增進效能的設計

對資料節點排序，不僅是 divide-and-conquer Delaunay 三角形分割的必要 步驟，更能提供許多增進效能的設計，以減少程式執行的時間。在本節中，我們 提出一些 Stella 網格生成演算法中增進效能的設計，這些設計雖然無法改變 divide-and-conquer Delaunay 三角形分割演算法的時間複雜度，但能縮短數倍程 式執行的時間，在實際應用上很有幫助。

在Guibas和Stolfi提出的divided-and-conquer Delaunay三角形分割演算法

中 [5]，遞迴分割的步驟直到分割後的小區域中，節點的數量少於四個，才會停 止。然而，在Stella的實作中，若一個區域中的節點全部在同一條直線上，或節 點的數量少於四個，分割的動作都會停止，並在該區域生成網格。在一些情況中，

例如：同一分割區域的節點都在同一直線上，這樣的改進可以較早結束分割的動 作，並開始生成區域網格，增進程式的效率。

另外，Delaunay三角形分割的過程中，常常需要檢查形成的三角形網格是否 覆蓋住其他的節點。如果每一次形成一個新的三角形網格，都要去檢查所有節點 是否在此三角形網格之內，這是浮點數乘法運算，相當費時。排序的節點，可以 提供一個快速的方法做這項檢查，使檢查節點是否在此三角形網格之內做浮點數 運算時間的次數和時間從 （其中，n為網格節點的數量）減至常數時間。假想 一個矩型，長含寬分別沿著x方向和y方向，外接於欲檢查的三角形，只有矩型內 的節點才可能在三角形之內，由於節點已排序，要找出在此矩型內的節點非常快。

如

) (n O

圖 5-12所示，假設欲檢查一個連接節點(24,33,82)的三角形是否覆蓋到其他節 點，所有的節點已經沿著x座標排序過，因此不需考慮順序在節點 24 之前及節點 33 之後的所有節點。如圖 5-12上圖所示，除了x座標在點 24 到點 33 之間的節點 以外，其他節點全部蓋住不看。剩下來的節點，只考慮y座標介於點 33 和點 82 的 y座標間的節點，在圖 5-12下圖中，只需要計算ID為 29,81,85 這三個點是否在三 角形(24,33,82)之中。不管全部網格的數量有多少，需要真正經過浮點數計算才 能決定是否在一個三角形網格內部的節點其實非常少。

類似的做法，也可應用於檢查一個邊是否與其他邊相交。假想一個矩型，長 含寬分別沿著x方向和y方向，外接於欲檢查的邊（即此邊為假想矩型的對角線之 一）。只有通過假想矩型的邊才可能與此邊相交，如圖 5-13所示。由於節點已經 排序，要找出可能相交的候選邊（candidates）只需要檢查此邊兩端點的順序。

以圖 5-13為例，只有通過假想矩型的候選邊e2 和e3 需要經過浮點數運算來決定 是否與邊e1 相交。

圖 5-12：檢查三角形(24,33,82)內是否含有非其頂點的節點（圖中數字為節點的 ID）

圖 5-13：產生一個新邊 e1 時要檢查其是否與其他邊相交，e2 和 e3 可能與 e1 相交的邊

表格 5-3：比較檢查所有邊和檢查部分邊，Delaunay 三角形分割所需的時間。

Number of meshed vertices

A. Execution time for checking all edges (s)

B. Execution time for only checking part of the edges (s)

表格 5-3中，比較上述改進前後，Delaunay三角形分割所需的計算時間。由實 驗結果看，整個Delaunay三角形分割所需的時間可以因此改進減至原來的 1/3 到 1/10，而且，節點的數量越多，節省的時間也越多。

e1 Candidate edges

e2 and e3

e3 e2