有眾多數學家獨特的想法與巧妙的論證，讓我們可以從各種角度去欣賞尤拉公式，現 在我們僅擷取其中兩種不同的論證，從這些論證中一窺尤拉公式的巧妙，和欣賞這些數學 家對於數學無限想像的空間。
首先，柯西提供了一個圖像化的論證[1]。我們把它分成幾個階段來看。
第一個階段—將多面體轉換成平面圖
《第一步》：試想你拿了一個有一面朝上的多面體，然後把朝上的這一個面移除（如 圖 2.2），就像是一個沒有上蓋的盒子。
圖 2.2：移除朝上的一面
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《第二步》：想像這是一個可以任意延展的盒子，你可以把它的邊和面慢慢向外拉，
讓所有的邊和面都躺在同一個平面上（如圖 2.3）。
圖 2.3：把多面體轉換成平面圖（由左至右）
完成上述兩個步驟之後，我們可以得到一個新的平面圖，在這新的平面圖中，我們沒 有新增加也沒有刪除任何物件，所以這個平面圖的頂點數和原多面體的頂點數一樣多，新 的平面圖的邊數和原多面體的稜邊數也相同，平面圖的面數，即圍成的區域數量，若連平 面圖外的區域也算進去，則數量亦跟原多面體是相同的。也就是說若原本多面體的頂點 數、稜邊數和面數為 、 、 ，新平面圖的頂點數、邊數和面數為 、 、 ，則 彼此間的關係為： 、 、 1 ，若尤拉公式為真，即 ＋
2 ，那麼
（ 1） 2 1 1
接下來我們只要透過此平面圖去檢查 的值都是 1，那麼尤拉公式的證明 就結束了。接下來，我們將再進一步的去改變此平面圖，讓這個值比較容易計算。
第二個階段—三角化平面圖和簡化
在這個階段裡面，我們先將這一個平面圖三角化，也就是將平面圖中每一個不是三角 形的面全部都切割成三角形，然後再一一檢查此三角化平面圖中的每一個面，將符合條件 的面去掉，讓此三角化平面圖越來越簡潔。
《步驟一》：我們先檢查這個平面圖的其中一個面，若這個面超過三個邊，那我們就
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在這個面上畫對角線，如下圖 2.4 所示：
圖 2.4：利用對角線分割面
重複上述動作，直到這個面完全都只是三角形的圖形，如圖 2.5。
圖 2.5：完全分割成只有三角形的圖形。
如果有其他的面也超過三個邊，我們也利用步驟一的方式，讓其他的面都被分割成三 角形的樣子。透過這樣的方式，我們會得到一個所有的面都是三角形的一個新的平面圖，
如圖 2.6（f）所示。
圖 2.6：步驟一的分解圖：將每一個不是三角形的面利用對角線分割成只有三角形的面。
現在我們來看看，當每多畫一條對角線時，產生了哪些變化。從圖 2.5 的五邊形來
a) b) c)
d) e) f)
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看，每多畫一條對角線，原先的面會被一分為二，多出一個面來，而邊數則會比原來的圖 形多一個邊，對於頂點的部份則不受影響。也就是說，在這樣把平面圖全分割成只含有三 角形的面的新平面圖時，每多畫一條線，其面數會比原面數多 1，邊數也比原邊數多 1，
即當原平面圖有 個頂點、 條邊和 個面，新的平面圖有 個頂點、 條邊和 個面，然後我們得到
（ 1） （ ′ 1）＝ 1 1 ′ ′ ′ 所以經過步驟一的改變， 的值並不會跟著改變，也就是說，經過調整後的三 角形平面圖其頂點數、邊數和面數之間的關係式仍保持跟原先平面圖的關係式有相同的 值。這樣的圖形暫時還是算複雜的情形，我們接下來透過後續的幾個動作，將平面圖繼續 做簡化。
《步驟二-1》：我們檢查這個三角形平面圖，在這個平面圖中，如果每一個面的三個 邊都和圖形外的區域相鄰，那我們就已經找到最簡化的三角形平面圖，就不需要再往 後面的步驟前進。
事實上這樣的情形只會出現在只有一個三角形的圖形上，我們可以很輕易的看出來，
它的頂點數 3 ，邊數 3 ，面數 1 ，則
3 3 1 1
其值與尤拉公式所稱的 2 所推衍出來的 1 相同，亦即尤拉公 式的證明已經完成。如果還有任何一個面低於三個與外面區域相鄰的邊，那麼就繼續往後 面的步驟走。
《步驟二-2》：如果找不到一個面的三個邊都跟外面區域相鄰的話，我們退而求其 次，找一個面有兩個與外部區域相鄰的邊，移除這個面。
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圖 2.7：移除一個頂點，兩個與外部區域相鄰的邊。
當移除這個面時，也同時會移除此面的兩個與外面區域相鄰的邊和單一凸出去在圖形 外部的一個頂點，如圖 2.7 所示。在這樣的操作之下，若原平面圖的頂點數、邊數和面數 為
、
、
，新的平面圖頂點數、邊數和面數為 、 、 ，則 ＝ 1 、 ＝ 2 、 ＝ 1 ，我們得到（ 1） （ 2） （ 1）
＝ 1 2 1
也就是說，在步驟二-2 中刪除一個面之後的新平面圖與原來的平面圖，頂點數、邊數和 面數所形成的關係式其值沒有改變。每移除一個面之後，圖形就要再從步驟二-1 開始操 作。如果平面圖在步驟二-2 中還是找不到有哪一個面恰有兩個邊與外面區域相鄰，則繼 續往後面的步驟前進。
《步驟二-3》：當平面圖在步驟二-1 和步驟二-2 中都找不到符合條件的面時，我們接 著找只有一個邊與外面區域相鄰的面，然後把這個面移除。
圖 2.8：移除只有一個邊與外面區域相鄰的面。
在步驟二-3 中，每移除一個面，也同時讓這個平面圖少了一個邊，如圖 2.8 所示。那
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麼我們接著來檢查看看這樣的動作對 的值有甚麼樣的改變。以圖 2.8 為例，
若左圖的頂點數、邊數和面數為
、
、
，右圖頂點數、邊數和面數為 、 、 ，且 ＝ 、 ＝ 1 、 ＝ 1 ，我們得到（ 1） （ 1）
＝ 1 1 ＝
所以，經過步驟二-3 的操作之後，新的平面圖跟原來的平面圖在頂點數、邊數和面數的 關係式中， 的值也是不受影響的。當移除符合條件的一個面之後，繼續回到 步驟二-1 重新檢視，若達到步驟二-1 的條件，就可以開始計算 的值；如果 還不符合步驟二-1 的條件，就繼續往步驟二-2 檢查。若有符合步驟二-2 的條件，就刪去 符合條件的一個面，再回到步驟二-1；若還是沒有符合條件的任何一個面，才繼續前進到 步驟二-3，刪去任何一個符合條件的面，之後再回到步驟二-1 重新檢視。在反覆操作之 後，直到符合步驟二-1 的條件出現才停止，推導過程如圖 2.9。一次只移除一個面，且需 依序移除，這樣可以避免將圖形分解成兩個部份，或是因為一次移除兩個面造成有一個邊 延伸到外面卻不屬於任何一個面。
圖 2.9：將三角化平面圖依步驟二中檢視的順序逐步簡化至只剩單一個三角形。
a) b) c) d)
e) f) g) h)
i) j)
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圖 2.10：同時移除兩個面和與外部區域相鄰的邊，會出現一個突在外部區域的邊。
結論：將任何一個簡單多面體透過第一階段，轉化成簡單平面圖，得到 1
接著在第二階段將平面圖三角化，然後慢慢簡化到最後只剩下一個三角形。在這樣的轉變 中，我們可以確認 的值沒有受到改變，所以到最後的三角形，我們得到
＝3 3 1 1 也就是說
1＝1 1 2
到這裡柯西的證明方式就完成了，因為柯西的證明方法可以單純透過圖像化達到目 的，對於一般人而言，圖像化的理解程度會比一堆文字的證明來的高，所以特別花了一些 篇幅來介紹。接下來則是一般所熟知的證明方法，也是在一些圖論教科書中常引用的證 明，利用數學歸納法得到尤拉公式的結果，在介紹此證明之前，我們需要先有一個定理和 與其相關的定義作為基礎，以下提出的定義與定理可以幫助我們在利用數學歸納法證明尤 拉公式時，能確保這些可平面化圖形確實符合所需的條件與應有的型態。
【定義 2.1】 一個圖稱為可平面化圖形（planar graph）意指它可以被畫成一個平面的圖 形，且這個圖形中的任兩個邊除了各線段的兩端點以外不會有其他相交的點出現。
【定義 2.2】 Jordan curve 又稱為簡單封閉曲線（simple closed curve）。簡單封閉曲線，
指的是沒有交叉而過的連續曲線，且曲線的起點和終點是同一個頂點。例如圓形、橢圓形 和多邊形。
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【定理 2.3】[2] （The Jordan Curve Theorem）一個由有限的許多線段所組成的簡單封閉 多邊形曲線 （Jordan curve），將一個平面恰好分割成兩個各有一個 當邊界的面。