小波轉換

小波函數的理論早期是由一群數學家所發展出來，並且初期只有數學家 與物理學家在做這方面的研究。在1984年時，物理學家Morlet將小波函數的 理論引入訊號分析裡，隨後與物理學家Grossmann提出以小波函數為基礎的 連續小波轉換，命名為「wavelet」[20][21]。隨著小波轉換被提出後，1985 年Meyer建構了Meyer wavelet，其特性是易衰減、具正交的平滑小波函數[22]。

1987年時，Mallat建構了一種以多重解析度分析理論來產生小波基底的方法，

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此方法能將訊號加以拆解與重建[23]。1988年時，Daubechies提出Daubechies wavelet，為有限支撐、有正交性，並且具有好的時頻局部定位性[24]。

早期的訊號分析方法主要以傅立葉轉換(Fourier Transform, FT)為主，但 傅立葉轉換的缺點是當訊號經由傅立葉轉換成頻域後，此時的時頻資訊就會 消失。為了修正傅立葉轉換的缺點，英國科學家 Dennis Gabor 提出將時頻訊 號 取 區 段 時 間 做 傅 立 葉 轉 換 ， 即 為 短 時 傅 立 葉 轉 換 (Short-Time Fourier Transform, STFT)[25]，他將時域訊號切割成小片段，再對每段作傅立葉轉換 以獲得時頻訊息。但是短時傅立葉轉換也有其缺點，當選擇訊號視窗的寬度 時，會限制時間與頻率的解析度，當分析低頻訊號時，就必須加大視窗函數 的寬度；若要分析高頻訊號，則必須縮小寬度。當無法事先知道訊號是在高 頻帶還是低頻帶時，也就無法選擇視窗函數的寬度。但小波轉換就沒有這個 問題了，小波轉換除了有時間與頻率的關係外，還有與振幅的關係，有效改 善了短時傅立葉轉換必須選取適當視窗寬度的問題。圖 2-2 為傅立葉轉換、

短時傅立葉轉換與小波轉換之差異比較，可以看出小波轉換除了有時間與頻 率的關係，也提供了時間與頻率尺度的關係，有效改善短時傅立葉轉換的缺 點。

圖 2-2 傅立葉轉換、短時傅立葉轉換與小波轉換之差異比較

小波轉換已被廣泛應用於各領域中，例如工程領域中的數位訊號處理、

傅立葉轉換

(Fourier Transform) 短時傅立葉轉換 (STFT)

小波轉換 (Wavelet Transform)

頻率 時間 時間

振幅 頻率 頻率尺度

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而一個四階小波轉換在轉換的過程中，每個階層的小波轉換會依序拆解 原始腦波訊號，如圖 2-3 所示，我們將訊號做四次的分解動作以得到腦波訊 號的五個子頻段。

圖 2-3 四階小波轉換分解腦波訊號之架構圖[54]

圖 2-4 為輸入訊號使用 Daubechies 濾波器所拆解出來的五個子頻段，

所分解出的頻段 D1、D2、D3、D4 和 A4，其各自的頻率範圍依序為 30~60Hz、

15~30Hz、8~15Hz、4~8Hz 和 0~4Hz，即分別是腦波訊號中的 γ、β、α、θ 和δ 波，本研究即是使用這五個腦波訊號的子頻段，作為基因演算法進行特 徵萃取之依據。

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圖 2-4 使用 Daubechies 濾波器所分解出來之結果[54]