[實驗 1] 用 Lu 的方法與我們自己提出的方法來做比較。首先建一個行權重 j=3、列 權重 k=4、p1=5 且避免掉 4 迴圈的 S 矩陣，如圖 4-2。
圖 4-2. 避免掉 4 迴圈的 S 矩陣
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基於 S，可以建構出一個最小周長為 6、碼率為 0.25 的 15×20 同位元檢查矩陣 H1。 (方法 A)使用 Lu 的方法，將最小周長為 6 的 H1矩陣放大到最小周長為 14 的矩 陣 H0(n=12140、j=3、k=4)，需要的最小 p0值為 607。如下圖 4-3 為最 小周長為 14 的 S 矩陣(位移值=“-1”代表群與群之間無相連)。
圖 4-3. 最小周長為 14 的 S 矩陣
(方法 B)用我們自己的方法將最小周長為 6 的 H1矩陣放大到最小周長為 14 的矩 陣 H0，需要的最小 p0值只要 150。不僅如此，放大到最小周長為 16 時，
需要的最小 p0值也只需要 520，如此，碼的長度會變短，效能也會提升。
下表 4-1 為用我們的方法，矩陣放大到最小周長為多少時，需要的最小 p 值(pmin)為多少。下圖 4-4 為最小周長為 16 的 S 矩陣。
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圖 4-4. 最小周長為 16 的 S 矩陣
表 4-1. 達到最小周長為g 所需的最小 p 值 g 8 10 12 14 16 18 pmin 4 15 44 150 520 1570
從實驗 1 結果，可以發現用相同的 S 建出來 H0，我們的方法建出來的最小周長 的確是比 Lu 的方法還要大，也可以說固定想達到的最小周長為多少時，我們的方法 建出來的碼的長度，會比 Lu 的方法建出來的碼的長度短，所以 Lu 的確沒有做到最 好。
[實驗 2] 初始矩陣的選擇:根據我們提出的方法，實驗用最小周長為 6 作為初始矩陣 與較大的最小周長矩陣作為初始矩陣，所得到的實驗結果做比較。
(方法 1)初始用最小周長為 6 的 15×20(j=3、k=4)H，如下圖 4-5，經由我們的方 法，實驗的結果為下表 4-2。
(方法 2)將下圖 4_5 的 H，經由我們得方法，p0=4，可以得到最小周長為 8 的 60×80 H’當作初始矩陣，實驗的結果為下表 4-3。
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圖 4-5. 最小周長為 6 的矩陣 H
表 4-2. [實驗 2]方法 1 的結果
g 8 10 12 14 16 18 pmin 4 14 42 142 432 1400
表 4-3. [實驗 2]方法 2 的結果 g 10 12 14 16 18 pmin 6 20 66 263 1170 備註:表 4-3 的 pmin值必頇×4 才能與表 4-2 作比較
從實驗 2 可以發現，用較小的最小周長為 6 的 S 作為初始矩陣，和用較大的最小 周長為 8 的 S 作為初始矩陣，當 H 的長度 n 一樣的時候，發現用較小的最小周長 S 作為初始矩陣得到的 H 的最小周長會比較大，也可以說想要達成一樣的最小周長的
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時候，初始矩陣的最小周長小一點可能會比較好。舉例來說，從實驗 2 得到的表 4-2 及 4-3 中，最小周長從 6 直接放大到 14 所需要的 p 值最小為 142，相對於最小周長從 6 放大到 8 再放大到 14 所需要的 p 值為 66×4=264。所以在這些特定的條件下，這樣 的方法經過我們實驗 2 所得出來的結果，也許矩陣的最小周長利用分段式放大的方 法，不一定會比較好。也說明了初始矩陣的選擇，的確是有可能是個影響很大的因素，
但是能不能證明使用較小的最小周長當成初始矩陣來放大會比較好，這是需要再經過 非常多次實驗的。
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五、錯誤率之模擬與分析
模擬環境：利用 Lu[10]的演算法 1 及本論文改進的演算法，使用的程式語言工具 為 MATLAB，將矩陣 H 建出來後，跑模擬的工具為 C 語言，位元錯誤率(bit error rate:
ber)的效能比較是在高斯通道(Gaussian channels)上進行
用我們提出來的演算法將圖 4-5 的(15×20)矩陣當作我們初始的 S 矩陣，放大的倍 率 p 為 142，去建構一個行權重為 4、列權重為 3、碼率為 0.25 且最小周長為 14 的 H(2130×2840)。比較的對象為 Random LDPC code，行權重為 4、列權重為 3、最小周 長為 6，長度一樣為 2130×2840。如下圖 5-1，為我們的模擬 1。
圖 5-1. 模擬 1
在模擬 1 中，因為我們選擇碼率較低的矩陣，矩陣中也許會有比較多的小迴圈，
導致在模擬的進行上需要花比較久的時間。由於模擬的環境是用軟體模擬，效率沒有 用硬體模擬來的好，如果是用硬體來執行模擬的話，也許模擬執行上速度就會比用軟
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體快了更多，所以碼率較低的模擬結果，可能為無法預期的，因為當 SNR 值越高的 時候，錯誤率會用來越低，在模擬中就會花越多的時間去找出發生錯誤的地方。但是 已經有學者提出一個事實，在同樣的碼的長度下，只要最小周長比較大，則跑出來的 模擬結果錯誤率一定會比較低。
在第二個模擬中，我們則選擇碼率較高的矩陣來跑模擬，如下圖 5-2。
圖 5-2. 模擬 2
模擬 2 中，同樣的用我們提出來的演算法加上 Lu 方法中的演算法 1，將行權重 為 6、列權重為 2、最小周長為 6 且碼率為 0.67 的矩陣 H(12×36)，當作我們初始的 S 矩陣，放大的倍率 p 為 50，去建構一個最小周長為 12、行權重為 6、列權重為 2 的 矩陣 H(600×1800)。比較的對象為 Random LDPC code，行權重為 6、列權重為 2、最 小周長為 6，矩陣大小一樣為 600×1800 的 H。在模擬 2 中，由於我們選擇是一個碼 率較高的矩陣，矩陣中的小迴圈也許就會比碼率較低的矩陣來的少，在 SNR 值較高 的情況下，就會比較容易找到發生錯誤的地方，因此從模擬圖中可以明顯的看出來我
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們用改進後的方法建出來的矩陣，錯誤率的確是可以比 Random LDPC code 降的更 低，因為在 SNR 值較高的情況下，Random LDPC code 的錯誤率似乎已經沒辦法在持 續下降的很多了，但是我們的方法看的出來錯誤率還是在持續下降中，的確是縮小了 錯誤率平緩的現象。
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六、結論
低密度同位元檢查碼近年來已經應用到通訊、廣播及HDD硬碟等領域，如今已 成為業界注目的焦點。本篇論文採用的架構為分割及位移低密度同位元檢查碼，針對 Lu的方法加以改進。
我們透過實驗來最佳化分割及位移低密度同位元檢查碼的演算法中放大倍率的 選擇，在固定長度下的低密度同位元檢查碼可以將最小周長放得更大，在固定的最小 周長限制下可以減少所需的碼的長度。和文獻中的方法比較，除了保有原有演算法的 優點，可以建構任意的行權重、列權重及最小周長的矩陣外，本論文的貢獻為證明了 要達到目標的最小周長而放大的倍率可以縮小很多，藉此可大幅降低硬體所需的複雜 度及成本，且經過我們改進的方法後，的確能證實放大的倍率可以縮小很多。在實驗 二裡，我們提出了初始矩陣的選擇這個議題，實驗二的結果是初始矩陣用較小的最小 周長進行放大最小周長會比較好，但是對於初始矩陣的選擇，未來也許能夠在進行更 多的實驗去下結論。此外，模擬結果顯示依照本文中演算法所建構出的LDPC code之 位元錯誤率的確是具有較低的錯誤率可以縮小平緩之現象。
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參考文獻
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