第三章 頭前溪自動化水位流量站建置規劃
3.3 平均流速及水深與表面流速之關係
圖3-4 流量推估流程示意圖
（一）表面流速量測
雷達微波量測水面流速之機制主要係依據布拉格（Bragg）散射 與杜卜勒效應二項原理。流動之自由水面上因風力之作用或水流之紊 流作用會產生微小的表面波紋，此微小波紋之波長尺度約為1 公分至 2 公分間，當水流流動時，此波將隨水體表面流移動，因此，可將小 波之速度視為水流之表面流速，此系統之杜卜勒雷達即利用微波雷達
（頻率介於 10～18GHz 之 X 或 Ku 頻區間）偵測水流表面雷達回波 產生布拉格（Bragg）效應，獲得水流表面毛細波之速度，即可視為 水流表面流速。而所謂杜卜勒頻率偏移效應乃指當物體與觀測相對運 動時，入射波源與反射波將產生頻率偏移，至於布拉格繞射的產生，
在於兩入射波數入射於相鄰晶格面時會產生建設性之干涉，若水面波 紋視為平面排列之晶格，當雷達入射波的 n 倍為波長nλ， fR及 c 分 別為雷達波之頻率和速度，入射角為θ，水面小波（ripple）之波長為 LBnB，根據布拉格定律，水面產生布拉格散射之條件為：
n 2sin
L nλ
= θ （3-1）
其中，n=1為平面排列，故偵測目標物移動所產生的杜卜勒偏移 頻率 fd可表為：
2 n sin
d
f V θ
= λ （3-2）
因水面波紋之布拉格效應，導致杜卜勒頻譜產生強烈之干涉，故 利用分析雷達水面回波一階（n=1）杜卜勒頻普可求得杜卜勒頻率 fd， 再由上式可求得水流表面波紋的朝向於雷達之相對移動速度Vn。
（二）水深推求 1. 對數律
在河川主流區的流速分布受到尾跡流況的影響，因此，依據 Coleman and Alonso（1983）之 研究，引 入尾跡函 數（wake
function），並將對數律之流速公式修正如下：
max 1 2 2
ln cos ( ) 2
u u z z
u k h k h
π
∗
− − Π
= + （3-3）
式中us為表面流速，
u∗為底床摩擦速度（= ghS ），f h 為水深，
Π為 Coles 尾跡強度參數，其大小與雷諾數、懸浮質濃度、
底質傳輸，以及河川流況等因素有關，
k 為底床面粗糙長度（s Roughness Length），
k 為Von Karman常數≈0.4，主要受到水中含砂量之影響。
依據過去的試驗資料顯示，清水之流速分布遵循對數律公 式，而挾砂水流在主流區仍遵循對數律公式，但 k 值減小，近底 區則偏離對數律公式，一般而言，含砂量愈大，則 k 值愈小。
Einstein and Chien（1955）建立 Von Karman 常數與參數E之關 係如下：
s
s e
E S
UJ ρ ρ ωω
ρ
− ∑
= ⋅ （3-4）
其中ρs與ρ 分別為泥砂與水之密度，
U為垂線平均流速，
Je為能量坡降，
Sω為沈降速度ω之泥砂垂線平均含砂量（以重量百分比計）。
總和符號Σ 係對懸浮砂組成中不同之ω部分進行總和。參數 E之物理意義為單位時間內單位重量水體中、懸浮泥砂所需之能 量與損失之總勢能之比。隨著懸浮泥砂所需要的能量之相對增 大，亦即隨著參數E值之增大，k值有遞減之趨勢。
若假設最大流速發生在水面，即us =umax，且令z h=0.15處 為尾跡內外區之分界點，因此，根據 Nikuradse（1932）研究之建 議，在天然河川中取z′ =ks 30，則可以獲得河川中表面流速與水 深之對數律的關係，
1 30 2 2
ln cos (0.15 ) 2
s
s
u h
u k k k
π
∗
= + Π （3-5）
上式中u∗ = ghSf 為水深及能量坡降的函數，因此僅需要知道ks 與S 之值，再透過測得之表面流速，並利用試誤法，即可求得水f 深。
2. 冪次律
Chen（1991）研究提出冪次律（Power Law）之流速分布公 式，代入邊界條件（當 z h= 時u u= s）後，可將公式如下所示：
m
us h u∗ a z
= ′ （3-6）
式中 a 為係數，冪次 m 為與流況及河床型態相關之參數，其 值大小主要由河川之相對糙度與雷諾數來決定。並令底床摩擦速 度u∗ = ghSf 代入上式中，整理可得水深。
( )
2
2 1
1
m m s s
f
h u k
A m gS
+
= + （3-7）
式中A為經驗係數（A=30ma (1+m)），且與 a 、 m 及相對 糙度
s
hk 有關。
（三）平均流速推求 1. 對數律
依據（3-5）式，考慮尾跡流函數之流速公式，並假設尾跡內 外區分界點位於 0.15 倍水深處，分界點至水面的距離z0 =0.85h， 則水深方向之平均流速可整理為如下：
0.15 I 0.85 O
U = U + U （3-8）
其中，UO為外區水深方向之平均流速，可表示為
(
0.665 0.83)
O s
U u u k
= − ∗ + Π （3-9）
UI為內區水深方向之平均流速，可表示為
1 ln 1 4.5 1
4.5
s I
s
k
u h
U k h k
∗
= + + −
（3-10）
將（3-9）式與（3-10）式代入（3-8）式中，可獲得表面流 速與平均流速之關係，其關係如（3-11）式所示
0.85 1 4.5
0.15 ln 1 0.706 0.715
30
s s
s
u U k h
u∗ k h k
− = − + + + Π +
（3-11）
並將（3-11）式除以（3-5）式，則可以得到平均流速與表面 流速之比值，其關係如下
0.15 ln 1 4.5 0.706 0.715 0.85 30
ln 30 1.89
s
s
s
k h
h k
U
u h
k
∗
− + + + Π +
= −
+ Π
（3-12）
（3-12）式右邊中括號內，代表相對水深與尾跡對平均流速 與表面流速之流速比所產生之影響。當式中之相對水深增加時，
平均流速與表面流速之流速比會隨著增大，即表示河床表面粗糙 邊界會減弱水流的約束力。
2. 冪次律
為了討論水面流速與平均流速之關係，將u us ∗=a z z
(
′)
m式取 水深積分平均，可得平均流速U 為(1 )
U a z h z m z u∗ m h z h
′ + ′ ′
= −
+ ′ （3-13）
其中天然河川中，z′ =ks 30，並整理（3-6）式與（3-13）式，
可獲得平均流速與表面流速之流速比的關係，其關係如下
1 1
1 30
1 1
1 30
m m s
s s
k
U h
u m h k
+ +
= + −
+ （3-14）
根據上述，可知在考慮河床粗糙度與相對水深下，可得到對數律
（（3-12）式）與冪次律（（3-14）式）之表面流速與平均流速之相 互關係。其中對數律關係式中，主要影響表面流速與平均流速之流速 比的因素，為主流區的尾流、河床表面粗糙度，以及相對水深。而冪 次律關係式中，影響表面流速與平均流速之流速比的因素，除了水深 之外，還受到冪次律流速公式中的參數 m 影響，且參數 m已包含河
川流況因子。
經由上述公式的推導，可建立水深及平均流速與表面流速之關 係，進而推估出流量。本研究以前述之理論作為依據，測量天然河川 中的表面流速分布，透過多點式表面流速推估斷面流量模式來計算，
而獲取相關流量資料。