實驗量測與材料係數反算

本研究以 HP 8751A 網路分析儀量測壓電圓管的阻抗頻率響應，阻抗的 最低極值對應不同模態的共振頻率。為了區分不同軸向模態對應的共振頻 率，特別設計了模態感測器，進行特定模態的共振頻率量測，避免共振頻 率相近難以辨識的情形。

在超音波馬達的設計上，如何正確又有效的掌握共振頻率，是非常關 鍵的要素。在共振頻率的數值模擬上，常常會發生數值模擬結果與實驗值 之間存有誤差。原因可能出自於材料性質的不均勻性、真實的幾何尺寸或 邊界條件無法如模型般完美。本文依據雙維有限元素分析結果，以簡單體 法反算材料係數，並探討反算參數的靈敏度及收斂性。

3.1 電極設計與塗佈

本研究採用的PZT-4壓電陶瓷圓管是寰辰科技公司所製造，以粉末冶金 的方式製成圓管，再進行極化。進行實驗前，先以硝酸將電極清洗掉，佈 置特殊的模態感測電極，以網版印刷的方式將電極印在壓電圓管上。圖3.1 與圖3.2分別為AutoCAD設計的電極及最後完成的網版圖，中央較粗的電極 為驅動電極，其他分成三段的電極為感測電極。依照不同的周向模態數n，

分別以180 、^ 120 、^ 90 、^ 72 與^ 60 為間隔，將感測電極設計於對應的波谷^ 處。感測電極設計成三段的原因，是為了區分不同的軸向模態數m對應的 共振頻率，將於下一節做介紹。

塗佈電極前需先將網版緊貼在壓電圓管表面，在網版上塗抹銀膠，再以 刮刀使銀膠完全通過網版上的電極，最後把佈好電極的壓電圓管送入烤 箱，以120^C烘烤10分鐘，使銀膠固化，完成電極佈置，圖3.3為佈置好兩 花瓣的電極圖。

3.2 共振頻率量測

本研究在共振頻率量測上，採用 HP 8751A 網路分析儀量測壓電圓管的 阻抗曲線圖，如圖 3.4 與圖 3.5 所示。HP 8751A 具有函數產生器、訊號擷 取及分析的功能，量測時依照模擬的結果將頻寬調整至對應的共振頻率範 圍，HP8751A 輸出 1V 的正弦波，經 nF HAS-4051 放大器增益電壓 100 倍 後，接至驅動電極，再由感測電極感應壓電圓管變形產生的電壓變化。為 了近似壓電圓管未使用前的狀況，減少邊界條件造成的影響，本實驗將壓 電圓管放置於泡棉之上，近似兩端無拘束的情況。

圖 3.6 為壓電圓管兩端無拘束情況下，所對應的頻散曲線圖與 ANSYS 的結果比較，圖 3.7～圖 3.23 所示為實際量測出的阻抗曲線，其中，圖 3.7 與圖 3.8 分別代表(n , m )=(2,1)與(2,2)模態所對應的阻抗響應，圖 3.7 為量測 三段電極的中間電極的阻抗，圖 3.8 為量測三段電極的底部電極之結果，

比較兩圖可以發現，雖然量測的頻寬相同，由於感測電極的位置不同，卻 得到不同的阻抗曲線。因此，配合模態分佈，將感測電極分段即可區分出 不同軸向模態m 的頻率。圖 3.24 為實驗值與理論頻散曲線的對照圖，理論 頻散曲線是由壓電管實際尺寸的平均值進行模擬，實驗值與理論值整理於 表 1，兩者對應的差值列於表 2。

3.3 簡單體法

簡單體法是根據幾何原理尋找最佳化的方法，基本想法是以 N+1 個頂 點(vertices)來建立 N+1 維空間，尋求最可能的 N 個參數。例如 N=2 代表在 空間中形成一個三角形結構，N=3 則代表空間中形成一個四面體結構，由 各頂點目標函數值的大小，決定三角形或四面體移動的方向，當目標函數 值達到最小值時，此時的參數即為最佳解。

如圖 3.25 所示，以 N=2 為例，在三維空間中建立三個頂點，分別為目 標函數值最大的 W 點、目標函數值最小的 B 點與目標函數值介於兩者間的 O 點，搜尋最佳解的流程可分成以下四個步驟：

1.根據最高點來建立反射(reflection)點 R：

假設最大值 W 點到另兩點連線的線段中點 M 之距離為 d，由 WM 線段 延伸 d 至反射點 R，當 R 點的目標函數值介於目標函數值最小與最大之間 時，則在反射點 R 建立新的頂點，取代最大值 W 點。

2.建立延伸(expansion)點 E：

如果反射點 R 的目標函數值比最低點 B 小，則由 WM 線段延伸 2d 至 E 點；比較 R 點與 E 點的目標函數值，接受目標函數值較小的點以取代最大 值點 W。

3.建立收縮(contraction)點 C：

如果反射點 R 的目標函數值比最大值 W 點大，在 WM 線段中點處建立 收縮點 C，若 C 點的目標函數值比最高點 W 小，則以 C 點取代 W 點。

4.收縮 O 點與 W 點至 S 點(shrinkage)：

若 C 點的目標函數值比最大值 W 點大，將 O 點與 W 點分別沿線段 OB 與 WB，向 B 點收縮至 S 點，建立新的三角頂點。

由上述的四個步驟，簡單體法將尋找一個目標函數值較小的點來取代 目標函數值最大的點，形成一個新的三角形，重複此四步驟直到找到最小 的目標函數值為止，程式流程如圖 3.26 所示。

3.4 目標函數

在進行材料參數反算的過程中，最重要的是定義目標函數，好的目標函 數除了可以提高反算的精確度之外，還可節省運算的時間。通常目標函數 的設定是以實驗值與數值模擬結果之間的差值為基準，找出誤差最小的參

數。本文定義目標函數為各撓性模態對應的共振頻率值與頻散曲線數值模 擬結果的差值平方和，如下所示：

 

 



 

 ^M

j

N

i

i Theory i

Experiment

Object f f

N F M

1 1

)2

1 ( 1

其中，F_Object為目標函數，f_Experimentⁱ 為各模態所對應的共振頻率實驗值，f_Theoryⁱ

為各模態的波數k 對應的共振頻率理論值，N 為周向模態的實驗數目，M 為 軸向模態的實驗值數目。

3.5 結構參數的反算

在進行材料參數反算前，首先須對結構的幾何參數進行反算。由於本文 所使用的壓電圓管，在外形尺寸上有誤差存在，經由游標卡尺量測後，圓 管在不同圓周處的高度分佈大約在 12.55mm～12.73mm，管壁厚分佈大約 在 1.98mm～2.04mm，無法完全吻合模擬的均勻幾何外形。

由表 2 中可以發現，周向模態數n3及4的實驗值與理論值之差距比其 他模態大很多。不同的周向模態所對應的電極位置不同，推測為尺寸分佈 不均造成的影響。軸向模態方面則以m3的差距最大，極有可能是理論值 假設均勻尺寸造成的影響。因此本文第一階段進行結構參數反算，先得到 最可能的均勻幾何尺寸，近似實際圓管的幾何外形，再進行第二階段的材 料係數反算。

在進行結構參數反算前，先探討各結構參數的靈敏度。假設圓管外徑為 定值，結構的尺寸參數為內半徑 Rin與高度 h。圖 3.27 與圖 3.28 所示，為 兩參數分別增加 0.5mm 後的周向撓性波頻散曲線變化與理論模型曲線的比 較。當 Rin增加 0.5mm 後，三條頻散曲線皆往低頻偏移，其中m1、2 隨 著k 增加偏移量也增加， m3的偏移較似水平偏移。增加高度 h 只會使得

3

m 曲線較明顯的往低頻偏移，m 2曲線稍微往低頻偏移一點，m1曲

線則幾乎沒有變化。

將實驗量測的共振頻率進行反算之前，需討論程式的收斂條件與收斂 性。收斂條件是整個反算過程的一個重要步驟，是決定反算參數精確度的 重要因素，本文中收斂條件定義為

1μm



 ^b

w X

X

其中，X 代表各點中與目標函數的差值最大點對應的參數，^w X 代表各點^b 中與目標函數的差值最小點對應的參數，當最大點與最小點的參數差值小 於1μm時，代表各點的距離已相當接近，判定為收斂。

如圖 3.29 所示，黑點為初始猜值，空心點為最後收斂的值，各參數的 初始猜值為理論模型值^{1 亂數}





h=12.5mm，由圖 3.29 中可以發現隨機猜測的十組參數皆收斂至理論值，排 除目標函數具有其他局部最小值的可能性。

最後以實驗量測的共振頻率進行反算，收斂情形如圖 3.30 所示，收斂 值為 Rin=11.01mm、h=12.77mm。由圖 3.31 中可以發現，修正後外形所得 到的頻散曲線已明顯的降低與實驗值之間的誤差，尤其是m3的頻散曲 線。修正後的頻率與實驗值整理於表 3 中，兩者差值列於表 4 中。

3.6 材料係數的靈敏度分析

壓電材料獨立的係數包含了五個彈性係數、三個壓電係數與兩個介電係 數，在進行材料係數反算前，先針對各係數的靈敏度進行探討。

彈性係數靈敏度：

在彈性係數部分，首先探討的是C₁₁改變後對頻散曲線的影響。圖 3.32 所示為C₁₁改變為目標值的 120％時對頻散曲線造成的影響，當C₁₁增加時，

1

m 及2曲線的頻率增加，隨著波數 k 增加，頻率的增加量有越來越大的

趨勢，而m3曲線以近似水平的方式向往高頻偏移，三條頻散曲線皆有很 明顯的變化。

接下來探討C₁₂改變對頻散曲線的影響。如圖 3.33 所示，當C₁₂變大時，

三條頻散曲線皆往低頻偏移，m 1及2的共振頻率隨著 k 增加，有越往低 頻偏移的趨勢，m 3曲線則往低頻平行偏移。

再觀察C₁₃改變的影響，如圖 3.34 所示，C₁₃增加後，頻散曲線的變化 趨勢如同C₁₂皆往低頻偏移，變化量很明顯的比C₁₂的影響小很多，尤其是 在m 1及2的頻散曲線，m3的量雖然變小，但還是比m1及2的改變明 顯，因此m 3的頻散曲線對於C₁₃有較高的靈敏度。

接著探討C₃₃的靈敏度，如圖 3.35 所示，當C₃₃增加為 120％後，對應的 三條頻散曲線幾乎沒有什麼變化，只有m3的頻散曲線略微上升，且隨著

k 增加，往高頻的偏移量有略微減少的趨勢。

最後探討C₄₄的改變對頻散曲線的影響，在圖 3.36 中，當C₄₄改變為 120

％後，三條頻散曲線皆略為往高頻偏移，隨著 k 的增加，頻率變化量略微 增加，三者的變化量並非特別明顯。C₄₄與C₁₃的影響程度不同，後者對於

3

m 曲線有較大的影響，因此在反算的優先順序上，C₄₄排在C₁₃之後。

壓電係數靈敏度：

在壓電係數部分，所探討的分別為e₁₅、e₃₁與e₃₃，在圖 3.37 ～圖 3.39 中，可以發現當e₁₅、e₃₁與e₃₃增加為 120％後，所對應的頻散曲線皆略為往 高頻偏移，每條頻散曲線的偏移量皆不明顯，尤其是e₃₃所對應的頻散曲線 幾乎沒有變化。

介電係數靈敏度：

在介電係數部份，ε₁₁與ε₃₃增加為 120％後所對應的頻散曲線分別呈現 於圖 3.40 與圖 3.41。ε₁₁的改變對於頻散曲線幾乎沒有變化，ε₃₃對於頻散