Infinite baffle
Q(x0,y0,z0)
當我們考慮單頻連續波輻射時，可將與時間無關之振幅 P0分離出來如下：
其中 sinc(x)=sin(πx)/(πx)；λ為波長。如此，(2-5)式即為在單頻連續波輻射的情形 下，遠場壓力大小分佈。
圖二、近場計算小矩形分割法示意圖；圖中 Q(x,y,z)為對邊長 a、w 的發射源而 言的近場，可將其分割成 N 個邊長為Δa、Δw 的小矩形，每個中心座標 為(xi,yi,zi)，距 Q 為 Ri。
X Z
Y
Q Ri
(x,y,z) (xi,yi,zi)
Δw
Δa
w
a
2－2 寬頻計算法 transform)，得其在頻域下之分佈情形，經整理後可知，若要模擬一在-βdB 之頻 寬為ζ之脈波，可將ξ取為： 即以餘弦波調幅方式(amplitude modal)組成我們所模擬的脈波而得：
)
其中 H 是單位步階函數(unit step function)。故知隨著時間的改變，此函數亦會往 前推移。此 T 函數正是讓單頻函數變成寬頻的關鍵；因函數 T 經富立葉轉換成 頻域時，為一 sinc 函數，加上摺積分定理(convolution theorem)的考量，可得式(2-10)
在頻域函數 S(f)：
Acoustic source
Q Field point
ρmax ρmin
center
ρeff
Acoustic source
Q Field point
我們可以距離關係找出有影響的陣元區域；我們知道，因所模擬的脈波不似理想
cos (2-20)
式(2-20)中β為已知，我們可以任意數值法求得式中α的解。同理，當我們所關
cos (2-22)
亦可由各式數值法解得α，再由α＝(f－fc)/fb，且因頻寬 f，頻率中心 fc皆為已知，
由此可推得控制頻寬的 fb。一些常用的α值如下表一：
表一、常用的頻寬標準-βdB 及其相對應α解
β 考慮振幅頻譜的α解 考慮能量頻譜的α解
3 1.6369 1.1870
6 2.1914 1.6369
10 2.6066 2.0387
2－2－3 高斯脈波與時域模擬脈波之比較
本節將比較這兩種脈波在時域和頻域的異同，以讓我們更加了解這種時域觀 點所發展出的脈波模擬法的特性。
首先比較在時域的情形；下頁圖四(a)、(b)、(c)分別是這兩種脈波在中心頻 率為 3.5Hz，能量-6dB 頻寬分別為 100%、50%、25%的比較。由圖中可看出在 時域的波形十分相似，且脈波中心部份的差異明顯比旁邊部份小。
再看此兩種脈波的功率密度頻譜(power density spectral)，如下頁圖五之(a)、
(b)、(c) 分別是這兩種脈波在中心頻率為 3.5Hz，能量-6dB 頻寬分別為 100%、
50%、25%在頻域方面的比較。由圖中可看出，高斯脈波的確有極佳的頻譜性質，
其頻譜分佈為以中心頻率為中心，左右對稱的情形；而以時域觀點所做出的脈波 模擬，由-12dB 以上看來，也有不錯的頻譜性質，故若所要求脈波頻寬標準在-12dB 之上時，此以時域觀點所發展出的模擬方式應是可供考慮的。
此外值得一提的是，此頻域觀點發展出的高斯脈波模擬法，因是將脈波由頻 域分解成許多單頻波再加以計算，所以無論計算空間範圍為何，所用的頻率點數 一樣；但由時域觀點發展出的模擬法，則會依計算空間範圍而隨之改變時間點 數；因此在所關心的空間範圍較小時，以時域觀點發展出的模擬法，就可大量的 節省計算所需時間，反之，在考慮範圍較大時，頻域觀點的方法在計算時間上就 顯得較經濟。
(a)
(b)
(c)
圖四、(a)、(b)、(c)分別是這兩種脈波在中心頻率為 3.5Hz，功率-6dB 頻寬分別 為 100%、50%、25%的比較。
-6.0x10-7 -4.0x10-7 -2.0x10-7 0.0 2.0x10-7 4.0x10-7 6.0x10-7
Gauss Pulse Time Pulse
Pressure
1.2 Gauss Pulse
Time Pulse
Pressure
1.2 Gauss Pulse
Time Pulse
Pressure
Time
(a)
(b)
(c)
圖五、(a)、(b)、(c) 分別是這兩種脈波在中心頻率為 3.5Hz，功率-6dB 頻寬分別 為 100%、50%、25%在頻域方面的比較。
1M 2M 3M 4M 5M 6M
Gauss Pulse Time Pulse
Pressure(dB)
Gauss Pulse Time Pulse
Pressure(dB)
Gauss Pulse Time Pulse
Pressure(dB)
Frequency
2－3 線性陣列換能器計算
array P
P (2-23)
圖中 d 為間距(pitch)，L 為陣列總長(aperture)，a 為每個陣元的大小(element size)
由過去的研究我們知道，空間中聲場強度的分佈，可由發射源表面的振動速
圖七、陣列換能器能量分佈示意圖；d 為間距(pitch)，L 為陣列總長(aperture)，a 為每個陣元的大小(element size)，λ是波長，橫軸為聲場中任一點與陣列 中軸夾角θ的正弦值(sinθ)
(3) 衍生瓣(gratinglobe 因陣列能量有週期性重複現象，能量集中區重疊時會有一 較大之能量集中區出現)同樣是觀察其相對大小、數量、位置。
由觀察圖七可知，衍生瓣主要受陣元中心距離 d 的影響；在 d＜λ/2 時，就 可避免衍生瓣的生成；此外我們亦可發現，主瓣及旁瓣的大小、粗細，最主要是 取決於整個陣列總長；總長愈長，則能得到較佳的主瓣，但卻使旁瓣向中心集中。
而每個陣元的大小只有些微影響主瓣頂部形狀；但對旁瓣的大小卻有較大的影 響；當陣元較大時，可對旁瓣及衍生瓣有較強的抑制作用。但過大時，由陣元大 小所生的旁瓣(即第二能量集中區)可能非但不會抑制旁瓣及衍生瓣，反而有助長 作用。如下圖八。
圖八、陣元大小所生旁瓣助長衍生瓣及旁瓣示意圖；d 為間距(pitch)，L 為陣列 總長(aperture)，a 為每個陣元的大小(element size)，λ是波長，橫軸為聲 場中任一點與陣列中軸夾角的正弦值(sinθ)
在中心距離較小時，每個各別 sinc 函數所形成的主瓣相距較遠，不會因陣 列週期性排列而造成衍生瓣的生成。但在中心距離較小時，陣元也同時變小，此 時陣元所造成的主瓣(圖七虛線部份)會變寬，而造成旁瓣的壓抑能力變小，甚至 可能會出現陣元所造成的旁瓣助長了陣列旁瓣的情形。如圖九
圖九、陣元太小時助長旁瓣及衍生瓣示意圖；d 為間距(pitch)，L 為陣列總長 (aperture)，a 為每個陣元的大小(element size)，λ是波長，橫軸為聲場中 任一點與陣列中軸夾角的正弦值(sinθ)
-λ/d 0 λ/d
-λ/a λ/a
-λ/L λ/L
0
-λ/L λ/L
-λ/d λ/d
-λ/a λ/a
sinθ
sinθ
雖有以上的討論，但由於陣元大小、中心距離、總長是彼此互相影響的；如：
加大陣元大小的同時，必也加大了中心距離，同時也加大了總長；加大陣元則對 旁瓣通常有較強的抑制力，但加大了中心距離會增加衍生瓣的產生，而總長的加 長則會使主瓣變細，但會使旁瓣的數量增加；究竟最後綜合影響為何，還得借重 數值方面的計算來了解。
2－3－3 陣列聚焦
陣列換能器與單一陣元最大的差異在於可利用每個陣元發射時給予相位 差，使得能量能有更佳的集中。如圖十所示，若想使能量集中於一點 Q，而 a、
b 兩陣元與此點距離分別為 ra與 rb，若 ra、rb差為Δr，則此情形下兩點至 Q 點之 相位差為 kΔr，故在輸出時利用延遲使它們兩者到達 Q 時的相位一致，能得到 最佳的相長性干涉；同理將每個陣元都依此方式處理，則可使陣列在 Q 點達到 聚焦(即每一陣元在此皆為相長性干涉)，此情形就像是將原本的線性陣元經由延 方式轉成一假想曲面，而欲聚集能量點 Q，則在此面之曲率半徑中心，若線性 陣列總愈長，則所圍出的曲面占整個圖的比例愈大，則聚焦效果愈佳。
圖十、陣列換能器聚焦原理示意圖；圖中 Q 是欲聚焦點，ra、rb分別是陣列中 a、
b 兩個陣元與 Q 的距離，Δr 是此兩距離的差；以時間延遲使兩陣元輻射 的聲波至 Q 為同相；同理使陣列中每個陣元至點 Q 皆為同相；此法像把 原為直線的陣列轉換成焦點在 Q 的凹曲面形虛陣列，以達成聚焦的功能。
但值得注意的是，另一觀點來看，對一線性陣列而言，因其總長為有限，故受此 限制必有一遠近場的分別，如圖十一(a)[23]是虛陣列為直線(不做延遲)時-6dB 等 聲壓線，此時陣列的聚焦情形為其自然聚焦狀態；圖十一(b)欲聚焦點在陣列的 近場，能量尚未開始發散，此時時間延遲所造成的虛陣列為一凹曲面，故有增進 聚焦效果，可使能量較聚集，-6dB 曲線所圍成範圍較狹長；但超過此範圍後，
則欲讓所有陣元達成相長性干涉之點，以延遲所成之虛擬曲面為一凸曲面，此時 如下頁圖十一(c)所示，能量反而會發散而無法聚焦。故我們在作聚焦時，實則 上受了陣列長度限制，而只能在其近場部分增進其能量集中情形。
Δr
a b
ra rb
Q
(a)
(b)
(c)
圖十一、陣列聚焦效果限制示意圖；圖中(a)、(b)、(c)分別表示因延遲時間形成 的虛陣列其能量曲線示意圖。其中(a)是虛陣列為直線(不做延遲)；(b) 虛 陣列為凹曲面；(c)虛陣列呈一凸曲面之情形。
Array -6dB
-6dB
-6dB Array
Array
Focal region Focal region
focal region
2－4 非線性陣列近似模擬
為了能得到較大的掃瞄範圍，我們經常做弧型陣列的設計；對於非線性陣 列，其弧度不甚大時，我們可將其切割成較小區塊，而由於區塊甚小，可將其視 為一平面，再依其位置不同做座標旋轉，疊加後即可得非線性陣列近似模擬。如 圖如圖十二所示：
圖十二、弧形陣列計算 Q 點座標轉換示意圖；圖中 Q 為欲求點；θ為 Q 點與中 心軸之夾角；而θ´是與發射陣元垂直的中軸的夾角；ψ為弧形上的陣元 中心軸與陣列中心軸之夾角；b 是可視為平面的區塊大小，即計算時所 用的小矩形寬度；O 是弧形陣列的曲率中心。
我們可逐漸細切我們的陣元，分析它們所算出聲場強度的收斂性，而逐步得 到可視為平面的區塊大小如圖中之 b。以較基本的弧型陣列為例，若陣列長軸方 向為弧型，而短軸方向仍維持線型，而計算時所用夾角並非與中心軸之夾角θ，
而是以與發射陣元垂直的中軸的夾角θ´，此夾角因弧形上的陣元中心軸已轉了 一角度ψ，而可視為是一座標軸旋轉之情形。
ψ
θ θ’
Q
b
O