壓電材料本構方程式

壓電材料在受到機械應力或電場作用時，其本構方程式(constitutive) 依據 IEEE Standard on Piezoelectricity[14]可表示為：

E T 陣（matrix of elastic stiffness），e 是壓電常數矩陣（matrix of piezoelectric constants），e^T為壓電常數矩陣的轉置矩陣（transpose matrix）， D 是電位 移向量矩陣，E 是電場矩陣，ε^S是固定應變條件下的介電常數矩陣(matrix of dielectric constants)。

本研究所使用之壓電陶瓷材料為 PZT-4，具更橫向等向性的特性，假

即 PZT-4 的本構方程式為

 

ⁱ² 



^2j

 ^{ }

u ^Tj

^{ }

M

^{ }

u i ⁰ (2.12) 即

 

^{u T}_j

 

^M

 

^u _i ^0

 ^{i  j} 

^(2.13)

再將(2.13)代入(2.10)可得

 

^{u T}_j

 

^K

 

^u _i ^0

 ^{i  j} 

^(2.14)

(2.15)與(2.16)可改寫為

      

^{U T M U  M (2.18)}

非耦合之各獨立系統所得之解利用(2.21)便可將其解轉換為原本耦 假設其位勢能函數(potential function)為

( , )

x y F y e

( ) ^ikx

 

(2.23a)

( , )

x y G y e

( ) ^ikx

 

(2.23b)

其中 k 為未知的實數波數， ( )

F y 、 G y 為待定函數，由分離變數法

( ) (separation of variables)滿足

2

在帄板內部

 ^{   h y h} 

內，(2.23a)與(2.23b)式通解為 由(2.30)和(2.31)存在非零解的條件可得特徵方程式

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2

(2

k  k

) sinh(

 h

)cosh(

 h

)



4

k 

cosh(

 h

)sinh(

 h

)



0 (2.33)

及

由(2.32)-(2.34)式可以得到帄板反對稱波的波傳行為。波數 k 為(2.33)的帄 方根，可改寫為

(2.35)為波數 k 與相速度 c 的超越函數(transcendental equation)，其中 c 可由

k c

 

計算得。又(2.33)與(2.35)式稱為頻散方程式(dispersion equation)。

當

A   D

0的情形下，位移場可假設為

又(2.36)與(2.37)式亦稱為頻散方程式。

依據波動位移對於帄板中帄面的對稱性，板波區分為反對稱波及對 稱波兩種，如圖 2.2，前者又稱為撓性波(flexural waves)，後者稱為延性 波(extensional waves)。板波的波速是頻率或波長的函數，而根據板波在 板厚方向的共振模式，可以繪成相速度頻散曲線(dispersion curve)。由頻 散曲線的分析，便可以知道各頻率波動的強度。

2.4 線型導波之頻散方程式 2.4.1 漢彌頓原理

考慮無限長之線型聲導波在表面曳力為零的情形下，其應變能U (strain energy)、動能T (kinetic energy)以矩陣形式分別表示如下：

1 1 表示 Hermitian 矩陣，代表共軛轉置(conjugate tranpose)，若材料剛性矩陣

C 與密度矩陣 ρ 為對稱之實數矩陣，則應變能與動能保證為正定(positive

definite)。線型聲導波系統對拉格朗日函數(Lagrangian function)

L 表示如

下： 應用漢彌頓原理(Hamilton’s principle)，將拉格朗日函數對時間積分之一 次變分設為零，

考慮線型聲導波之波傳方向朝 z 軸的正向，與 z 軸垂直的截面則維持

座標函數表示為

m 為元素的質量矩陣(mass matrix)，k 為元素的剛度矩陣(stiffness matrix)，

將(2.48)式代入(2.40)式，整理後可得 再利用部分積分(integration by part)，將(2.51)式展開得

2 2 2 陣組合成全域矩陣(global matrix)，可獲得整個系統的運動方程式，

 

0

KD MD

(2.56)

若節點位移具更時諧因子e^{i t} ，即DDe^{i t} ，D 



²De^{i t} ，分別代入 (2.56)式，可建立波數 k 與角頻率



關係之頻率方程式，

(K



2M D) 0 (2.57)

(2.57)式為特徵值問題，其具更非零解的條件是全域矩陣的行列式為零，

det

  K  

2

M   

0 (2.58)

第三章 數值模擬分析討論

(pulse-echo method)對鋁合金流道板進行波速量測，其中縱波波速利用壓 力波探頭(Panametrics 5MHz V543)進行量測，探頭寬度為 6.35 mm，中心 頻率為 5 MHz，横波波速則使用剪力波探頭(Panametrics V221BA)進行量 測，探頭寬度為 6.35 mm，中心頻率為 10 MHz。

道板之縱波波速 C_L為 6.37 mm/us，橫波波速 C_S為 3.165 mm/us，再經由 isotropic)，並將其材料系數列於表 3.1，只需表中五個獨立之材料系數便 可求出其他系數[15]，其中E₂ E₃、



₁₂ 



₁₃、G₁₂ G₁₃、 ₂₃ ²

流道部分簡化為互相帄行之流道，如圖 3.5 與圖 3.6 為波長



=51 mm 與



=10 mm 網格化後的更限元素分析模型，當分析模型縱向長度為 51 mm 時，其節點數量為 67165 個、元素數量為 50800 個；當分析模型縱向長 度為 10 mm 時，其節點與元素數量則為 31501 個與 26880 個。在邊界條 件的設定上，將流道板左右兩側節點的 x 、 y 、 z 三方向自由度設為零，

與流道垂直的前後兩側截面上所更相對應節點的場變數(field variables)設 為相等，即前後兩端位置相對應的節點其在各方向位移皆相等。以此前

了能夠分析較高頻之部分，建立如圖 3.14，厚度 2 mm，流道凹陷 0.5 mm、 SOLID185 元素，其材料參數頇經由五個獨立之材料系數計算後方能輸入 ANSYS 中，其模型網格化如圖 3.15 所示，節點數量為 67497 點，元素數

分析中，碳紙與流道板間節點共用，為連續的兩個物體，而在實物

果如圖 3.21 所示，並將以上三種元素大小不同的分析結果互相比較如圖

多。

由聲導波相速度的頻散曲線，發現在相同頻率下會對應許多不同的 聲導波模態，各模態的波速都不相同。在二維更限元素分析中，低頻處 與 S₀模態交會之其他模態，若與圖 3.7 之結果比對，在流道數量增加時，

撓曲模態便會產生，流道數越多，撓曲模態也越多。若是將二維更限元 素分析模型流道數目增加，低頻處撓曲模態的增加趨勢會越接近 ANSYS 分析全流道模型時的結果。

第四章 實驗量測結果討論

石墨環氧樹酯複合材料(graphite epoxy composites)較為常見，由於本研究 著重於探討流道板中水的監測，且石墨環氧樹酯複合材料之材料特性較

換能器以 AB 型導電銀膠黏貼於鋁合金流道板兩側並將各電極焊上導線， 號，經過放大器(ENI 325LA)的放大電路增益後，激振位於流道板其中一 側之陣列式聲導波致動器，產生聲導波在流道板中傳遞後，示波器(Lecroy WS24XS)由函數產生器觸發直接將流道另一側之陣列式聲導波感測器收

由上到下分別為齊發單收模式接收端 R1 至 R8 所量測到之訊號，圖 4.8

於單發單收模式量測時到之訊號。但由於同時激發 16 個壓電元素，量測

抵達量測點的聲導波響應發生某種程度的干擾。 器激發之聲導波屬於撓曲波(flexural waves 或稱 bending waves)。時間介 於 25-30 μs 的訊號波谷連線卻呈現正斜率，顯示在該頻率下，會激發不

同模態的聲導波。這種正斜率的訊號響應不是邊緣反射波，因為速度快 流道板之聲導波訊號進行交互相關運算(cross-correlation)，



^

峰值可為正、負值，對應的時間延遲(delay time)代表兩組訊號抵達接收器 的時間差。比較 300、350 及 400 kHz 的聲導波行經無水覆蓋之流道區及

4.5 流道板之設計改良

現負斜率的訊號波峰連線，代表自進入流道板前緣處反射回來的訊號，

為 1.5 mm，且發射端相鄰之壓電元素間的距離皆為 1.3 mm，若同時激發

發訊號如圖 4.33 所示，其頻寬約為 0-1MHz，函數產生器產生之訊號經 fourier transform)，將時域訊號轉至頻率域，其結果如圖 4.36、4.37 所示。

黑色實線為無水，紅色實線為更水，可發現在每個壓電元素所量測到之 transform)，簡稱 2D-FFT，計算板波的頻散曲線[16]，此方法已經被廣泛 應用於多模態頻散波相速度頻散曲線的實驗分析上。

其中 ( , )

u x t 即為不同位置量測到之空間與時間函數訊號。

端中央壓電元素 R8，進行插入損失(Insertion loss)的量測比較，在流道區 上滴入不同的水量並量測其插入損失。實驗中使用網路分析儀(HP8751A Network Analyzer)及散射參數測試組(HP87511A S-parameter Test Set)進行 量測，可量測頻率範圍為 100kHz-500MHz，帄均次數為 50 次，螢幕顯示 最大點數為 801 點。S 參數(scattering parameter)可以表示入射能量、反射 能量及透射能量之間的振幅與相位差關係，實驗架構如圖 4.41，其 S 參 數定義如圖 4.42 所示，S₁₁與 S₂₂為輸入與輸出端的反射系數、S₂₁與 S₁₂ 為順向與反向增益反應。實驗中將 port1 與 port2 分別接到流道板兩側的 發射與接收端，量測不同條件下順向增益反應(S₂₁)。

圖 4.43 所示為流道區上四種不同負載的示意圖，包括流道區無水、

流道區上放置浸濕之碳紙、流道底部佈滿水及流道區上佈滿水，根據以 上四種情況量測 S₂₁的值，圖 4.44 至圖 4.46 為以上三種負載與流道區無 水的插入損失比較，黑色實線為無水，紅色實線為更水。當流道區上負 載改變時，插入損失也會隨著改變，根據前一小節中的結果，若比較 580 kHz±2%附近不同負載的峰值，當流道區無水時插入損失為-41.89379 dB，

當流道區上放置浸濕之碳紙時為-42.61786dB，當流道底部佈滿水時為

測插入損失時流道無水與流道佈滿水(275 μL)時的比較圖，黑色實線為流

4.67 所示。各壓電元素接收到之頻率響應，在 250 kHz 與 600 kHz 皆更較 滴下 20、40、60、80、100 μL 的水滴，量測板上無水及五種水量的情況 下對插入損失的影響。圖 4.69-圖 4.72 分別為各壓電元素水量 100 μL 與

比。且由聲導波響應灰階圖發現，每組正斜率的訊號波峰連線之後，緊 更較穩定的振幅。由於 580kHz 以及 600kHz，在監測流道板中的水時，

其靈敏度較高，故在量測插入損失時，以 580kHz 以及 600kHz 兩者±2%

附近之峰值作為觀測基準。而由插入損失之比較也可發現，當帄板或流 道板上具更水的負載時，水量越多，則插入損失越大。

第五章 結論與未來展望

本研究設置於鋁合金流道板兩側之陣列式壓電陶瓷換能器，作為聲 導波的致動與感測器，量測流道板上更水覆蓋時，對流道板的掃描、聲 導波響應、以及插入損失等產生的影響。並利用二維與三維更限元素分 析，計算並繪出鋁合金流道板的聲導波相速度頻散曲線與實驗結果比對。

本章總結數值分析與實驗量測結果，供日後研究的參考。

5.1 結論

5.1.1 數值分析結果討論

為了解質子交換膜燃料電池運轉時，與流道接觸之氣體擴散層，是 否會對流道板中傳遞的聲導波波速產生影響，首先以數值分析計算鋁合 金流道板 A₀與 S₀模態板波的相速度。發現當流道上放置一層碳紙時，聲 導波傳遞的速度會受到影響。然而，實際狀況中，碳紙與流道板的耦合 僅依靠浸濕碳紙表面水的吸附力，與分析情況差異較大。

使用 ANSYS 三維更限元素分析聲導波的共振模態，能夠成功的繪製 特定模態的相速度頻散曲線。然而，流道的自然頻率及所對應的共振模 態中，會更許多型式的振動模態，必頇從中挑選出適當的頻率及模態，

才能進一步計算並描繪頻散曲線，挑選過程相當耗時。以二維更限元素 分析所繪製聲導波相速度的頻散曲線中，發現在相同頻率下會對應許多 不同的聲導波模態，各模態波速都不相同，當分析的模型僅具更單一流 道時，低頻所對應到的聲導波模態數量較少，當流道數量越多時，相同 頻率所對應到的聲導波模態也越多，且結果與 ANSYS 分析具更 25 條流 道的相速度頻散曲線結果趨勢一致。

5.1.2 實驗量測結果討論

流道區內部產生反射的影響。

本研究之實驗部分針對流道區上不同水量加以探討，未來可更進一 步利用接收端 16 個壓電元素之間的量測訊號，對流道板上不同區域覆蓋 的水加以辨識。若能建立一套實驗繪製頻散曲線之系統，與數值分析之 結果互相驗證，便能更了解聲導波在流道板上的頻散特性。

參考文獻

[1] D. Singh, D.M. Lu, and N. Djilali (1999), “A two-dimensional analysis of mass transport in proton exchange membrane fuel cells,”

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[3] K. Tüber, D. Pócza, and C. Hebling (2003), “Visualization of water buildup in the cathode of a transparent PEM fuel cell,” Journal of

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在文檔中 偵測質子交換膜燃料電池流道板生成水的聲導波檢測 (頁 28-0)