P W 30)大到不能忽略 的時候，就會造成很大的誤差。也就是圖 4.2, 4.4,4.5,4.8,4.10,4.11 所顯示出來的 現象。
這個結論告訴我們，單一Binomial 方法會根據不同的 p1 ~ p30而有所優缺。
結論二 解釋跳動
在所有圖中我們可以看到單一Binomial 一個參數法的誤差始終都是近乎平
滑的，但單一Binomial 兩個參數法、單一Binomial 兩個參數法的誤差卻是有些
很大的跳動，理由是因為參數取完高斯之後，會使得原本成立的動差方程式，產 生了偏差，以致於圖形的結構沒辦法達到原本應該有的一致。舉例，在單一
Binomial 兩個參數法中的n*和p*是利用一、二階動差方程式，但要轉成整數 n 和
p時，卻只用了一階動差方程式，這會導致二階動差方程式的偏差。我們可以看
表 4.2 的第六行單 BIN2par 中的 n2*=28.73974, n2=28, p2=0.779221 以及雙 BIN2par 的 p41=0.574978, p42=0.879568 得知1 15 ( 41p p42)21.81819,
2 15 ( 41^ 2p p42 ^ 2) 11.9352
，依據一、二階動差方程式以下方程式應該
要滿足1n2p2, 2 n2
p2 2，但實際上n2p221.81819,
22 2 17.0012
n p ，很明顯的二階動差方程式已經有了很大的偏差，這會導致
單 BIN2par 誤差的增大，也就是圖 4.2 綠線中間突然突起的原因。
至於，兩個 Binomial 之和-三個參數法也會有這個問題，原理是一樣的。
由這個結論可以知道，增加參數可以使我們的精準度提升，但若我們選的參 數是需要經過調整為整數的，這又會導致精準度的變動。
結論三 兩個Binomial 之和方法
在所有圖中明顯的可以看出兩個Binomial 之和方法皆比單一Binomial 方
法的誤差還小。原因是因為參數較多所以較多階動差一致，以及結論一的理由，
不需要犧牲定義域。
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