在導航與定位的過程中，除了仰賴外來的輔助取得觀測量外，往往需要進行一些數 學的計算以推論出正確的航向與位置。而本節將介紹不同的座標系及座標系的轉換。
2-1.1 地心地固座標系(Earth Centered Earth Fixed Frame, ECEF)
也稱為傳統地面座標系(Convention Terrestrial Reference System ,CTRS)，是以地心為 原點但其三個軸相對於地球卻是固定的，因此是隨著地球旋轉。其三軸與原點規定如下 原點：位於地球的質量中心。
X 軸：通過格林威治之天文子午圈，即通為經度的零度。
Z 軸：為地球的自轉軸，由原點指向北極點，即平行於 CIO(Conventional International Origin)之平均北極。
Y 軸：由右手座標系
Z × X
來決定。2-1.2 導航座標系(Navigation Frame)
這組座標系通常用於導航使用，它可以直接提供導航者方位、航向等等訊息。而軸 向定義如下。
原點：定義為導航者所處的位置。
N 軸：指向地理北方。
D 軸：指向地心，即平行地球的重力方向。
E 軸：由右手座標系
D × N
來決定，故指向東方。因此也簡稱為NED 座標系。D N
E
x z
y
Z
X Y
圖(2.1) ECEF 及 NED 座標系 2-1.3 附體座標系(Body frame)
它是一組正交座標系，軸向定義通常對準於載具(vehicle)前方－右側方－下方，而 原點位於載具的重心，如圖所示。
圖(2.2) 附體座標系 2-2 座標轉換
前述之地心地固座標系、導航座標系、附體座標系，在定向及導航都有其用途，因 此有必要探討同一點在不同座標系統表示間關係。關於物體的三種不同的旋轉方式，分 別是側滾角(Roll)、俯仰角(Pitch)及航向角(Yaw)，並由這三種不同的角度來求得附體座 標與導航座標之關係。
2-2.1 側滾角(ψ)
在航空學中側滾角表示為機翼的上/下的旋轉，也等效於對附體座標的 x 軸來旋轉。
如圖(2.3)所示
Down
2-2.3 航向角(Ψ) 詳細的姿態表示法可參閱文獻[9][10][11][12][18][19][20]。
2-3.1 尤拉角法 (Euler angle)
cos cos cos sin sin
cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin
cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos
, , ,
b
C
n 表示為導航座標(Navigation frame)轉換至附體座標(Body frame)之轉換矩陣，為了確 保尤拉角之唯一性，故要求 R(x,ψ)R(y,θ)R(z,Ψ)的順序所組成，故b
觀察上式可發現當俯仰(Pitch)角為+/- 90∘時，也就是載具垂直向上或垂直向下飛 行，其轉換矩陣會發生奇異性。故利用此方程式來計算姿態的轉換矩陣時俯仰角(Pitch)
會有所限制。
我們可令四元數向量為 constraint)
2 2 2 2
4 3 2 系統(Inertial Navigation System)簡稱 INS，具備有下列的優點：
z 高精確度。
z 自給自足(Self-contained)。
z 自主性(autonomous)：不需依賴其他系統。
最原始的慣性導航系統是使用環架平台式(gimbaled platform)，此型式利用陀螺儀的
輸出訊號做回授，使得平台隨時與地表水平，所以在平台上的加速規可直接量得運動體 的加速度，因此連續積分兩次即可獲得飛機的位置。而機身與平台間所夾之角度，即為 飛機的姿態角。
而近幾年來有另一種型式的慣性導航系統稱之為固裝式系統(strap-down system)，此 種方法是把陀螺儀和加速規直接裝置在機身上，因此減少了平台環架機構。姿態角由機 體上量得的角速度做一次積分獲得，而由於固裝式系統的加速規會受重力加速度的影 響，可由此刻的姿態角來獲得導航座標與附體座標的關係來扣除加速規所受的重力影 響，扣除重力影響的加速規輸出即為運動體的運動加速度，因此連續積分兩次即可獲得 位置的資訊。而本論文是使用固裝式的慣性導航方法，其訊號流程圖如圖(2.7)所示。
陀螺儀
加速規
姿態積分
座標轉換
( 附體座標轉換至導航座標 )
扣除重力g 積分運算
獲得速度
積分運算 獲得位置 ω
b初始速度 初始位置
a
ba
nv
nr
n圖(2.7) 固裝式慣性導航訊號流程圖 2-5 平面式之純加速規慣性量測單元
一般而言，慣性導航系統(Inertial Navigation System)使用加速規量測線性加速度，
陀螺儀量測角速度。但是利用多組加速規透過適當擺置方式，可取代陀螺儀而求得載具 姿態運動[5][6][7][8][16]。我們可利用剛體運動學原理，具有角速度或角加速度之剛體，
於剛體上之不同位置有不同的加速度，量得剛體上不同位置之相對加速度，可估測載具 之角速度和角加速度，積分後可得載具姿態。
要描述一個載具在空間運動方式，需要此載具在空間的線性加速度及角速度。此篇 論文主要使用平面式之純加速規慣性量測單元來獲得物體線性加速度及角速度[5]，此種 裝置有別於一般的純加速規慣性量測單元，傳統式的純加速規慣性量測單元需要較複雜 的三維空間的放置及對準，而此裝置只需要考慮二維空間的對準如圖(2.8)。由於是平面 式之裝置，更有助於未來使用微機電製造技術把平面慣性量測單元量產化。
1
關係來表示，其中本篇論文是以導航座標(Navigation frame)為固定座標，而附體座標 (body frame)為運動座標，其方程式如下所示：x
r G
：j點相對於附體座標原點Ob之速度。如果 J 是可逆的(invertible)，則可求得運動物體的微分方程式與各個不同位置的加
因此可由(2.12)獲得有關於運動體的角加速度。
得物體在旋轉時所受的重力加速度如(2.26)式
[ ]
3 1 21 336 4 5 5 4 6 4 5 6
6 4 5 5 4 6 4 5 6
0.5 - 0.5 0.5 0.5
( sin( - ) - sin( - ) sin( - ))
(cos( )(-sin( ) sin( )) cos( )(sin( ) - sin( )) cos( )(-sin( ) sin( )))
x
o y
A A
g A A
A θ θ A θ θ A θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
×
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ + ⎥
⎢ + ⎥
⎢ ⎥
+ + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2.26)
因此由本節所推導的(2.23)(2.26)式將在設計卡爾曼估測器時使用到。