2.5 土壤和岩石承載力分析方法
2.5.1 土壤基礎端面承載力理論分析
(a) Rankine (1885)
非凝聚性土壤承載力公式最早為Rankine(1885)所提出，對於應力極限 狀態時基底下材料元素之最大主應力即為土壤承載應力。
提出長條型基礎坐落於土壤的基礎承載公式，將Rankine(1885)之承載 力公式擴充可應用於凝聚性土壤。假設基礎下破壞時的滑動面並將滑動面
內土體分為主動區(Ⅱ)與被動區(Ⅰ)，如圖 2.24 所示。利用土體破壞時的極 (c) Prandtl (1921)
研究剛性物體壓入軟弱且均質忽略重量的介質中，觀察漸進破壞過程 主動壓力區Ⅰ(△ABC)、幅射區Ⅱ(△BCE、△ACD 滑動線為對螺旋線
(
r
=r
0e
wtanφ)構成)及 Rankine 被動土壓力區Ⅲ(△BEG、△ADF 滑動線為直線 所構成，且與水平面夾(45°−φ
2))，如圖 2.26 所示。公式為：
( )
[
tan 4 2 1]
tan
tan
2 + −
=
π φ
π φσ c φ e
u
其中，
σ
u為極限承載力、φ
土壤摩擦角、c土壤凝聚力。以Prandtl(1921)提出土壤承載力公式中，若為粒狀土壤(c=0)則無承載 力(
σ
u =0)，顯然該公式有不合理之處，主要因其假設基底土壤忽略重量所 致。圖 2.26 Prandtl 之基礎承載模式示意圖(Prnadtl, 1921)
(d) Casagrande&Fadum (1944)
提出長條型基礎很快加載於飽和凝聚性土壤，使其土壤未發生壓密狀 態下之承載力公式。如圖2.27(a)所示，假設基礎寬度為 2b 而基礎下方土體 各分為寬度為2b 之被動區與主動區，如圖 2.27(b)所示。土體自重忽略並認 為土壤因不壓密不排水狀態下其剪應力為凝聚力。類似Rankine(1885) 及及 Bell(1915)推導方式，公式如下：
c
u
c σ
σ
=4 =2其中，
σ
u為土壤承載力、c為凝聚力、σ
c為單壓強度。圖2.27 Casagrande&Fadum 之基礎承載模式示意(Casagrande&Fadum, 1996)
(e) Terzaghi (1944)
(iv)基底下楔型體（Rankine 主動壓力區Ⅰ，如圖 2.28 所示）隨基礎滑動且 處於彈性平衡狀態，滑動面(AC 及 BC)與水平面夾
φ
角。(v)滑動區為 Rankine 主動壓力區Ⅰ(△ABC)、幅射區Ⅱ(△BCE、△ACD 滑 動線為對螺旋線(
r
=r
0e
wtanφ)構成)及 Rankine 被動土壓力區Ⅲ(△BD1F`、圖2.28 Terzaghi 之基礎承載模式示意圖(Terzaghi, 1943)
圖2.29 Terzaghi 承載因數與摩擦角關係圖(Terzaghi, 1943)
(f) Meyerhof (1951)
提出類似Terzaghi(1943)之承載力公式，其中最大不同處為土體破壞滑 動面延伸至地表(如圖 2.30 所示)，適用深基礎。考慮滑動面上摩擦力的結 果將使承載力大於Terzaghi(1943)公式，假設條件較不同於 Terzaghi 如下：
(i)土體破壞滑動以基底邊角(A 及 B 點)開始傳播滑動至地表。
(ii)滑動線以弧 CE 及 C`E`為對數螺旋線、直線 EF 及 E`F`所構成。
(iii)假設基底上土體重(
σ
0)垂直作用於替代自由面(substitute free ground)AF，且土體重(σ
0)為定值。(iv)替代自由面 AF 與水平面夾角
β
為基礎寬深比值（B/D）的函數。(v)承載因數
N γ
為其獲得最小值，界定ψ
值介於φ
與45°+φ
2之間。其公式如下：
γ
γγ DN B N cN
q
ult = c + q +0.5各參數如同上述Terzaghi 公式，承載因數如圖 2.31、圖 2.32 所示。
其後有 Skempton(1951)提出對正方型及圓型基底形狀之修正承載因 數，如圖2.33 所示。Meyerhof(1955)提出對傾斜載重之修正承載因數，如圖 2.34 所示，使其公式更為完善而陸續經也各學者依據不同假設條件推導承 載因數，如Hansen(1970)及 Vesic`(1973, 1975)等學者
圖 2.30 Meyerhof 之基礎承載模式示意圖(Meyerhof, 1951)
圖 2.31 Meyerhof 承載因數與摩擦角關係圖(Meyerhof, 1951)
圖2.32 Meyerhof 承載因數
N γ
與摩擦角關係圖(Meyerhof, 1951)圖2.33 Skempton 基底型狀修正承載因數(Skempton, 1951)
圖 2.34 Meyerhof 傾斜載重修正承載因數(Meyerhof, 1953)
綜合而言，以Rankine、Bell、Casagrande&Fadum、Prandtl、Terzaghi 及Meyerhof 等人所提之承載力公式主要假設土體為全面剪力破壞(complete shear failure)，並且土體之承載力為剪力阻抗模式，這些假設對於局部漸進 式破壞(Local progressive failure)或崩裂式破壞(cracking failure)並不適用。另 外，其承載力之
N
q作用地表面上超載重所引起之摩擦阻抗因數忽略土體內 部摩擦效應，對於承載力有低估的現象。(2)極限分析法
極限分析法依上限與下限定理(Upper and Lower bound theorem)，可得 到破壞載重之上限值與下限值，當上下限值相同時，即為承載力值。
上限定理需滿足動態容許速度場(kinematically admissible velocity field) 條件，首先必須假設符合變形相容條件(Compatible)，且於最可能滑動面所 產生之應變方向，亦需滿足降伏條件與塑性流準則(Plastic Flow Rule)。利用 破壞時外力對此破壞機構所作之功不小於內能消散率之上限定理要求，可 求出承載力等未知量之上限值及對應的破壞機構。於上述假設條件中必須 滿足速度邊界條件、應變與速度諧和條件，因為只考慮破壞變形組態與能 量之消散，因此土體不需處於平衡狀態。下限定理著重基礎承載力之下限 值，首先於靜態允許應力場(statically admissible stress field)條件，滿足平衡 條件、受力幾何邊界並遵行破壞準則，其所得之承載力小於或等於真實極 限承載力。相關極限分析法所滿足關係圖如圖2.35 所示。
圖 2.35 上限定理與下限定理關係圖(Chen & Drucker, 1968)
Body and surface
Force Fi , Ti
Stresses σij
Displacement Ui
Strains εij